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清远市2014—2015学年度第一学期期末教学质量检测高三理科数学答案

时间:2015-02-07


清远市 2014—2015 学年度第一学期期末教学质量检测高三理科数学答案

题号 答案

1 C

2 D

3 B

4 A

5 D

6 B

7 A

8 C

第二卷(非选择题,共 110 分)
二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在答题卡的 横线上)
(一)必做题(9~13 题) 9 .1 10.

4 ?? 4

11. 210

12. .3

13.

5+1 2

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分) 14. (几何证明选讲选做题) 30° 15.(极坐标与参数方程选做题) 1

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答题应写出必要的文字说明,推理 证明过程或演算步骤)
1 16.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 3 sin x ? cos x ? cos 2 x( x ? R). 2
(1)求函数 f ( x) 的最小值和最小正周期; (2)设 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 B ? 30? , c ? 3, f (C ) ? 1 ,判 断△ABC 的形状,并求三角形 ABC 的面积. 解:(1) f ( x) ?

1 3 1 3 sin x ? cos x ? cos 2 x = sin 2 x ? cos 2 x ………1 分 2 2 2 ? = sin(2 x ? ) ………2 分 6

x ? R ??1 ? sin(2 x ? ) ? 1 ………3 分 ? f ( x)的最小值是 -1 ……4 分 6 2? ?T ? ? ? ,故其最小正周期是 ? ………5 分 2 ? (2) ∵ f (C ) ? 1 ? sin( 2C ? ) ? 1 …………7 分 6 ? ? 11? 又∵0<2 C <2π ,∴ ? ? 2C - ? ……8 分 6 6 6 ? ? ? ∴ 2C - ? ,? C ? ………9 分 3 6 2 ? ? ∵B= ,∴A= ,∴△ABC 是直角三角形………10 分 6 2
由正弦定理得到:

?

c 3 b ? 3 ? 2 ,∴ b ? 1 = sin B sin C 2

………11 分

设三角形 ABC 的面积为 S, ∴S=

3 2

………12 分

17. (本题满分 12 分)为了解学生身高情况,某校以 10% 的比例对高三年级的 700 名学生按性别进行分层抽样调查, 测得身高情况的统计图如右: (1)估计该校学生身高在 170~185 cm 之间的概率; (2)从样本中身高在 180~190 cm 之间的男生中任选 2 人, 其中从身高在 185~190 cm 之间选取的人数记为X,求X的 分布列和期望。 解: (1)由统计图知, 样本中身高在 170~185 cm 之间的学生有 14+13+4+3+1 =35(人) , ……2 分 样本容量为 70, ……3 分 所以样本中学生身高在 170~185 cm 之间的频率 f=

35 =0.5.……4 分 70
……5 分

故由 f 估计该校学生身高在 170~185 cm 之间的概率P1=0.5. (2)由题意可知 X =0,1,2 ……7 分

P? X ? 1? ? P? X ? 2? ?

1 1 C4 ? C2 2 C6

?

8 , ……8 分 15

P? X ? 0? ?

2 C4 2 C6

?

6 2 ? 15 5

……9 分

2 C2 2 C6

?

1 15

……10 分

? X 的分布列为
X 0 1 2

P

2 5

8 15

1 15
……11 分

2 8 1 2 X 的期望为 E ? X ? ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 。 5 15 15 3

……12 分

18 .(本题满分 14 分)在等腰直角△BCP 中,BC=PC=4,∠BCP=90°,A 是边 BP 的中点,现沿 CA 把△ACP 折起,使 PB=4,如图 1 所示。

P B A P


P

A

E D





图1



B

图2

C

(1)在三棱锥 P-ABC 中,求证:平面 PAC⊥平面 ABC; (2)在图 1 中,过 A 作 BC 的平行线 AE,AE=2,过 E 作 AC 的平行线与过 C 作 BA 的平行线交于 D,连接 PE、PD 得到图 2, 求直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小. 解: (1)在三棱锥 P-ABC 中,依题意可知: PA ? AC …………1 分
2 2 2 ∵PA=AB= 2 2 ,PB=4 ? PA ? PB ? PB ,…………2 分 则 PA ? AB …………3 分

又AB ?AC ? A ,则 PA⊥平面 ABC ∵ PA ? 平面 PAC ∴平面 PAC⊥平面 ABC. …………6 分

…………5 分

(2)方法一:由(1)知 PA ? AB ,又 AB ? AC, PA ? AC ? A , ∴ AB ? 平面 PAC …………7 分 ∵AB∥CD ∴ CD ? 平面 PAC …………8 分

过A作 AH ? PC 于H,则 CD ? AH 又∵ PC ? CD ? C

…………9 分 …………10 分

∴ AH ? 平面PCD

又 AB∥CD,AB ? 平面 PCD , ∴AB//平面 PCD , ∴点 A 到平面 PCD 的距离等于点 B 到平面 PCD 的距离. ∵在 Rt△PAC 中,PA =2 2 ,AC = 2 2 ,PC = 4 ∴PC 边上的高 AH=2 ,此即为点 A 到平面 PCD 的距离 设直线 PB 与平面 PCD 所成角为 ? ,则 sin ? ? 又 ? ? ?0, …………12 分 …………11 分

h 2 1 ? ? ,…………13 分 PB 4 2

? ? ? ?? ,所以 ? ? , 即直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小为 ; …………14 分 ? 6 6 ? 2?

