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三角函数及数列测试

时间:2016-07-23

新都一中高 2015 级第二期 五一节假期作业(二)
一、选择题 1.

sin 470 ? sin170 cos 300 ( cos170



A. ?

3 2

B. ?

1 2

C.

1 2

D.

3 2

2.在 ?ABC 中, A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 b cos C ? 3a cos B ? c cos B , BA ? BC ? 2 ,则

??? ? ??? ?

?ABC 的面积为(
A. 2

) B.

3 2

C. 2 2

D. 4 2 )

3.在数列 ?a n ?中, a1 ? ?2 , an ?1 ? B. ?

1 ? an ,则 a2016 等于 ( 1 ? an
C.

A.-2

1 3

1 2

D.3 )

4.等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 S 6 : S 3 ? 1 : 2 ,则 S 9 : S 3 ? ( A.1:2 B.2:3 C.3:4 D.1:3

??? ? ??? ? ??? ? 5.已知等差数列 ?a n ?的前 n 项和为 Sn ,若 OB ? a 100OA ? a101OC ,且 A 、 B 、 C 三点共线(该直线不过
点 O ),则 S 200 等于 ( A.100 ) B.101 C.200 D.201 ( )

2 6.设首项为 1,公比为 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则有 3 A.Sn=2an-1 B.Sn=3an-2
2 7.已知方程 x ? mx ? 2

C.Sn=4-3an

D.Sn=3-2an

?

?? x

2

? nx ? 2 ? ? 0 的四个根组成一个首项为
C.

A.1

B.

3 2

5 2

1 的等比数列,则 m ? n ? ( 2 9 D. 2
)



nπ 8.数列{an}的通项公式 an=ncos ,其前 n 项和为 Sn,则 S2 016 等于( 2 A.1006 C.504 B.1008 D.0

9.函数 f ( x) = cos(? x ? ? ) 的部分图像如图所示,则 f ( x) 的单调递减区间 为( ) A. (k? ?

1 3 , k? ? ), k ? Z 4 4

B. (2k? ?

1 3 , 2k? ? ), k ? Z 4 4

C. ( k ?

1 3 , k ? ), k ? Z 4 4

D. (2k ?

1 3 , 2k ? ), k ? Z 4 4

10.已知函数 f ? x ? ? ? sin ?? x ? ? ? ( ? , ? , ? 均为正的常数)的最小正周期为 ? ,当 x ? 数 f ? x ? 取得最小值,则下列结论正确的是( (A) f ? 2? ? f ? ?2? ? f ? 0? (C) f ? ?2? ? f ? 0? ? f ? 2? ) (B) f ? 0? ? f ? 2? ? f ? ?2? (D) f ? 2? ? f ? 0? ? f ? ?2? )

2? 时,函 3

11.如果 ?A1 B1C1 的三个内角的余弦值分别等于 ?A2 B2 C2 的三个内角的正弦值,则( A. ?A1 B1C1 和 ?A2 B2 C2 都是锐角三角形 B. ?A1 B1C1 和 ?A2 B2 C2 都是钝角三角形 C. ?A1 B1C1 是钝角三角形, ?A2 B2 C2 是锐角三角形 D. ?A1 B1C1 是锐角三角形, ?A2 B2 C2 是钝角三角形 12.设函数 f ( x) ? 2 x ? cos 4 x , {an}是公差为 则 ? f (a2 ) ? ? a1a5 =(
2

? 的等差数列, 且满足 f (a1 ) ? f (a2 ) ? ?? ? f (a8 ) ? 11? , 8


2

A.0 选择题答案 二、填空题

B. ?

1 8

C. ?

3 8

2

D.

13 2 ? 16

13.若 a , b 是两个不相等的正实数,则它们的等差中项和等比中项组成的集合为________ 14.锐角△ ABC 中,如果 a ? 4, b ? 3 那么 c 的范围是_____________. 15.在△ ABC 中,E 是 AB 的中点,AB=4,AC=3,BC=5,则向量 CE 在 BC 方向上的投影为_________ 16.函数 y ? 3sin x ? 3 cos x ( x ? [0,

??? ?

??? ?

?
2

] )的单调递增区间是



三、解答题 17. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn;且向量 a ? (n, Sn ), b ? (2, n ?1) 共线.(1)求数列 {an } 的通项公式 an ; (2)求数列 {

?

?

1 } 的前 n 项和 Tn ? 2 . nan

18.已知 sin(

?
8

?

