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高中数学必修四课程标准与教材解读2014.8.30_图文

时间:2015-10-25

人教A版必修四

课程标准与教材解读

数学教育方法的核心是学生的再 创造,教师不应该把数学当做一 个已经完成了的形式理论来教, 不应该将各种定义、规则、算法 灌输给学生,而是应该创造合适 的条件,让学生在学习数学的过 程中,用自己的体验,用自己的 思维方式,重新创造有关的数学 知识。

课程标准在课程目标上的新变化
⑴知识领域:要求学生获得必要的基础知识、基本技 能的同时要了解它们的来龙去胍,体会其中的思想方 法。 ⑵在数学思维、解决问题的能力及培养数学意识方面, 强调提倡数学地提出、分析和解决问题的能力;数学 表达和交流能力;独立获得数学知识的能力;发展数 学应用意识和创新意识。 ⑶在 情感、态度、价值观等方面要求学习数学的兴趣、信 心、锲而不舍的钻研精神,具有一定的数学视野,对 数学有较为全面的认识,逐步形成批判性的思维习惯 。

本模块内容
1、三角函数
2、平面向量 3.三角恒等变换

1、课标要求 2、课程内容加强与削弱的方面及 依据

3、课程内容与要求 4、教学建议

第一章 三角函数 一、课标要求
三角函数是基本初等函数,它是描述周期 现象的重要数学模型,在数学和其他领域 中具有重要作用。在本模块中,学生将通 过实例,逐步理解三角函数的概念及其基 本性质,认识三角函数与实际生活的联系。 体会三角函数在解决具有周期变化规律的 问题中的作用。

二、课程内容加强与削弱的方面及依据
1、加强几何直观,强调数形结合思想
三角函数的基础是几何中的相似形和圆,而研究方法 又主要是代数的,因此三角函数集中地体现了数形结合 思想,在代数和几何之间建立了初步的联系。 在本章中,充分渗透了数形结合思想。一方面是以形 助数,突出几何直观对理解抽象数学概念的作用。
(1)在三角函数及其性质的学习中,注意充分发挥单位元的 直观作用,借助单位圆认识任意角、任意角的三角函数,理解三角 函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数的图 像。 (2)通过角终边之间的对称关系来研究诱导公式。

(3)借助三角函数的图像理解三角函数在一个周期上的单调性、最 大值和最小值、图像与轴的交点等性质。

另一方面以数助形,例如应用三角函数的周期性来简化 函数图像的作用

2、强调数学建模
学习数学模型的最好方法是经历数学建模的过程,通过 对实际背景的分析、概括与抽象,建立三角函数模型, 再运用数学方法研究三角函数的性质。进而去解决更加 广泛的实际问题。这样处理体现了数学知识的产生发展 过程,反映了数学的“来龙去脉”,有助于学生理解数 学的本质。

三、内容与要求
1、任意角、弧度
了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互化。

2、三角函数
(1)借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义。
(2)借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式( ? 2 ? ? 、 ? ? ? 的正 弦、余弦、正切),能画出 y= sin x,y= cos x,y = tan x 的图像,了 解三角函数的周期性。 (3)借助图像理解正弦函数、余弦函数在 ? 0, 2? ?,正切函数在 上的性质(如单调性、最大值、最小值、图像与x轴交点等)。 (4)理解同角三角函数的基本关系式:

,? 2 ? ?-? 2,

sin 2 x +cos2 x =1

sin x = tan x cos x

(5)结合具体实例了解

y =a sin (? x+? ) 的图象。

y =a sin (? x+? )

的实际意义,能借助多媒体画出

(6)会用三角函数解决一些简单实际问题,体会三角函数是描述周期性变化现 象的重要数学模型。

四、教学建议
1、准确把握教学要求
(1)与过去的教材相比,新教材强调三角函数是一种数学模型。 (2)与以往的三角函数内容相比较,本章提出了对三角函数作为刻画现 实世界的数学模型的认识的要求,加强了对借助单位圆理解三角函数的 概念、性质,以及通过建立三角函数模型解决实际问题等内容。 (3)“标准”删减了任意角的余切、正割、余割,已知三角函数值求角, 反三角函数符号等内容。降低了对任意角概念,弧度制概念,同角三角函 数的基本关系式,诱导公式,三角函数奇偶性的要求。

这样的处理,把重点放在使学生理解三角函数及其基本性质、 体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用,而对 一些细枝末节的内容不再作过多要求。
教学时应把握好这种变化,遵循“标准”所规定的内容和要求,不要随 意补充已被删减的知识点。也不要引进那些繁琐的技巧性高的变换题目。 (4)但是,也不能放松对基本技能的训练,应该让学生记牢并熟练地使 用诱导公式,同角三角函数关系式,能用五点法作图画出正(余)弦函 数图象,这是利用三角函数解决问题的基础。