方法二:由(1)知 AB,AC,AP 两两相互垂直,分别以 AB,AC,AP 为 x 轴,y 轴,z 轴建立空 间直角坐标系,则 A(0,0,0),B(2 2 ,0,0),C(0,2 2 ,0),P(0,0,2 2 )……9 分 (解法一)∵AB∥CD, AB ? AC 又 AC∥ED ∴ CD ? AC ,

∴四边形 ACDE 是直角梯形

∵AE = 2 ,AE∥BC,∴∠BAE = 135°,因此∠CAE = 45°.…………10 分

CD ? AE ? sin 45? ? 2 ?

2 ? 2, 所以 D(- 2 ,2 2 ,0). 2
…………11 分

∴ CP ? (0, ?2 2, 2 2) , CD ? (? 2,0,0) 设 m ? ( x, y, z) 是平面 PCD 的一个法向量,则 m ? CP ? 0, m ? CD ? 0 ∴?

? ?? 2 2 y ? 2 2 z ? 0 ? ?? 2 x ? 0

解得 x ? 0, y ? z, 取 y ? 1, 得 m ? (0,1,1)

…………12 分

又 BP ? (?2 2,0, 2 2), 设 ? 表示向量 BP 与平面 PCD 的法向量 m 所成的角, 则 cos ? ?

m ? BP m BP

?

1 2

…………13 分

∴? ?

?
3

, 即直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小为

? . 6

…………14 分 …………10 分

(解法二)∵AB∥CD,∴ CD ? ? AB, AB ? (2 2,0,0) ∴ CP ? (0, ?2 2, 2 2) ,…………11 分

设 m ? ( x, y, z) 是平面 PCD 的一个法向量,则 m ? CP ? 0, m ? CD ? 0 即 m ? AB ? 0 ∴?

? ?? 2 2 y ? 2 2 z ? 0 ? ?2 2 x ? 0
m ? BP m BP ? 1 2

解得 x ? 0, y ? z, 取 y ? 1, 得 m ? (0,1,1) …………12 分

则 cos ? ?

…………13 分

∴? ?

?
3

, 即直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小为

? . 6

…………14 分

19.(本题满分 14 分)已知双曲线 ? 的焦点为(0,-2)和(0,2),离心率为

2 3 ,过双曲 3

线 ? 的上支上一点 P 作双曲线 ? 的切线交两条渐近线分别于点 A, B(A、 B 在 x 轴的上方) . (1)求双曲线 ? 的标准方程; (2)探究 OA ? OB 是否为定值,若是求出该定值,若不是定值说明理由. 解: (1)依题意可设双曲线的标准方程为

y2 x2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )………1 分 a2 b2

∵c=2,………2 分

c 2 3 ………3 分 ∴ a ? 3, b ? 1 ? a 3

………4 分

∴双曲线的标准方程为

y2 ? x2 ? 1 . 3

………5 分

(2) OA ? OB 是定值 2,理由如下:………6 分 设直线 AB: y ? kx ? b, b ? 0 (没有 b>0,不得分这 1 分)………7 分

由?

? y ? kx ? b ? y ? 3x ? 3
2 2

得 k 2 ? 3 x 2 ? 2kbx ? b 2 ? 3 ? 0

?

?

k 2 ? 3 ? 0, ? ? (2kb) 2 ? 4(k 2 ? 3)(b 2 ? 3) ? 0 ………8 分
解得 k ? b ? 3 ………9 分 设 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ),则y1 ? 0,y2 ? 0 双曲线渐近线方程: y 2 ? 3x 2 ? 0 与 y ? kx ? b 联立,………10 分 得(k 2 ? 3) x 2 ? 2kbx ? b 2 ? 0 , k 2 ? 3 ? 0, ? ? (2kb) 2 ? 4(k 2 ? 3)b 2 ? 0 …11 分
2 2

x1 x2 ?

b2 k2 ?3

? -1 ,………12 分

y1 y2 ? 3 | x1 ? x2 | =3 ………13 分

∴ OA ? OB = x1 x2 ? y1 y 2 =2

………14 分

(没有 y1、y2 ? 0 导致情况多种的扣 2 分)

20. (本小题满分 14 分)
设数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,且满足 a1 ? 2 , an?1 ? 2S n ? 2 ? n ? 1,2,3 (1)求 a2 ; (3)设 bn ? (2)数列 ?a n ?的通项公式;