?
2

)sin(

3? ? 3 ? ? ? 3 ? ? ? )? , ? ? ( , ) , cos(? ? ) ? , ? ? ( , ? ) . (Ⅰ)求 cos( ? ? ) 的 8 2 4 4 2 4 5 2 4

值; (Ⅱ)求 cos(? ? ? ) 的值.

19.已知向量 a ? 2cos x, 3 sin x , b ? ? cos x, 2cos x ? , 函数 f ? x ? ? a ? b ? m, ? m ? R ? , 且当 x ? ?0,

?

?

?

?

? ?

? ?? ? 2? ?

时, f ? x ? 的最小值为 2.(Ⅰ)求 m 的值和函数 f ? x ? 图象的对称中心; (Ⅱ)先将函数 y ? f ? x ? 的图象 上的点纵坐标不变,横坐标缩小到原来的 图象,求方程 g ? x ? ? 4 在区间 ? 0,

1 ? ,再把所得的图象向右平移 个单位,得到函数 y ? g ? x ? 的 2 12

? ?? 上所有根之和. ? 2? ?

20.在 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c ,且 2bc cos C +c ? 2a. (Ⅰ)求角 B 的 大小; (Ⅱ)若 BD

为 AC 边上的中线, cos A ?

1 129 求 ?ABC 的面积. ,BD ? , 7 2

B

21.如图,在边长为 1 的正三角形 ?ABC 中, BN ? 2 NC . ⑴求 AN ? BC

??? ?

????

E

M

N

???? ??? ?
A F C

⑵ E , F 分别是边 AB, AC 上的点, 若 AE ? mAB, AF ? n AC , m, n ? ? 0,1?.EM ?

??? ?

??? ? ??? ?

????

???? ?

点共线,求实数 m, n 之间的关系式;②若 m ? n ? 1, 求 MN 的最小值,并求此时实数 m, n 的值。

???? ?

1 ???? MF 。 ①若 A, M , N 三 2

0 2 2 2 22.已知 ?ABC 的角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,其面积 S ? 4 3 ,?B ? 60 ,且 a ? c ? 2b ;

等差数列 ?a n } 中,且 a1 ? a ,公差 d ? b .数列 ?bn ?的前 n 项和为 Tn ,且 Tn ? 2bn ? 3 ? 0 , n ? N ? . (1)求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式; (2)设 c n ? ?

?a n n为奇数 , 求数列 ?c n ? 的前 2n ? 1 项和 P2 n ?1 . ?bn n为偶数

新都一中高 2015 级第二期 五一节假期作业(二)详解
1.解:

sin 470 ? sin170 cos 300 sin(17? ? 30?) ? sin 17? cos 30? ? cos 17? cos170

?

sin 17? cos 30? ? cos 17? sin 30? ? sin 17? cos 30? 1 ? sin 30? ? .故选 C cos 17? 2

2.解:由正弦定理得 b cos C ? 3a cos B ? c cos B ? cos B ?

1 2 2 ? sin B ? 3 3

??? ? ??? ? 1 ? BA ? BC ? 2 ? AB ? BC ? 6 ? S ?ABC ? AB ? BC ? sin B ? 2 2 ,选 C 2 1 1 3.提示:通过计算出 a1 ? ?2 , a2 ? ? , a3 ? , a4 ? 3, a5 ? ?2 知此数列为周期数列,周期为 4,所以 3 2

a2016 ? a4 ? 3 ,选 D
4.解:设 S6 ? t ,则 S3 ? 2t ,由于 S3 , S6 ? S3 , S9 ? S6 成等比数列可得 S9 ? 5.解:由 A 、 B 、 C 三点共线可知 a100 ? a101 ? 1 ? S200 ? 6.解: Sn=

3 t ,则 S 9 : S 3 ? 3:4 选 C 2

200 (a1 ? a200 ) ? 100(a 100 ? a 101 ) ? 100 ,选 A 2

a1 (1 ? q n ) a1-anq ? 1-q ,代入数据可得 Sn=3-2an.选 D 1? q

1 9 2 2 是方程 x ? mx ? 2 =0 的一个根,则另一根为 4,所以 m ? ,设方程 x ? nx ? 2 ? 0 的两 2 2 1 1 根 为 x1 , x2 , 由 于 x1 ? x2 ? 2 , 所 以 四 个 根 组 成 一 个 首 项 为 的 等 比 数 列 为 , x1 , x2 , 4 , 由 此 2 2 3 x1 ? 1, x2 ? 2 ? n ? 3 ,则 m ? n ? ,选 B 2
7.解:不妨设 π 3π 8.解:a1=1cos2=0,a2=2cosπ=-2,a3=3cos 2 =0,a4=4cos2π=4; 5π 7π 8π a5=5cos =0,a6=6cos3π=-6,a7=7cos =0,a8=8cos =8;· · · · · · 2 2 2 ∴该数列每四项的和 ak +ak +1 +ak +2 +ak +3 =2 k =1,5,, 9 ??,4r +1,r ? N ? ∵2016÷ 4=504,∴S2 016=2× 504=1008,选 B 9.解:观察图象,可知函数 f ( x ) 周期为 2,所以选 10.解:由图象可知 f ( x ) 在区间 [ D 数,

?