2、注意从数学模型的角度来认识三角函数,突出数学思想方法在数学模 型建构中的作用。
(1)要突出数学模型思想。教学中应当充分利用章引言提供的情景,引 导学生利用学习函数的经验,自觉地参与建构刻画周期现象的数学模型 的活动,使学生从学习之初就建立起从数学模型的角度看三角函数的意 识,在此基础上,充分注意运用三角函数模型解决实际问题的教学,使 学生经历运用三角函数模型描述周期现象、解决实际问题的全过程。 (2)要充分发挥数形结合思想方法在本章的运用。发挥单位圆、三角函 数线、图像的作用。 (3)运用和深化函数思想方法。教学中注意引导学生以必修一中学到的 研究函数的方法为指导来学习本章知识,即在函数观点的指导下,学习 三角函数。这对进一步理解三角函数概念,理解函数思想方法,对提高 学生学习过程中的数学思维水平都是十分重要的。 (4)以问题为中心充分发挥理性思维在建构数学模型中的作用。 (5)恰当地使用信息技术。

第二章 平面向量 一、课标要求
向量是近代数学中重要和基本的数学概 念之一,它是沟通代数、几何、三角函 数的一种工具。有着极其丰富的实际背 景。在本模块中,学生将了解向量丰富 的实际背景,理解平面向量及其运算的 意义。能用向量语言和方法表述和解决 数学和物理中的一些问题,提高运算能 力和解决实际问题的能力。

二、课程内容加强与削弱的方面及依据
1、标准强调向量概念的几何背景,强调理解向量运算 (加、减、数乘、数量积)及其性质的几何意义。 2、本模块用向量的数量积来推导两角差的余弦公式, 刻画平面内两条直线平行与垂直的位置关系,体现了向 量方法在研究和解决数学问题中的作用,也沟通了代数、 几何与三角的联系。 3、标准在平面向量部分删减了平面内两点间距离公式、 线段定比分点及中点坐标公式、平移公式等内容。

三、内容与要求
1、平面向量的实际背景及基本概念
通过力和力的分析等实例,了解向量的实际背景,理解 平面向量和向量相等的含义,理解向量的几何表示。

2、向量的线性运算
( 1) 通过实例,掌握向量加减法的运算,并理解其几 何意义。

(2)通过实例,掌握向量数乘的运算,并理解其几何 意义,以及两个向量共线的含义。
(3)了解向量的线性运算性质及其几何意义。

3、平面向量基本定理及坐标表示
(1)了解平面向量基本定理及其意义 (2) 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示

(3)会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算; (4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件;

了解向量的非正交分解 4、平面向量的数量积
(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义; (2)体会平面向量数量积与向量投影的关系; (3)掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的 运算 (4)能运用数量积表示两向量的夹角,会用数量积判断两 个平面向量的垂直关系。

线段的定比分点公式及应用不作要求

5、向量的应用
经历和体会用向量方法解决某些简单的平面几何问题的 过程,发展运算能力。

向量在物理中的应用作为选学内容

四、教学建议
1、明确教学要求 2、让学生参与建构活动
(1)要让学生参与建构向量及其运算的活动,经历建构 的过程,引导学生认识到向量是一种描述现实问题的数学 模型。 (2)让学生了解向量的物理背景、几何背景、知道它的 原型。 (3)通过建构活,动让学生熟悉向量及其运算的几何意 义,物理意义。这是灵活运用向量解决问题的基础。

3、让学生明确研究向量问题的基本思路
(1)向量是代数的对象。作为代数对象,向量可以运算, 而且正是因为有了运算,向量的威力才得到充分的发挥; (2)向量又是几何的对象,所以向量又可以刻画几何元素 (点、线、面),利用向量的方向可以与三角函数发生联系。
(3)因为向量“一身二任”,所以几何图形的许多性质会 表现为向量的运算性质,这样就可以通过向量的运算来描 述和研究几何元素之间的关系(如直线的平行、垂直等), 确定几何图形的长度、面积、夹角等等。 在贯穿向量教学的全过程中,都要让学生明确向量研究的基 本思路。特别是在学完本章后,更要引导学生反思,这对于 向量方法的理解,至关重要。

4、让学生理解向量方法的实质
(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示 问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为 向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间单位关 系,如距离,夹角等问题。 (3)把运算结果“翻译”成几何关系。