?.

a n ?1 1 ,求证: b1 ? b2 ? ? ? bn ? . 2 S n ?1 S n
∴ a2 ? 2S1 ? 2 ? 2a1 ? 2 ? 6 ……………2 分

证明: (1)∵ an?1 ? 2S n ? 2 (2)∵ an?1 ? 2S n ? 2

……① (没有 n≥2 扣 1 分)

∴当 n ? 2 时, an ? 2S n?1 ? 2 ……②

∴①-②得, an?1 ? 3an (n ? 2) ∵ a1 ? 2 , a 2 ? 6

……… ………5 分

∴ an?1 ? 3an (n ? N * ) ………7 分(没有验证 n=1 成立扣 1 分) ………8 分

{an } 是首项为 2,公比为 3 的等比数列, an ? 2 ? 3n?1
(3)∵ an?1 ? 2S n ? 2 ∴ Sn ?

a n ?1 ? 1 ? 3 n ? 1 ………10 分 2

(或者由公式计算得,公式对的 1 分,化简对得 1 分)

bn ?

an?1 2 ? 3n (3n?1 ? 1) ? (3n ? 1) 1 1 ………12 分 ? n?1 ? ? n ? n?1 n n ?1 n S n?1 S n (3 ? 1)(3 ? 1) (3 ? 1)(3 ? 1) 3 ?1 3 ?1
(说明:也可以 bn ?

an?1 S ? Sn 1 1 ) ? n?1 ? ? S n?1 S n S n?1 S n S n S n?1

∴ b1 ? b2 ? ? ? bn ? (

1 1 1 1 1 1 ? 2 )?( 2 ? 3 ) ??? ( n ? n ?1 ) 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1
1

?

1 1 1 ? n ?1 ? ………………14 分 2 3 ?1 2
x ? a ln(1 ? x), g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx . 1? x

21.(本题满分 14 分)设函数 f ( x) ?

(1)若函数 f ( x) 在 x ? 0 处有极值,求函数 f ( x) 的最大值; (2)①若 b 是正实数,求使得关于 x 的不等式 g ( x) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立的 b 取值

范围;
②证明:不等式.

k ?1

? k 2 ? 1 ? ln n ? 2 (n ? N *)
1

n

k

1

解:(1)由已知得: f ?( x) ?

?1 ? x ?

2

?

a , ………1 分 1? x

又∵函数 f ( x) 在 x ? 0 处有极值 ∴ f ?(0) ?

1

?1 ? 0?
1
2

2

?

a ? 0 ,即 a ? 1 1? 0

……2 分

∴ f ( x) ?

x ? ln(1 ? x), 1? x

f ?( x) ?

?1 ? x ?

?

1 ?x ………3 分 ? 1 ? x ?1 ? x ?2

∴,当 x ? ? ?1,0? 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增; 当 x ? ? 0, ?? ? 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减;………4 分(或者列表) ∴函数 f ( x) 的最大值为 f (0) ? 0 ………5 分

1 ? b ………6 分 1? x 1 ?b ? 0 (i)若 b ? 1 ,则 x ? ?0, ?? ? 时, g ?( x ) ? 1? x
(2)①由已知得: g ?( x ) ? ∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx 在 ? 0, ?? ? 上为减函数, ∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx ? g (0) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立; ………7 分 (ii)若 b ? 0 ,则 x ? ?0, ?? ? 时, g ?( x ) ?

1 ?b ? 0 1? x

∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx 在 ? 0, ?? ? 上为增函数, ∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx ? g (0) ? 0 ,不能使 g ( x) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立;…8 分 (iii) 若 0 ? b ? 1 , 则 g ?( x ) ?

1 1 ? b ? 0时 , x ? ? 1 , 1? x b

当 x ? ? 0,

? 1 ? ? 1? 时 , ? b ?

? 1 ? g ?( x ) ? 0,∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx 在 ? 0, ? 1 ? 上为增函数, ? b ?
此时 g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx ? g (0) ? 0 ,∴不能使 g ( x) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立;9 分 综上所述, b 的取值范围是 ?1,??? .

………10 分 ………11 分 ………12 分

x ? ln(1 ? x) ? x( x ? 0) , 1? x 1 1 1 1 ? ln(1 ? ) ? 取 x ? 得: 1? n n n n
②由以上得: 令 xn ?

?k
k ?1

n

2

k ? ln n , ?1

………13 分

则 x1 ?

n 1 ? n 1 1 1 ? ? ln ?1 ? ? ?? 2 ?0. , xn ? xn ?1 ? 2 ?? 2 n ?1 2 ? n ?1 ? n ?1 n ? n ? 1? n


1 因此 xn ? xn ?1 ? ??? ? x1 ? . 2

k ?1

? k 2 ? 1 ? ln n ? 2 (n ? N *)

n

k

1

………14 分


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