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2014届高三数学(理)一轮专题复习课件__空间点、直线、平面之间的位置关系_图文

时间:2014-11-25

§8.3

空间点、直线、平面之间的位置关系

[高考调研
考纲解读 ?了解可以作为推理依据的公理和定 理. ?理解空间直线、平面位置关系的定 义. ?能运用公理、定理和已获得的结论 证明一些空间图形的位置关系的简 单命题.

明确考向]
考情分析 ?点、线、面的位置关系是本节的重 点,也是高考的热点. ?以考查点、线、面的位置关系为 主,同时考查逻辑推理能力与空间 想象能力. ?多以选择题、填空题的形式考查, 有时也出现在解答题中,属低中档 题.

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1.平面的基本性质 公理 1:如果一条直线上的 两点 那么这条直线在此平面内. 公理 2:过 一个平面. 公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它 们有且只有 一条 过该点的公共直线. 在一个平面内,

不在一条直线上

的三点,有且只有

公理1,2,3各有什么作用?
(1)公理 1 的作用:①检验平面:②判断直线在平面内; ③由直线在平面内判断直线上的点在平面内. (2)公理 2 的作用:公理 2 及其推论给出了确定一个平面 或判断“直线共面”的方法. (3)公理 3 的作用:①判定两平面相交;②作两平面相交 的交线;③证明多点共线.

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2.直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类 ? ? ? 平行 ?共面直线? 相交 ? ? ? ?异面直线:不同在 任何 一个平面内 ? (2)异面直线所成的角 ①定义:设 a, b 是两条异面直线,经过空间任一点 O 作直线 a′∥ a,b′∥ b,把 a′与 b′所成的锐角(或直角) 叫做异面直 线 a, b 所成的角 (或夹角 ). ? π? ②范围: ?0, ? . 2 ? ?
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3.直线与平面的位置关系有 平行 、 相交 、 在平面内 情况 . 4.平面与平面的位置关系有 5.公理 4 平行于 6.定理
同一条直线 的两条直线互相平行 . 平行 、 相交

三种

两种情况.

空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角 相等
或互补 .

考点一 易错题 1、点、直线、平面位置关系考虑不全致误 [试题] (2011· 四川)l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则 下列命题正确的是(

B

)

A.l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3 B.l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3 C.l1∥l2∥l3?l1,l2,l3 共面 D.l1,l2,l3 共点?l1,l2,l3 共面

点评:由于空间点、直线、平面的位置关系是在空间考 虑,这与在平面上考虑点、线的位置关系相比复杂了很多, 特别是当直线和平面的个数较多时,各种位置关系错综复 杂、相互交织,如果考虑不全面就会导致一些错误的判 断.可借助正方体、三棱锥、三棱柱模型来分析.

①② 跟踪训练 1 下列命题中不正确 的是__________ . ...
①没有公共点的两条直线是异面直线; ②分别和两条异面直线都相交的两直线异面; ③一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一 条直线不可能平行; ④一条直线和两条异面直线都相交,则它们可以确定两 个平面.

跟踪训练 2

跟踪训练 1

2 求解两条直线所成角问题概念不准确致误

过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A 作直线 l,使 l 与棱 AB,AD, AA1 所成的角都相等,这样的直线 l 可以作 A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 ( )

如图,连接体对角线 AC1,显然 AC1 与棱 AB、AD、AA1 所 成的角都相等, 所成角的正切值都为 2.联想正方体的其他体 对角线,如连接 BD1,则 BD1 与棱 BC、BA、BB1 所成的角 都相等, ∵BB1∥AA1,BC∥AD,
∴体对角线 BD1 与棱 AB、AD、AA1 所成的角都相等,同理,体对角线 A1C、 DB1 也与棱 AB、AD、AA1 所成的角都相等,过 A 点分别作 BD1、A1C、DB1 的平行线都满足题意,故这样的直线 l 可以作 4 条.

考点二

平面的基本性质

[例 1] 如下图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 AB 的中点,F 为 A1A 的中点.求证: (1)E、C、D1、F 四点共面; (2)CE、D1F、DA 三线共点

证明:(1)连接 A1B.

∵E、F 分别是 AB 和 AA1 的中点,

1 ∴EF 綊2A1B. 又 A1D1 綊 B1C1 綊 BC, ∴四边形 A1D1CB 为平行四边形. ∴A1B∥CD1,从而 EF∥CD1.∴EF 与 CD1 确定一个平面. ∴E、F、D1、C 四点共面.

1 (2)∵EF 綊2CD1,∴直线 D1F 和 CE 必相交. 设 D1F∩CE=P.延长 D1F、CE 交于点 P. ∵P∈D1F 且 D1F?平面 AA1D1D,∴P∈平面 AA1D1D. 又 P∈EC 且 CE?平面 ABCD, ∴P∈平面 ABCD 即 P 是 平面 ABCD 与平面 AA1D1D 的公共点,而平面 ABCD∩平面 AA1D1D=AD, ∴P∈AD.∴CE、D1F、DA 三线共点.

