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辽宁省五校协作体2013届高三第一次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案

时间:2013-04-07


第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1.复数 Z 满足 Z ? A. 1? 3i

2?i , 则 Z 等于( ) 1? i 3 1 3 1 B. 3 ? i C. ? i D. ? i 2 2 2 2
2

2.命题“ ?x ? R, x ? ax ? 4a ? 0 ”为假命题,是“ ? 16 ? a ? 0 ”的(



A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.设函数 f ( x) ? A sin??x ? ? ?( A ? 0, ? ? 0,? 它的周期是 ? ,则( )

?
2

?? ?

?
2

) 的图像关于直线 x ?

2? 对称, 3

A. f (x) 的图象过点 ? 0, ?

? ?

1? 2?
? 5? ? ,0 ? ? 12 ?
x

B. f (x) 在 ?

? ? 2? ? , ? 上是减函数 ?12 3 ?

C. f (x) 的一个对称中心是 ?

D. f (x) 的最大值是 4

4.若 a ? 1 ,设函数 f ( x) ? a ? x ? 4 的零点为 m, g ( x) ? log a x ? x ? 4 的零点为 n , 则

1 1 ? 的取值范围是( m n
B. ?1,?? ? C.



A. ?3.5,?? ?

?4,???

D. ?4.5,?? ?

5.已知幂函数 y ? f (x) 过点 ?4,2 ? , a n ? f (n ? 1) ? f (n) ,n ? N ? , 令 记数列 ? 和为 S n ,则 S n =10 时, n 的值是( A.110 B.120 C.130
2 2

?1? ? 的前 n 项 ? an ?



D.140
2

6.在 ?ABC 中, a ? b ? c ? 2 3ab sin C ,则 ?ABC 的形状是( A. 直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.正三角形



x?0 ? x ? 2y ? 3 ? y?x 7. 设 x, y 满足约束条件 ? ,则 的取值范围是( x ?1 ?4 x ? 3 y ? 12 ?
A. ?1,5? B. ?2,6? C. ?2,10 ? D. ?3,11?



-1-

8.已知双曲线

x2 y2 a2 与其渐近线交于 A, B 两 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0) 的右焦点 F , 直线 x ? c a2 b


点,且 ?ABF 为钝角三角形,则双曲线离心率的取值范围是( A.

?

3 ,??

?

B. 1, 3
3 5

?

?

C.

?

2 ,??

?

D. 1, 2

?

?

9. 1 ? 2 x A. ? 4

?

? ? ?1 ? x ?
3

的展开式中 x 的系数是( C. 2 D. 4



B. ? 2

11.已知抛物线 M : y ? 4 x ,圆 N : ( x ? 1) ? y ? r (其中 r 为常数, r ? 0)过点 (1,0) 的
2 2 2 2

直线 l 交圆 N 于 C, D 两点,交抛物线 M 于 A, B 两点,且满足 AC ? BD 的直线 l 只有三条 的必要条件是( A r ? ?0,1? ) B. r ? ?1,2? C. r ? ? 3 ,4 ? ? ?
?2 ?

D. r ? ? 3 ,?? ? ?
?2 ? ?

12.在正三棱锥 P ? ABC 中,有一半球,其底面与三棱锥的底面重合,正三棱锥的三个侧面都 与半球相切,如果半球的半径等于 1 ,则正三棱锥的体积最小时,正三棱锥的高等于( ) A. 2 B. 2 3 C. 6 D. 3

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二填空题:本大题共四小题,每小题 5 分。 13. .经过原点 ?0,0 ? 做函数 f ( x) ? x ? 3x 的切线,则切线方程为
3 2



14. 在 Rt?ABC 中,两直角边分别为 a, b 。设 h 为斜边上的高,则

1 1 1 ? 2 ? 2 ,由此类比: 2 h a b

三棱锥 S ? ABC 中的三条侧棱 SA, SB, SC 两两垂直, 且长度分别为 a, b, c , 设棱锥底面 ABC 上的高为 h ,则 。

-2-

16. 已知 O 是锐角 ?ABC 的外接圆的圆心,且 ?A ? ? ,若 cos B AB ? cosC AC ? 2m AO ,则 sin C sin B 。 (用 ? 表示) 三解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分)

m=

已知函数 f (x) ? ? x ? mx 在 ?0,1? 上是增函数
3

(1)求实数 m 的取值集合 A. ( 2 ) 当 m 取 值 集 合 A 中 的 最 小 值 时 , 定 义 数 列 ?a n ? ; 满 足 a1 ? 3, 且 a n ? 0 ,

a n ?1 ? ? 3 f ' (a n ) ? 9 ? 2 ,求数列 ?a n ?的通项公式。
(3)若 bn ? nan ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n ,求证: S n ?

