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高中数学选修4-4知识点总结

时间:2014-02-18


选修 4-4 数学知识点
一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求:
1.坐标系: ① 理解坐标系的作用. ② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. ③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的 位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化. ④ 能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程. 通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程, 理解用方程表示平面图形时选择 适当坐标系的意义. 2.参数方程:① 了解参数方程,了解参数的意义. ② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.

二、知识归纳总结:
1. 伸缩变换: 设点 P( x, y ) 是平面直角坐标系中的任意一点, 在变换 ? : ?

的作用下,点 P( x, y ) 对应到点 P?( x?, y ?) ,称 ? 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简 称伸缩变换。 2.极坐标系的概念:在平面内取一个定点 O ,叫做极点;自极点 O 引一条射线 Ox 叫做极 轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这 样就建立了一个极坐标系。 3.点 M 的极坐标:设 M 是平面内一点,极点 O 与点 M 的距离 | OM | 叫做点 M 的极径, 记为 ? ;以极轴 Ox 为始边,射线 OM 为终边的 ?xOM 叫做点 M 的极角,记为 ? 。有序 数对 ( ? ,? ) 叫做点 M 的极坐标,记为 M ( ? ,? ) . 极坐标 ( ? ,? ) 与 ( ? ,? ? 2k? )(k ? Z) 表示同一个点。极点 O 的坐标为 (0,? )(? ? R ) . 4.若 ? ? 0 ,则 ? ? ? 0 ,规定点 (? ? , ? ) 与点 ( ? ,? ) 关于极点对称,即 (? ? , ? ) 与 ( ? , ? ? ? ) 表示同一点。 如果规定 ? ? 0,0 ? ? ? 2? , 那么除极点外, 平面内的点可用唯一的极坐标 ( ? ,? ) 表示; 同时,极坐标 ( ? ,? ) 表示的点也是唯一确定的。 5. 极坐标与直角坐标的互化:

?x ? ? ? ? x, (? ? 0), ? y? ? ? ? y, ( ? ? 0).

? 2 ? x2 ? y2 ,
y ? ?sin? ,

x ? ?cos? , tan? ? y ( x ? 0) x

6。圆的极坐标方程: 在极坐标系中,以极点为圆心, r 为半径的圆的极坐标方程是 ? ? r ; 在极坐标系中, 以 C (a,0) (a ? 0) 为圆心, a 为半径的圆的极坐标方程是 ? ? 2acos? ; 在极坐标系中,以 C ( a,

?
2

) (a ? 0) 为圆心, a 为半径的圆的极坐标方程是 ? ? 2asin? ;

7.在极坐标系中,? ? ? ( ? ? 0) 表示以极点为起点的一条射线;? ? ? ( ? ? R ) 表示过极点 的一条直线. 在极坐标系中, 过点 A(a,0)( a ? 0) , 且垂直于极轴的直线 l 的极坐标方程是 ?cos? ? a . 8. 参数方程的概念: 在平面直角坐标系中, 如果曲线上任意一点的坐标 x, y 都是某个变数 t

? x ? f (t ), 并且对于 t 的每一个允许值, 由这个方程所确定的点 M ( x, y ) 都在这条 ? y ? g (t ), 曲线上,那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数 x, y 的变数 t 叫做参变数,
的函数 ?

简称参数。 相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 9.圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的参数方程可表示为 ?
2 2 2

? x ? a ? rcos? , (?为参数) . ? y ? b ? rsin? .

? x ? acos? , x2 y2 (?为参数) . 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的参数方程可表示为 ? a b ? y ? bsin? .

? x ? 2 px 2 , (t为参数) . 抛物线 y ? 2 px 的参数方程可表示为 ? ? y ? 2 pt.
2

经过点 M O ( xo , y o ) ,倾斜角为 ? 的直线 l 的参数方程可表示为 ?

? x ? xo ? tcos? , (t 为 ? y ? y o ? tsin? .

参数). 10.在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的 互化中,必须使 x, y 的取值范围保持一致.


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