方法点睛

要证明点共线或线共点的问题,关键是转化

为证明点在直线上,也就是利用平面的基本性质3,即证点 在两个平面的交线上.或者选择其中两点确定一直线,然后 证明另一点也在此直线上.

变式训练1 下列如图所示是正方体和正四面体,P、 Q、R、S分别是所在棱的中点,则四个点共面的图形是 __________.









解析:在④图中,可证Q点所在棱与面PRS平行,因 此,P、Q、R、S四点不共面.可证①中四边形PQRS为梯 形;③中可证四边形PQRS为平行四边形;②中如图所示取 A1A与BC的中点为M、N可证明PMQNRS为平面图形,且 PMQNRS为正六边形.

答案:①②③

考点三

判断空间两直线的位置关系

[例2]

如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分

别是A1B1、B1C1的中点.问:

(1)AM和CN是否是异面直线?说明理由. (2)D1B和CC1是否是异面直线?说明理由.

解析:(1)不是异面直线.理由: 连接MN、A1C1、AC. ∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点,∴MN∥A1C1. 又∵A1A綊C1C,∴A1ACC1为平行四边形.

∴A1C1∥AC,得到MN∥AC. ∴A、M、N、C在同一平面内,故AM和CN不是异面直 线.

(2)是异面直线.证明如下: ∵ABCD-A1B1C1D1 是正方体,∴B、C、C1、D1 不共面. 假设 D1B 与 CC1 不是异面直线, 则存在平面 α,使 D1B?平面 α,CC1?平面 α. ∴D1、B、C、C1∈α. ∵D1B?平面 A1BCD1,C∈平面 A1BCD1,C?D1B,∴过 D1B 与 C 有且仅有一个平面,即平面 A1BCD1,于是 α 与平面 A1BCD1 是同一个平面. 由假设知,C1∈平面 A1BCD1 与已知矛盾. ∴假设不成立,即 D1B 与 CC1 是异面直线.

方法点睛 (1) 证明两直线为异面直线的方法: ①定义法(不易操作). ② 反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两直线平行或相 交,由假设的条件出发、经过严密的推理,导出矛盾,从而 否定假设,肯定两条直线异面.

(2)证明直线相交,通常用平面的基本性质,平面图形的性质等;

(3)利用公理 4 或平行四边形的性质证明两条直线平行.

变式训练 2

在下图中,G、H、M、N 分别是正三棱柱

的顶点或所在棱的中点,则表示直线 GH、MN 是异面直线的 图形有__________(填上所有正确答案的序号).

(1)

(2)

(3)

(4)

解析:如题干图(1)中,直线GH∥MN; 图(2)中,G、H、N三点共面,但M?面GHN,因此直线 GH与MN异面; 图(3)中,连接MG,GM∥HN,因此GH与MN共面; 图(4)中,G、M、N共面,但H?面GMN, ∴GH与MN异面.所以图(2)、(4)中GH与MN异面.

答案:(2)(4)

考点三

异面直线所成的角

[例 3] 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, (1)求 AC 与 A1D 所成角的大小; (2)若 E、F 分别为 AB、AD 的中点,求 A1C1 与 EF 所成角 的大小.

解析:(1)如图,连接B1A、B1C,由ABCD-A1B1C1D1是 正方体, 易知A1D∥B1C, 从而B1C与AC的夹角就是AC与A1D所成的角. ∵AB1=AC=B1C, ∴∠B1CA=60° . 即A1D与AC所成角为60° .

(2)如图,连接 A1C1、EF、BD,在正方形 ABCD 中,AC ⊥BD,AC∥A1C1. ∵E、F 为 AB、AD 的中点, ∴EF∥BD. ∴EF⊥AC. ∴EF⊥A1C1. 即 A1C1 与 EF 所成的角为 90° .

方法点睛

求异面直线所成的角常采用“平移线段

法”,平移的方法一般有三种类型:利用图中已有的平行线 平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形 平移.计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行.

变式训练3

已知A是△BCD平面外的一点,E,F分别

是BC,AD的中点. (1)求证:直线EF与BD是异面直线; (2)若AC⊥BD,AC=BD,求EF与BD所成的角.

解析:(1)假设EF与BD不是异面直线,则EF与BD共面, 从而DF与BE共面,即AD与BC共面,所以A、B、C、D在同 一平面内,这与A是△BCD平面外的一点相矛盾.故直线EF 与BD是异面直线. (2)如图,取CD的中点G,连接EG、FG,则EG∥BD, 所以相交直线EF与EG所成的角,即为异面直线EF与BD所成 的角.

1 在Rt△EGF中,由EG=FG= 2 AC,求得∠FEG=45° , 即异面直线EF与BD所成的角为45° .


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