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2017-2018年北京市朝阳区高三上学期数学期末试卷(文科)与解析

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2017-2018 学年北京市朝阳区高三(上)期末数学试卷(文科) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选 项中,选出符合题目要求的一项. 1. (5 分)已知集合 A={x|x(x﹣2)<0},B={x|lnx>0},则 A∩B 是( A.{x|x>0} B.{x|x>2} C.{x|1<x<2} D.{x|0<x<2} ) ) 2. (5 分)已知 i 为虚数单位,设复数 z 满足 z+i=3,则|z|=( A.3 B. C.4 D.10 3. (5 分)某便利店记录了 100 天某商品的日需求量(单位:件) ,整理得下表: 日需求量 n 频率 14 0.1 15 0.2 16 0.3 18 0.2 ) 20 0.2 试估计该商品日平均需求量为( A.16 B.16.2 C.16.6 D.16.8 4. (5 分)“ ”是“cos2α=0”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ) 5. (5 分)下列函数中,是奇函数且在(0,1)内是减函数的是( ①f(x)=﹣x3 ② ③f(x)=﹣sinx ④ A.①③ . B.①④ C.②③ D.③④ 6. (5 分)某四棱锥的三视图如图所示,网格纸上小正方形的边长为 1,则该四 棱锥的体积为( ) 第 1 页(共 23 页) A.4 B. C. D. 7. (5 分)阿波罗尼斯(约公元前 262﹣190 年)证明过这样一个命题:平面内 到两定点距离之比为常数 k(k>0 且 k≠1)的点的轨迹是圆.后人将这个圆称 为阿氏圆.若平面内两定点 A,B 间的距离为 2,动点 P 与 A,B 距离之比为 当 P,A,B 不共线时,△PAB 面积的最大值是( A. B. C. D. ) , 8. (5 分)如图,△PAD 为等边三角形,四边形 ABCD 为正方形,平面 PAD⊥平 面 ABCD.若点 M 为平面 ABCD 内的一个动点,且满足 MP=MC,则点 M 在正方 形 ABCD 及其内部的轨迹为( ) A.椭圆的一部分 C.一段圆弧 B.双曲线的一部分 D.一条线段 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. 9. (5 分)执行如图所示的程序框图,输出 S 的值为 . 第 2 页(共 23 页) 10. (5 分)已知双曲线 C 的中心在原点,对称轴为坐标轴,它的一个焦点与抛 物线 y2=8x 的焦点重合, 一条渐近线方程为 x+y=0, 则双曲线 C 的方程是 11. (5 分)已知菱形 ABCD 的边长为 2,∠BAD=60°,则 = . . 12. (5 分)若变量 x,y 满足约束条件 ,则 x2+y2 的最小为 . 13. (5 分)高斯说过,他希望能够借助几何直观来了解自然界的基本问题.一 位同学受到启发,按以下步骤给出了柯西不等式的“图形证明”: (1)图 1 矩形中白色区域面积等于图 2 矩形中白色区域面积; (2)图 1 阴影区域面积用 a,b,c,d 表示为 (3)图 2 中阴影区域的面积为 ; ; (4)则柯西不等式用字母 a,b,c,d 可以表示为(ac+bd)2≤(a2+b2) (c2+d2) . 请简单表述由步骤(3)到步骤(4)的推导过程: . 14. (5 分)如图,一位同学从 P1 处观测塔顶 B 及旗杆顶 A,得仰角分别为 α 和 第 3 页(共 23 页) 90°﹣α.后退 l(单位 m)至点 P2 处再观测塔顶 B,仰角变为原来的一半,设塔 CB 和旗杆 BA 都垂直于地面,且 C,P1,P2 三点在同一条水平线上,则塔 CB 的 高为 m;旗杆 BA 的高为 m. (用含有 l 和 α 的式子表示) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证 明过程. 15. (13 分)已知函数 f(x)=(sinx+cosx)2﹣cos2x. (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求证:当 时,f(x)≥0. 16. (13 分)已知由实数构成的等比数列{an}满足 a1=2,a1+a3+a5=42. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求 a2+a4+a6+…+a2n. 17. (13 分)2017 年,世界乒乓球锦标赛在德国的杜赛尔多夫举行.整个比赛精 彩纷呈, 参赛选手展现出很高的竞技水平, 为观众奉献了多场精彩对决. 图1 (扇 形图) 和表 1 是其中一场关键比赛的部分数据统计.两位选手在此次比赛中击球 所使用的各项技术的比例统计如图.在乒乓球比赛中,接发球技术是指回接对方 发球时使用的各种方法.选手乙在比赛中的接发球技术统计如表 1,其中的前 4 项技术统称反手技术,后 3 项技术统称为正手技术. 第 4 页(共 23 页) 选手乙的接发球技术统计表 技术 反手拧球 反手搓球 反手拉球 反手拨球 正手搓 球 使用次 数 得分率 55% 50% 0% 75% 41.7% 75% 100% 20 2 2 4 12 正手拉 球 4 正手挑 球 1 (Ⅰ)观察图,在两位选手共同使用的 8 项技术中,差异最为显著的是哪两项技 术? (Ⅱ) 乒乓球接发球技术中的拉球技术包括正手拉球和反手拉球.从表 1 统计的 选手乙的所有拉球中任取两次,至少抽出一次反手拉球的概率是多少? (Ⅲ)如果仅从表 1 中选手乙接发球得分率的稳定性来看(不考虑使用次数) , 你认为选手乙的反手技术更稳定还是正手技术更稳定?(结论不要求证明) 18. (14 分)如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,底面 ABC 为正三角形,侧棱 AA1 ⊥底面 ABC.已知 D 是 BC 的中点,AB=AA1=2. (Ⅰ)求证:平面 AB1D⊥平面 BB1C1C; (Ⅱ)求证:A1C∥平面 AB1D; (Ⅲ)求三

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