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北师大版高一数学必修二《1.1.6棱柱棱锥、棱台和球的表面积2》教案

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教学重点:球的体积公式和表面积公式及其应用 教学难点:球的体积公式和表面积公式及其应用 教学过程: 一、创设情景,引入新课: 提出问题:球既没有底面,也无法像在柱体、锥体和台 体那样展开成平面图形,那么怎样 来求球的表面积与体积呢?引导学生进行思考。 设疑引课: 球的大小是与球的半径有关, 如何用球半径来表示球的体积和面积?激发学生推 导球的体积和面积公式。 二、探究新知: 1.探究球的体积公式 回顾祖暅原理:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截, 如果截面的面积都相等,那么这两个几何体的体积一定相等。 构造新的几何体,结合祖暅原理推导球的体积公式(见 P32 页) 球的体积公式:V ?

4 ? R3 3

王新敞
奎屯

新疆

2. 探究球的表面积公式: 设球 O 的半 径为 R ,我们把球面任意分割为一些“小球面片” ,它们的面积分别用

?S1 , ?S2 ,

, ?Si ,

表示,则球的表面积:

S ? ?S1 ? ?S2 ?

? ?Si ?

以这些“小球面片”为底,球心为顶点的“小锥体”的体积和等于球的体积,这些“小锥体” 可 近似地看成棱锥, “小锥体”的底面积 ?Si 可近似地等于“小棱锥”的底面积,球的半径

1 R 近似地等于小棱 锥的高 hi ,因此,第 i 个小棱锥的体积 Vi ? hi ? ?Si ,当“小锥体”的 3
底面非常小时, “小锥体”的底面几乎是“平的” ,于是球的体积:
[

1 V ? (h1 ? ?S1 ? h2 ? ?S 2 ? 3

? hi ? ?Si ?

),

又∵ hi ? R ,且 S ? ?S1 ? ?S2 ? ∴可得 V ?

? ?Si ?

1 R?S , 3

又∵ V ?

1 4 4 ? R 3 ,∴ R ? S ? ? R 3 , 3 3 3
2

∴ S ? 4? R 即为球的表面积公式 三、例题示范,巩固 新知: 例 1 已 知 过 球 面 上 A, B, C 三 点 的 截 面 和 球 心 的 距 离 为 球 半 径 的 一 半 , 且

AB ? BC ? CA ? 2 ,求球的表面积 解:设截面圆心为 O? ,连结 O?A ,设球半径为 R ,
则 O?A ?

2 3 2 3 , ? ?2 ? 3 2 3
2 2 2

在 Rt ?O?OA 中, OA ? O?A ? O?O ,

C
4 2 3 2 1 2 ∴R ?( ) ? R ,∴ R ? , 3 3 4
2

O O'

B

A

∴ S ? 4? R ?
2

64 ?. 9

例 2.半球内有一个内接正方体,正方体的一个面在半球的底面圆内,若正方体棱长为 6 , 求球的表面积和体积 解:作轴截面如图所示,
D' A' D A
2

C' B' O B C

CC? ? 6 , AC ? 2 ? 6 ? 2 3 ,
设球半径为 R , 则 R ? OC ? CC?
2 2

A'

C' R

? ( 6)2 ? ( 3)2 ? 9
∴ R ? 3,
2 ∴ S球 ? 4? R ? 36? , V球 ?

A

O

C

例 3.表面积为 324? 的球,其内接正四棱柱的高是 14 ,求这个正 棱柱的表面积 解:设球半 径为 R ,正四棱柱底面边长为 a , 则作轴截面如图, AA? ? 14 , AC ?
2 又∵ 4? R ? 324? ,∴ R ? 9 ,

4 ? R 3 ? 36? . 3

D' A' B' D A O C B C'



2a ,
A'

C' O

∴ AC ?

AC?2 ? CC?2 ? 8 2 ,∴ a ? 8 ,

A

C

∴ S表 ? 64 ? 2 ? 32 ?14 ? 576 .

例 4. 如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 求证:(1) 球的体积等于圆柱体积的 (2) 球的表面积 等于圆柱的侧面积。 证明:(1) 设球的半径为 R,则圆柱的底面半径为 R,高为 2R.

2 ; 3

4 V球 ? ? R 3 , 因为 3 V圆柱 ? ? R2 ? 2R ? 2? R3.
所以, V球 ?

2 V . 3 圆柱

(2) 因为 S球 ? 4? R2 , S圆柱侧 ? 2? R ? 2R ? 4? R2 , 所以, S球 ? S圆柱侧 . 四、练习反馈,理解加深: 补充练习: 1.三个球的半径之比为 1: 2 : 3 ,那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的 2.若球的大圆面积扩大为原来的 4 倍,则球的体积比原来增加 倍; 3.把半径分别为 3,4,5 的三个铁球,熔成一个大球,则大球半径是 ; 4.正方体全面积是 24 ,它的外接球的体积是 ,内切球的体积是 . 答案:1. 3 2. 7 3. 6 4. 4 3? ,

倍;

4 ? 3

5 球 O1、O2、分别与正方体的各面、各条棱相切,正方体的各顶点都在球 O3 的表面上,求 三个球的表面积之比. 分析:球的表面积之比事实上就是半径之比的平方 ,故只需找到球半径之间的关系即可. 解:设正方体棱长为 a,则 三个球的半径依次为

a 2 3 a, a 、 2 2 2

∴ 三个球的表面积之比是 S1 : S 2 : S3 ? 1 : 2 : 3 . 五、小结归纳 :


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