?

? 2?
6 , 3


] 上是减函
轴 ,

x?

?
6









f (0) ? f ( ), f (?2) ? f (? ? 2) , 3 ? ? 2? ? , ? ? 2, 2 ? [ , ] , 且 ? ? ? 2 ? 2 , 所 以 3 6 3 3

?

f ( ) ? f (? ? 2) ? f (2) ,即 f (0) ? f (?2) ? f (2) ,选 A 3
11. 解: cos A B1 ? sin B2 , cos C1 ? 1 ? sinA 2 , cos

?

?A1 B1C1 三内角的余弦值均为正,即 sin C2 由已知得 ,

? ? ? ?A1 B1C1 是锐角三角形;若 ?A2 B2C2 也是锐角三角形,则 sin( ? A1 ) ? sin A2 ,且 ? A1 , A2 ? (0, ) , 2 2 2 ? ? ? ? ? A1 ? A2 ,同理可得 ? B1 ? B2 ? C1 ? C2 ,三式相加可推出矛盾,所以 ?A2 B2C2 不是锐角三角 2 2 2
形,同样若 ?A2 B2 C2 是直角三角形,也会推出矛盾。综上所述, ?A2 B2 C2 只能是钝角三角形.选 D 12.解:?

cos 4ai ? ? cos(4a1 ? (i ? 1) ) ? 0 ? 2 i ?1 i ?1
8 ? (a1 ? a8 ) ? ? 16a1 ? 7? ? 11? ? a1 ? 2 4

8

8

?

? f (a1 ) ? f (a2 ) ? ?? ? f (a8 ) ? 2 ?

? f (a2 )?
13.解: {

2

? a1a5 ?

3? ,选 C 8

a?b , ? ab , ab} 2

14.解:若 c ? 4 ,则 ? 的范围是 ( 7,5)

?c ? 3 ? 4

?c ? 4 ? 3 c ? 4 ;若 ,则 ? 7 ? c ? 4 ? 4 ? c ? 5 ,所以 c ? 2 2 2 2 2 2 3 ? c ? 4 ? 0 3 ? 4 ? c ? 0 ? ?
B

15.解: CE ? 13 , cos ? ?

??? ? ??? ? 17 17 , cos ? CE , BC ?? ? ,向量 5 13 5 13
C

5

2

??? ? 17 BC 方向上的投影为 ? 5
16. 解 : 函 数

α
3

E
2

??? ? CE 在

y?2

3 x s?i n 的 ( 递 增 ) ,区 间 为 6

?

A

[2k? ?

2? ? ? ? ?? , 2k? ? ]( k ? Z ) ,在 [0, ] 上的增区间是 ?0, ? 3 3 2 ? 3?

17.解: (1)由向量 a ? (n, Sn ), b ? (2, n ?1) 共线知 S n ? ( 2 ) Tn ?

?

?

n(n ? 1) ? an ? n ; 2

1 1 1 1 ? 2 ?? ? 2 , 当 k ? 2 时 , k2 ? k ( k? 1 ) ? 2 2 1 2 n k

1 ? k ( ? k 1)

1 1 ? ? , 所 以 ?k 1 k

1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ?? ? 2 ? 1?1? ? ? ?? ? ? 2 ? ? 2 2 1 2 n 2 2 3 n n ? ? 3? ? 3 ? 3 ? ? ? ? 3? ? )? ? sin( ? ? ) ? 18.解:(1) sin( ? )sin( , ? ?( , ) ? ? ? ?( , ) Tn ? 1 ? cos( ? ? ) ? ? 4 2

?

8

2

8

2

4

4

2

4 2

4

2 4

(2) ? ? ( , ? ) ? ? ?

?

?

2

? 3? ? 3 ? 4 ? ( , ) , cos(? ? ) ? ? sin(? ? ) ? 4 4 4 4 5 4 5
?

? cos(? ? ? ) ? cos(( ? ? ) ? ( ? ? )) ? ? 4 4
19.解: f ( x) ? 2sin(2 x ?

