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高中数学圆锥曲线基本知识与典型例题

时间:2016-12-30


高中数学圆锥曲线基本知识与典型例题 第一部分:椭圆 1. 椭圆的概念 在平面内与两定点 F1、F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦 点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 集合 P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中 a>0,c>0,且 a,c 为常数: (1)若 a>c,则集合 P 为椭圆; 2. 椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 x2 y2 + =1 (a>b>0) a2 b2 y2 x2 + =1(a>b>0) a2 b2 (2)若 a=c,则集合 P 为线段; (3)若 a<c,则集合 P 为空集.

图形

范围

-a≤x≤a -b≤y≤b 对称轴:坐标轴 A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b)

-b≤x≤b -a≤y≤a 对称中心:原点 A1(0,-a),A2(0,a) B1(-b,0),B2(b,0)

对称性

顶点 性 质 轴 焦距

长轴 A1A2 的长为 2a;短轴 B1B2 的长为 2b |F1F2|=2c c e= ∈(0,1) a c2=a2-b2

离心率

a,b,c 的关系

典型例题 例 1.F1,F2 是定点,且|F1F2|=6,动点 M 满足|MF1|+|MF2|=6,则 M 点的轨迹方程是( (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段 例 2. 已知 ?ABC 的周长是 16, A( ?3,0) ,B (3,0) , 则动点的轨迹方程是( (A) ) )

y x ? ?1 25 16

2

2

(B)

y y x x ? ? 1( y ? 0) (C) ? ?1 25 16 16 25

2

2

2

2

(D)

y x ? ? 1( y ? 0) 16 25

2

2

例 3. 若 F(c,0)是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点,F 与椭圆上点的距离的最大值为 M,最小值为 m,则椭圆上与 F a 2 b2
)

点的距离等于

M ?m 的点的坐标是( 2

(A)(c, ?

b2 ) a

( B)(?c, ?

b2 ) a

(C)(0,±b)

(D)不存在

x2 y 2 例 4. 设 F1(-c,0)、F2(c,0)是椭圆 2 + 2 =1(a>b>0)的两个焦点,P 是以 F1F2 为直径的圆与椭圆的一个交点, a b
若∠PF1F2=5∠PF2F1,则椭圆的离心率为( (A) )

3 2

(B)

6 3

(C)

2 2

(D)

2 3
.

例 5 P 点在椭圆

x2 y2 ? ? 1 上,F1、F2 是两个焦点,若 PF1 ? PF2 ,则 P 点的坐标是 45 20

例 6.写出满足下列条件的椭圆的标准方程: (1)长轴与短轴的和为 18,焦距为 6; (2)焦点坐标为 (? 3,0) , ( 3,0) ,并且经过点(2,1); (3)椭圆的两个顶点坐标分别为 (?3,0) , (3,0) ,且短轴是长轴的 (4)离心率为 . .

1 ; 3

____.

3 ,经过点(2,0); 2

.

例 7 F1、F2 是椭圆

x2 ? y 2 ? 1的左、右焦点,点 P 在椭圆上运动,则 | PF1 | ? | PF2 | 的最大值是 4



第二部分:双曲线 1. 双曲线的概念 平面内动点 P 与两个定点 F1、 F2(|F1F2|=2c>0)的距离之差的绝对值为常数 2a (2a<2c), 则点 P 的轨迹叫双曲 线.这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点间的距离叫焦距. 集合 P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中 a、c 为常数且 a>0,c>0: (1)当 a<c 时,P 点的轨迹是双曲线; (2)当 a=c 时,P 点的轨迹是两条射线; (3)当 a>c 时,P 点不存在. 2. 双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2 y2 - =1 (a>0,b>0) a2 b2 y2 x2 - =1(a>0,b>0) a2 b2

图形

范围 对称性 顶点 渐近线 性 质 离心率

x≥a 或 x≤-a,y∈R

x∈R,y≤-a 或 y≥a

对称轴:坐标轴 对称中心:原点 A1(-a,0),A2(a,0) b y=± x a A1(0,-a),A2(0,a) a y=± x b

c e= ,e∈(1,+∞),其中 c= a2+b2 a 线段 A1A2 叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段 B1B2 叫做双曲线的

实虚轴

虚轴,它的长|B1B2|=2b;a 叫做双曲线的半实轴长,b 叫做双曲线的半虚 轴长

a、b、c 的关系

c2=a2+b2 (c>a>0,c>b>0)

典型例题 例 8.命题甲:动点 P 到两定点 A、B 的距离之差的绝对值等于 2a(a>0);命题乙: 点 P 的轨迹是双曲线。则命题 甲是命题乙的( ) (C) 充分不必要条件 (D) 不充分也不必要条件 ) (A) 充要条件 (B) 必要不充分条件 例 9. 过点(2,-2)且与双曲线

x2 ? y 2 ? 1 有相同渐近线的双曲线的方程是( 2
(C)

(A)

x2 y2 ? ?1 4 2

(B)

y2 x2 ? ?1 4 2

x2 y2 ? ?1 2 4

(D)

y2 x2 ? ?1 2 4

例 10. 双曲线 面积为( )

x2 ? y 2 ? 1(n ? 1) 的两焦点为 F1 , F2 , P 在双曲线上,且满足 PF 1 ? PF 2 ? 2 n ? 2 ,则 n
1 2

? PF F 的
1 2

( A)1

(B)

(C )2

( D )4
1 sin C ,则第三个顶点 C 的轨迹方程是________. 2

例 11. 设 ?ABC 的顶点 A(?4,0) , B(4,0) ,且 sin A ? sin B ?

x2 y2 y2 x2 例 12. 连结双曲线 2 ? 2 ? 1 与 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的四个顶点的四边形面积为 S1 ,连结四个焦点的四 a b b a
边形的面积为 S2 ,则

S1 的最大值是________. S2

例 13.根据下列条件,求双曲线方程: ⑴与双曲线

x2 y 2 ? ? 1 有共同渐近线,且过点(-3, 2 3 ); 9 16 x2 y 2 ? ? 1 有公共焦点,且过点( 3 2 ,2). 16 4

⑵与双曲线

例 14 设双曲线 x ?
2

y2 ? 1上两点 A、B,AB 中点 M(1,2) 2

⑴求直线 AB 方程; ⑵如果线段 AB 的垂直平分线与双曲线交于 C、D 两点,那么 A、B、C、D 是否共圆,为什么?