第三章 三角恒等变换
一、课标要求
三角恒等变换在数学中有一定的应用, 它有利于发展学生的推理能力和运算能力。 在本模块中,学生将运用向量的方法推导 基本的三角恒等变换公式,由此出发导出 其它的三角恒等变换公式,并运用这些公 式进行简单的三角恒等变换,发展学生的 推理能力和运算能力。

二、课程内容加强与削弱的方面及依据
依据课程标准的要求,教科书降低了对三角 变换的要求,特别是不再要求用积化和差、和差 化积、半角公式等作复杂的恒等变形,而把推导 积化和差、和差化积、半角公式作为三角恒等变 换的基本训练,避免任意加大三角变换的难度, 防止在三角变换中深挖洞的现象。
这样处理的目的主要是为了突出三角函数的 主要内容,特别是突出三角函数作为描述周期 变化的数学模型这一本质。

三、内容与要求
1、经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式 的过程,进一步体会向量方法的作用。

2、能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、 余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式, 了解它们的内在联系。 3、能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包 括引导导出积化和差、和差化积、半角公式,但不 要求记忆)。简单的三角函数式的化简、求值及恒 等式证明中三角函数变形的次数一般不超过三次, 整个解题过程中三角函数公式的使用一般不超过五 个。

四、教学建议
1、准确地把握教学要求 根据课程标准的要求,教科书降低了对三角变换 的要求,特别是不再要求用积化和差、和差化积、 半角公式等作复杂的恒等变形,而把推导积化和 差、和差化积、半角公式作为三角恒等变换的基 本训练,避免加大三角变换的难度,不要随意补 充已被删减的内容,也不要引进那些繁琐的、技 巧性高的难题,更不要在一些细枝末节上做文章, 但要注意基础训练。

2、注意从运算的角度看待三角变换

注意从运算的角度看待三角变换,把三角变换看 成是三角函数的运算,这样就使得三角变换和运算 (包括向量的运算)发生了联系。
在教科书中,三角变换的公式都是通过运算的 方法推导和证明的,在本章最后更是从运算的角度 提出积化和差、和差化积德研究课题。

注意突出向量和三角函数的联系

3、教学中注意展现公式的发现和推导过程
在传统的教学中,往往把三角变换单纯地视为基 本技能训练,强调反复的练习和操作,强调三角变 换的具体方法和技巧,造成了公式头绪多,练习习 题难,技巧方法刁的现象。和过去相比,教科书更 重视公式的发现和推导过程,重视学生在三角变换 中的思维过程,重视这些过程中的思维活动,和指 导这些活动的思想方法。这和传统的教学有明显的 区别。

重过程轻结论

4、对公式

a sin x+b cos x 的处理

有关形如a sin x+b cos x的三角函数式化简的一 般结论,是超出教学的一般要求的。而课本第 140页例3只是作为和差公式的逆向应用,因此 在习题中的处理也仅仅作为差角公式的应用,不 宜过多地加深拓宽。

辅助角仅限于特殊角 5、对几个三角恒等式的处理,力求让学生 经历探索过程,不要求作比较复杂的恒等变 形。

人教A版必修三

课程标准与教材解读
统计与概率

第二章

统计

现代社会是信息化社会,人们常常需要收 集数据,根据所获得的数据提取有价值的信息, 做出合理的决策。统计是研究如何合理收集、 整理、分析数据的学科,它可以为人们制定决 策提供依据。因此,高中阶段将在义务教育阶 段阶段的基础上,进一步学习统计的思想方法, 使学生形成尊重事实、用事实说话的态度,能 有效地利用统计分析的方法,科学合理地利用 数据信息。同时使他们形成正确科学的世界观 与方法论。

一、标准的要求与依据
在本模块中,学生将在义务教育阶段所学统计的的 基础上,通过实际问题情境,学习随机抽样、样本估 计总体、线性回归的基本方法,体会用样本估计总体 及其特征的思想;通过解决实际问题,较为系统地经 历数据收集与处理的全过程,体会统计思维与确定性 思维的差异。 1、强调体会统计的作用与基本思想 教学中,要引导学生通过对各种案例的分析,体会 到数理统计的一个基本而又重要的特征是通过部分的数 据来推测全体数据的性质。 2、强调统计的过程与培养理性精神 要使学生真正理解统计的思想与作用,最有效的方法 是让他们真正投入到统计实验过程中。教学时,要积极