1 2

A

-3-

-4-

19. (本小题满分 12 分) 甲乙两人进行乒乓球对抗赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比赛进行到有一个比对方 多 2 分或打满 6 局时停止。设甲在每局中获胜的概率为 P ( P ? 已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为

1 ) ,且各局胜负相互独立。 2

5 。若图为统计这次比赛的局数 n 和甲,乙的总得 9

分数 S, T 的程序框图。其中如果甲获胜则输入 a ? 1, b ? 0. 如果乙获胜,则输入 a ? 0, b ? 1。

(1) 在右图中,第一,第二两个判断框应 分别填写什么条件? (2)求 P 的值。 (3)设 ? 表示比赛停止时已比赛的局数, 求随机变量 ? 的分布列和数学期望 E? 。

n

N

20. (本小题满分 12 分)

-5-

-6-

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f (x) = ax ? x ( a ? R, a ? 0) , g ( x) ? ln x
2

(1)当 a ? 1 时,判断函数 f ( x) ? g ( x) 在定义域上的单调性; (2)若函数 y ? f (x) 与 y ? g (x) 的图像有两个不同的交点 M , N ,求 a 的取值范围。 (3)设点 A( x1 , y1 ) 和 B( x2 , y 2 ) ( x1 ? x 2 ) 是函数 y ? g (x) 图像上的两点,平行于 AB 的切 线以 P( x0 , y 0 ) 为切点,求证 x1 ? x0 ? x 2 .

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知直线 l 是过点 P(?1,2) ,方向向量为 n ? (?1, 3 ) 的直线,圆方程 ? ? 2 cos( ? ? (1)求直线 l 的参数方程 (2)设直线 l 与圆相交于 M , N 两点,求 PM ? PN 的值
-7-

?
3

)

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 x ? 4 ? 3 ? x ? a , (1)若不等式的解集为空集,求 a 的范围。 (2)若不等式有解,求 a 的范围。

答案: 一选择题 1.C2.A3.C4.B5.B6.D7.D8.D9.C10.B11.D12.D 二填空题: 13. y ? 0或9 x ? 4 y ? 0 15.4 16. sin ? 三解答题: 14.

1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 2 2 h a b c

17.(1)因为函数 f (x) 在 ?0,1? 上是增函数 只需 f ( x) ? ?3x ? m 在 ?0,1? 满足 f ( x) ? 0 恒成立
' 2 '

-8-

即 ? 3x ? m ? 0 ?m ? 3
2

? A ? ?m | m ? 3?

(2)? a n ?1 ?

2 ? 3 f ' (a n ) ? 9 ? 2 ,? a n ?1 ? ? 3(?3a n ? 3) ? 9 ? 2

? an?1 ? 3an ? 2

即? a n ?1 ? 1 ? 3(a n ? 1)

?

a n ?1 ? 1 ?3 an ? 1

? 数列?a n ? 1?是等比数列,首项为 a1 ? 1 ? 2 ,公比为 3
? a n ? 2 ? 3 n ?1 ? 1
(3)由(2)可知? bn ? n ? 2 ? 3
0 1 2 n ?1

?n
n ?1

令 Tn ? 1 ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? 3 ? ... ? n ? 3

3Tn ? 1 ? 31 ? 2 ? 32 ? 3 ? 33 ? ... ? n ? 3n
两式相减得 Tn ?

1 ? (2n ? 1) ? 3 n 4

? Sn ?

1 (2n ? 1) ? 3n n(n ? 1) 1 ? ? ? 2 2 2 2

18.令 PD 中点为 F 。连接 EF ,则可证 FABE 为平行四边形。

? BE // AF ? ? EF // AB ? ? AF ? 面PAD ? BE // 面PAD ? EF ? 面PAD ?
(2)在梯形 ABCD 中。可证 BC ? BD

? 面PCD ? 面ABCD ? PD ? 面ABCD ? ? BC ? 面PDB ? ?面PCD ? 面ABCD ? CD ? ? PD ? BC ? ? ? ? PD ? CD ? BC ? 面PBC ? BD ? PD ? D ? ? ? PD ? 面PCD ? 面 PBD ? 面 PBC

-9-

P(? ? 6) ? 1 ? P(? ? 2) ? P(? ? 4) ? 1 ?
所以 ? 的分布列为:

5 20 16 ? ? 9 81 81

?
P

2

4

6

20 16 81 81 5 20 16 266 ? E? ? 2 ? ? 4 ? ? 6? ? 9 81 81 81
20.(1)

5 9

? F0 ?c,0 ?, F1 0,? b 2 ? c 2 , F2 0, b 2 ? c 2 ,? F0 F2 ?