?

3? 4 3 10

k? ? ? ,3)(k ? Z ) ; 6 2 12 1 ( 2 ) 先 将 函 数 y ? f? x ? 的图象上的点纵坐标不变,横坐标缩小到原来的 2 ,得到 ? ? ? f ( x)? 2 s i n x (?4 ? , )再把所得的图象向右平移 3 个单位, 得到函数 y ? g ? x ? ? 2sin(4 x ? ) ? 3 的 12 6 6 ) ? m ?1 ,(1) m ? 2 ,函数 f ? x ? 图象的对称中心为 (
图象,方程 g ? x ? ? 4 即 sin(4 x ?

?

?
6

)?

1 k? ? k? ? ? ?? ? 或x? ? (k ? Z ) , 在区间 ? 0, ? 上所有根 x ? 2 2 12 2 4 ? 2?

? x ? [0, ],? x ? 或 x ? ,所以所有根之和为 . 2 12 4 3 20.解: (1) 2b cos C ? c ? 2a ,由正弦定理,得 2 sin B cos C ? sin C ? 2 sin A ,
? A ? B ? C ? ? ,?sin A ? sin(B ? C ) ? sin B cosC ? cos B sin C

?

?

?

?

2 sin B cosC ? sin C ? 2(sin B cosC ? cos B sin C ) 整理 sin C ? 2 cos B sin C
1 ? ,? 0 ? B ? ? ,? B ? 2 3 129 b bc c b ? c2 ? ? ? ,又 (2) 在 ?ABD , 由 余 弦 定 理 可 得 , 在 ?ABC , 由 正 弦 定 理 可 得 4 4 7 s i nC sin B
sin C ? 2 cos B sin C ,因为 0 ? C ? ? ,所以 sin C ? 0 , cos B ?

sin C ?

?b ? 7 5 5 3 ,所以 c ? b .由此解得 ? , S?ABC ? 10 3 7 14 ?c ? 5
2? , 3

法二: 延长 BD 到 E , DE ? BD ,连接 AE , ?ABE 中, ?BAE ?

BE 2 ? AB2 ? AE 2 ? 2 ? AB ? AE ? cos ?BAE ,因为 AE ? BC , 129 ? c2 ? a 2 ? a ? c ,由已知得, sin A ?
c sin ?ACB 5 ? ? a sin ?BAC 8

4 3 5 3 , , 所以 sin C ? sin( A ? B) ? 7 14
1 c ? a ? sin ?ABC ? 10 3 2

(2),由(1) (2)解 得 c ? 5, a ? 8 , S ?ABC ?

21.解: (1)用余弦定理求得 AN ?

???? ??? ? ? 1 1 ?????? ??? 7 ,? AN ? BC ? , cos ? AN , BC ?? cos ANB ? 6 3 2 7

(2) BA = a, BC ? b ,①若 A, M , N 三点共线,则存在 AM ? ? AN (? ? R)

??? ?

??? ?

???? ?

????

???? ? ???? ???? ? ??? ? ???? ? 2 2 n n AM ? ? AN ? ? (?a ? b) ,又 AM ? AE ? EM ? (? m ? )a ? b ,所以 n ? 4 m ; 3 3 3 3 ???? ? ???? ???? 2m ? n ? 3 2?n ?1 ? n 2?n MN ? MA ? AN ? a? b= a+ b m ? n ? 1, ② 若 3 3 3 3



???? ? ???? ? 1 n2 ? n ? 7 3 | MN |2 ? (0 ? n ? 1) 当 m ? n ? 时, MN 取得最小值 . 2 9 2
22.解: (1)? S ?

1 acsin B ? 4 3 , ? ac ? 16 ,又 a 2 ? c 2 ? 2b 2 , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B 2

? b 2 ? ac ? 16 ,? b ? 4 ,从而 (a ? c)2 ? a2 ? c2 ? 2ac ? 64 ? a ? c ? 8

? a ? c ? 4 ? a1 ? 4, d ? 4 ? an ? 4n ,又由 Tn ? 2bn ? 3 ? 0 可求得 bn ? 3? 2n?1
n -1 ? 4n , ? N? ? ? 2 (2) cn ? ? , n n ? 1 ? ?3 ? 2 , ? N ? ? 2

p2n?1 ? (a1 ? a3 ? ?? a2n?1 ) ? (b2 ? b4 ? ?? b2n )
=

[4 ? 4(2n ? 2)](n ? 1) 6(1 ? 4n ) ? ? 22 n?1 ? 4n2 ? 8n ? 2 2 1? 4


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