第三部分:抛物线

1. 抛物线的概念 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(F?l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点 F 叫做抛物线的焦点,直线 l 叫做抛物线的准线. 2. 抛物线的标准方程与几何性质 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)

标准 方程

p 的几何意义:焦点 F 到准线 l 的距离

图形

顶点 对称轴 p ? F? ?2,0? y=0 p ? F? ?-2,0?

O(0,0) x=0 p? F? ?0,2? e=1 p x=- 2 x≥0,y∈R 向右 p x= 2 x≤0,y∈R 向左 p y=- 2 y≥0,x∈R 向上 p y= 2 y≤0,x∈R 向下 p? F? ?0,-2?

焦点

离心率

准线方程

范围 开口方向

典型例题 例 15. 顶点在原点,焦点是 (0, ?2) 的抛物线方程是( (A)x2=8y (B)x2= ?8y (C)y2=8x ) (D)y2=??8x )

例 16. 抛物线 y ? 4 x 2 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是( (A)

17 16

(B)

15 16

(C)

7 8
)

(D)0

例 17.过点 P(0,1)与抛物线 y2=x 有且只有一个交点的直线有( (A)4 条 (B)3 条 (C)2 条

(D)1 条

例 18. 过抛物线 y ? ax 2 (a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、 Q 两点, 若线段 PF 与 FQ 的长分别为 p、 q, 则 等于( (A)2a ) (B)

1 1 ? p q

1 2a

(C) 4 a

(D)

4 a

例 19. 若点 A 的坐标为(3,2),F 为抛物线 y2=2x 的焦点,点 P 在抛物线上移动,为使|PA|+|PF|取最小值,P 点的 坐标为( (A)(3,3) ) (B)(2,2) (C)(

1 ,1) 2

(D)(0,0) .

例 20. 动圆 M 过点 F(0,2)且与直线 y=-2 相切,则圆心 M 的轨迹方程是

例 21. 过抛物线 y2=2px 的焦点的一条直线和抛物线交于两点,设这两点的纵坐标为 y1、y2,则 y1y2=_________.

例 22. 以抛物线 x 2 ? ?3y 的焦点为圆心,通径长为半径的圆的方程是_____________.

例 23. 过点(-1,0)的直线 l 与抛物线 y2=6x 有公共点,则直线 l 的倾斜角的范围是

.

例题答案 例 1. D 例 8. (1) 例 2. B 例 3. C.例 5. B.例 7. (3, ? 4) 或(-3, ? 4)

x2 y2 x2 y2 ? ? 1或 ? ? 1; 25 16 16 25

(2)

x2 y2 x2 x2 y2 ? y2 ? 1或 ? ? 1 ;(3) ? ? 1; 9 6 3 9 81

(4)

x2 x2 y2 | PF1 | ? | PF2 | 2 ) ? a2 ? 4 ? y2 ? 1或 ? ? 1 .例 9. | PF1 | ? | PF2 | ≤ ( 2 4 4 16
例 13. D 例 16. A 例 17.

例 11. B

x2 y2 ? ? 1( x ? ?2) 4 12

例 18.

1 2

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 ;⑵ ? ?1 例 19.⑴ 9 4 12 8 4
例 20.⑴直线 AB:y=x+1 ⑵设 A、B、C、D 共圆于⊙OM,因 AB 为弦,故 M 在 AB 垂直平分线即 CD 上;又 CD 为弦,故圆心 M 为 CD 中点。因此只需证 CD 中点 M 满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|

? y ? x ?1 ? 由? 得:A(-1,0) ,B(3,4)又 CD 方程:y=-x+3 y2 2 x ? ? 1 ? ? 2 ? y ? ?x ? 3 ? 由 ? 2 y2 得:x2+6x-11=0 设 C(x3,y3) ,D(x4,y4) ,CD 中点 M(x0,y0) x ? ? 1 ? ? 2
则 x0 ?

x3 ? x4 ? ?3, y0 ? ? x0 ? 3 ? 6 ∴ M(-3,6) 2
1 |CD|= 2 10 又|MA|=|MB|= 2 10 ∴ |MA|=|MB|=|MC|=|MD| 2

∴ |MC|=|MD|=

∴ A、B、C、D 在以 CD 中点,M(-3,6)为圆心, 2 10 为半径的圆上 例 21. B(

p ? ?2, p ? ?4即x 2 ? 2 py ? ?8 y ) 2

例 22. B

例 23. B(过 P 可作抛物线的切线两条,还有一条与 x 轴平行的直线也满足要求。) 例 24. C 作为选择题可采用特殊值法,取过焦点,且垂直于 抛物线相交所形成线段分别为 p,q, 则 p=q=|FK| 而 | FK |? 对称轴的直线与

1 , 2a

?

1 1 2 2 ? ? ? ? 4a p q p (1) 2a
例 26. x2=8y 例 27. -p2

例 25. 解析:运用抛物线的准线性质.答案:B 例 28. x ? ( y ? ) ? 9
2 2

3 4

例 29. [0, arctan

6 6 ] ? [? ? arctan ,? ) 2 2


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