?

? ?

?

?b

2

? c 2 ? c 2 ? b ? 1,

?

- 10 -

F1 F2 ? 2 b 2 ? c 2 ? 1, 于 是 c 2 ?

3 2 7 , a ? b2 ? c2 ? , 所 求 “ 果 圆 ” 方 程 为 4 4

4 2 4 x ? y 2 ? 1?x ? 0?, y 2 ? x 2 ? 1?x ? 0?. 7 3
( 2
2











a ? c ? 2b
2

, 得



a 2 ? b 2 ? 2b ? a
, 又

, ,

? ?2b ? ? b 2 ? c 2 ? a 2 ,? a 2 ? b 2 ? ?2b ? a ? ,
b 2 ? c 2 ? a 2 ? b 2 ,? b2 1 b ? 2 4? ? ,? ? ? , ?。 2 2 a ? 2 5? a ? ?

b 4 ? a 5

(3)设“果圆”的方程为

x2 y2 y2 x2 ? 2 ? 1?x ? 0?; 2 ? 2 ? 1?x ? 0?, 记平行弦的斜率为 k,当 a2 b b c

? x2 y2 t2 ? k=0 时, 直线 y ? t ?? b ? x ? b ? 与半椭圆 2 ? 2 ? 1?x ? 0? 的交点是 P? a 1 ? 2 , t ? , 与半 ? a b b ? ? ?
椭圆

? y2 x2 t2 ? ? 2 ? 1?x ? 0? 的 交 点 是 Q? ? c 1 ? 2 , t ?,? P, Q 的 中 点 M ( x,y ) 满 足 ? b2 c b ? ? ?
x2 ?a?c? ? ? ? 2 ?
2

? a?c t2 ? 1? 2 ?x ? ? 2 b ?y ? t ?
2



?

y2 ?1 b2



a ? c ? 2b a ? c ? 2b ?a?c? 2 ? a ? 2b,? ? ? ? 0。 ? ?b ? 2 2 ? 2 ?
综上所述,当 k=0 时, “果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上。

x2 y2 当 k>0 时 , 以 k 为 斜 率 过 B1 的 直 线 l 与 半 椭 圆 2 ? 2 ? 1?x ? 0? 的 交 点 是 a b
? 2k a2 b k 2 a 2 b ? b 3 ? ? 2 2 ? k a ? b 2 , k 2 a 2 ? b 2 ?. 由此,在直线 l 右侧,以 k 为斜率的平行弦的中点轨迹在直线 ? ? ?

y??

b2 x 上,即不在某一椭圆上,当 k<0 时,可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一 k a2

椭圆上。

- 11 -

(3)由已知:

x ? x1 x 2 ? x1 y ? y1 1 ? 2 ? ,所以 x 0 ? 2 x y 2 ? y1 x0 x 2 ? x1 ln 2 x1

由 ln

x ? x1 x 2 ? x1 x2 x x ? ln(1 ? 2 ? 1) ? 2 ? 1 ,故 x0 ? 2 ? ? x1 x x2 x1 x1 x1 ln 2 ?1 x1 x1 x 2 ? x1 x 2 ? x1 x 2 ? x1 x ? x1 ? ? ? 2 ? x2 x2 x1 x1 x 2 ? x1 ln ? ln ? ln(1 ? ? 1) x1 x2 x2 x2

同理 x0 ?

综上所述得 x1 ? x0 ? x 2 22..证明:因为 FG 切⊙O 于点 G,所以 FG =FB·FA,因为 EF // CD,所以∠BEF=∠ECD,又 A, B, D 四点共圆, C, 所以∠ECD=∠EAF, 所以∠BEF=∠EAF, 又∠EFA=∠BFE, 所以△EFA∽△BFE, 所以
2

EF FA 2 2 2 ,即 EF = FB·FA,所以 EF = GF ,即 EF=FG。 ? FB EF

- 12 -

24.

? 2 x ? 7 ( x ? 4) ? (1)设 f ( x) ? x ? 4 ? 3 ? x = ? 1(3 ? x ? 4) ?7 ? 2 x ( x ? 3) ?
如 图 (1)若不等式解集为空集 a ? 1 (2)若不等式有解 a ?1 y

1

O

3

4

x

- 13 -


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