引导学生对自己的结果进行交流,增强自己的反思意 识,提高与改进自己的数据处理能力,培养学生说理 有据的优良品质。

3、强调对抽样与样本的理解
教学中应引导学生根据实际问题的需求选择不同的 方法合理地选取样本,并从样本中提取需要的数值特 征。不应把统计处理成数字运算和画图表。

二、内容要求与教学建议
1、随机抽样 (1)要注意结合具体的实际问题情境,让学生理解随 机抽样的必要性与重要性。 (2)在参与解决统计问题的过程中学会用简单随机抽 样方法从总体抽取样本;通过对实例的分析,了解分层 抽样和系统抽样的方法。通过丰富的实例,让学生在具 体的问题情境中对这些抽样方法的必要性与重要性有所 了解。 2、用样本估计总体 (1)通过实例体会分布的意义和作用· ,在表示样本 数据的过程中,学会列频率分布表,画频率分布直方 图、频率折线图、茎叶图,体会它们各自的特点。在

具体的问题中根据情况有针对性地选择一些合适的图 表。 (2)通过实例理解样本数据标准差的意义和作用,学会 针对具体问题计算数据标准差。注意结合义务教育阶段 的学习内容。 (3)能根据实际问题的需求合理地选取样本,从样本 数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差),并 作出合理的解释。 (4)在解决统计问题的过程中,进一步体会用样本估 计总体的思想,会用样本的频率分布估计总体分布,会 用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,初步 体会样本频率分布和数字特征的随机性。 以上目标要在解决具体问题的过程中去认识、体验。

(5)会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想, 解决一些简单的实际问题,能通过对数据的分析为合理 的决策提供一些依据,认识统计的作用,体会统计思维 与确定性思维的差异。 (6)形成对数据处理过程进行初步评价的意识。这有 助于学生客观地认识统计的过程、统计分析的方法,有 助于理性思维的培养。
3、变量的相关性 (1)通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出 散点图,并利用散点图直观认识变量间的相关关系。 (2)经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过 程。知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归 方程系数公式建立线性回归方程。

教学时,可以不向学生生讲述 具体的推导过程,但要求能够用 图像直观地说明最小二乘法思想。

第三章 概率
标准要求继续加强随机性数学的教 学,在必修部分和选修部分都把概率 统计作为重要的学习单元。 随机现象在日常生活中随处可见, 概率是研究随机现象规律的科学,它 为人们认识客观世界提供了重要的思 维模式和解决问题的方法,同时为统 计学的发展提供了理论基础。

一、标准的要求与依据
本章教学中,学生将结合具体实例,学习· 概率的 某些基本性质和简单的概率模型,加深对随机现象的 理解能通过实验、计算器模拟估计简单随机事件发生 的概率。 1、强调概率的实验过程培养理性精神
概率内容的教学,要让学生在具体的实验过程中对 随机现象有一个初步的了解,进而理解概率的意义, 体会概率与频率的关系。只有通过大量的实验,才能 丰富学生对于概率意义的理解,形成随机观念。 2、强调对随机现象与概率意义的理解

概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的

意义,教师应通过日常生活中的大量实例,鼓励学 生动手试验,正确理解随机事件发生的不确定性及 其频率的稳定性,并尝试澄清日常生活中存在的一 些错误认识。 古典概型的教学应让学生通过实例理解古典概 型的特征:实验结果的有限性和每一个实验结果出 现的等可能性。让学生初步学会把一些实际问题化 为古典概型。教学时不要把重点放在“如何计数” 上,计数本身只是方法与策略问题,在具体的模型 中有很多特殊的计数方法,这些不是教学的重点, 教学的重点应当是让学生理解古典概型的特征。

二、内容要求与教学建议
1、注意与学生已有的概率统计知识相衔接 在初中,学习了随机事件的概念,要求会 运用列举计算简单随机事件的概率,通过试 验,获得随机事件发生生的频率,知道大量 重复试验时频率可以作为随机事件发生概率 的估计值。由此可以看到,高中的随机事件、 频率、概率等概念,以及概率的意义等都是 在初中初步接触过的。教学中应注意在学生 已有概念的基础上,引导他们进行更深层次 的理解。

2、在具体情境中,借助于具体的、可操作的实例让 学生了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性, 进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别。可 以组织学生利用计算器或计算机进行随机数的模拟 实验,从直观上认识频率的稳定性。
3、通过实例,在具体情境中了解两个互斥事件的概 率加法公式。如果两个事件在一次实验中,一个发生 另一个就不发生,或者说两个事件不同时发生,这样 的两个事件就是互斥事件。 4、通过实例,理解古典概型及其概率计算公式,会 用例举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件 发生的概率。

教学中,注意引导学生通过具体实例理 解古典概型的特征,试验的所有可能结果 只有有限个,每个可能的结果出现的可能 性相同。
5、了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率, 初步体会几何概型的意义。教学中,注意引导学生通 过计算机模拟来体会频率稳定于概率的客观规律,进 一步,可以利用模拟方法来进行几何概型的学习。

谢谢各位倾听
不当之处敬请指正


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