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浙江省2014届高三高考模拟冲刺卷(提优卷)(四)数学文 Word版含答案

时间:2014-06-21


2014 年浙江省高考模拟冲刺卷(提优卷) 数学 (文科)测试卷(四)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. (新编)1.已知集合 P ? ?3,4,5,6? , Q ? ?5,7? ,则 P A.

Q ?(



?5?

B.

?3,4,5,6?

C.

?3,4,5,7?

D.

?3, 4,5,6,7?


(改编)2.已知 i 是虚数单位,若复数 z 满足 ( z ? i)(3 ? i) ? 10 ,则 z 的虚部为( A. i B. 2i C. 1 D. 2

”是“ cos 2? ? 0 ”的( ) 4 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件 (改编)4.已知两条直线 a , b ,两个平面 ? , ? .给出下面四个命题: ① a // b, a // ? ? b // ? ; ② a ? ? , b ? ? ,? // ? ? a ? b ; 开始 ③ a ? ? , a // b, b // ? ? ? // ? ; ④ ? // ? , a // b, a ? ? ? b ? ? . (改编)3. “? ? 其中正确的命题序号为( ) A.①②B.②③C.①④D.②④ (改编)5.如果执行右边的程序框图,若输出的 s ? 55 ,则 k ? ( A.8 B.9 C.10 D.9 或 10 )

?

i ? 1, s ? 1
i ? i ?1

s ? s ?i
i ?k?

x2 y 2 (新编)6.设 F1 , F2 分别是双曲线 2 ? 2 ? 1 的左、右焦点.若双曲线上 a b
使 ?F1MF2 ? 60 ,且 MF1 ? 2 MF2 ,则双曲线离心率为( A. 2 B. 3 C. 2 D. 5 )

是 否 输出 s 结束 第5题

存在点 M ,

(新编)7.设 a ??3,4,5,6,7? , b ??3,4,5? ,则方程 x 2 ? 2bx ? a 2 ? 0 有解的概率为( A.



2 1 1 3 B. C. D. 5 10 5 5 (新编)8. ?ABC 中, A, B 为锐角, a , b, c 为其三边长,如果 a sin A ? b sin B ? c ,则 ? C 的大小为( A. 30 B. 45 C. 60 D. 90



(新编)9.已知正三角形 ABC 的顶点 A( 3,1), B(3 3,1) ,顶点 C 在第一象限,若点 M ( x, y ) 在 ?ABC 的 内部或边界,则 z ? OA ? OM 取最大值时, 3x 2 ? y 2 有( A.定值 52 B.定值 82 C. 最小值 52 )

D. 最小值 50

? 3 4 ? 8 x ? ,1 ? x ? 2, ? ? 2 (新编) 10 .定义函数 f ( x) ? ? ,则函数 g ( x) ? xf ( x) ? 6 在区间 [1, 4] 内的最大值为 ? 1 f ( x ), x ? 2. ? ?2 2 ( ) A. ? 6 B. ?3 C. 0 D. 3
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. (改编)11.某校为了了解学生的营养状况,从该校中随机 抽取 400 名学生,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成 频率分布直方图 (如图) . 由图中数据可知该 400 名的学生中, 身高在 120cm 到 130cm 的人数为 .

(新编)12.已知某三棱锥的三视图如图所示,则它的外接 球的半径为 .

( 改 编 ) 13 . 已 知 向 量 a, b 满 足 2a ? 3b ? 1, 则 a ? b 最 大 值 为 .

x, 且 f ( ) ? 0 , 则 当 ( 新 编 ) 14 . 已 知 f ( x) ? s i nx? a c o s 3 x ?[?? ,0) 时, f ( x) 的单调递减区间是 . A , B (改编) 15. 设点 分别在直线 3x ? y ? 5 ? 0 和 3x ? y ? 13 ? 0 上
运动,线段 AB 的中点 M 恒在圆 x2 ? y 2 ? 8 内,则点 M 的横坐标 的取值范围为 .

?

(新编)16. 已知 f ( x) 是二次函数,关于 x 的方程 mf 2 ( x) ? nf ( x) ? p ? 0 ( m, n, p 为实数)有 4 个不同 的实数根,且它们从小到大的顺序为: x1 ? x2 ? x3 ? x4 ,则 x1 ? x2 ? x3 ? x4 的值为 .

1 (新编)17. 定义域为 R 的函数 f ( x) 满足 f (1) ? 3 ,且 f ( x) 的导函数 f ?( x) ? ,则满足 3 f ( x) ? x ? 8 的 x 3
的集合为 . 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

1 ? ? ? ? (新编)18.已知三点 A(? ,0), B(2,0), P(sin(2 x ? ),cos(2 x ? )) ( ? x ? ) . 2 3 3 12 4 (1)求 ?ABP 面积的最小值; (2)在(1)的条件下,求 ?ABP 的大小.

(新编)19.设数列 ?an ? 的前 n 项的和为 Sn .已知 a1 ? 6 , an ?1 ? 3Sn ? 5n , n ? N* . (1)设 bn ? Sn ? 5n ,求数列 ?bn ? 的通项公式; (2)数列 ?bn ? 中是否存在不同的三项,它们构成等差数列?若存在,请求出所有满足条件的三项; 若不存在,请说明理由.

(新编)20.在四棱锥 P ? ABCD 中, AD // BC ,?ABC ? ?APB ? 90? ,点 M 是线段 AB 上的一点, 且 PM ? CD , AB ? BC ? 2 PB ? 2 AD ? 4 BM . (1)证明:面 PAB ? 面 ABCD ; (2)求直线 CM 与平面 PCD 所成角的正弦值.

P M
C (第20题)

A D

B

(新编)21.已知抛物线的顶点是原点,对称轴为坐标轴,且抛物线过点 M (1, 2) . (1)求抛物线的标准方程; (2)若抛物线的对称轴为 x 轴,过点 N (13, ?2) 的直线交抛物线于 A, B 两点,设直线 MA, MB 的斜率 分别为 k1 , k2 ,求 k1 ? k2 的值.

3 2 (新编)22.已知函数 f ( x) ? x ? 3x ? bx ? c 在 x ? 1 处的切线是 y ? (3a ? 3) x ? 3a ? 4 .

(1)试用 a 表示 b 和 c ; (2)求函数 f ( x) 在 ?1,3?上的最小值.

2014 年浙江省高考数学模拟试题参考答案 文科
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.D 提示:因为 5 ? P,5 ? Q ,所以 P 2. D 提示:由 ( z ? i)(3 ? i) ? 10 得 z ? 3. A 提示:当 ? ? 推不出 ? ?

Q ? ?3, 4,5,6,7?

10 ? i ? 3 ? 2i , z 的虚部为 2. 3?i

?
4

时, cos2? ? cos

?
2

? 0 ;当 cos 2? ? 0 时, 2? ? ?

?
2

? 2k? (k ? Z ) ,得 ? ? ?

?
4

? k? ,

?
4



4.D 提示:① b 可能在平面 ? 内,所以①错;②由 b ? ? , ? // ? 得 b ? ? ,因为 a ? ? ,所以 a ? b ,②正 确;③由 a ? ? , a // b, b // ? 可得 ? ? ? ,所以③错;④由 ? // ? , a ? ? 得 a ? ? ,又 a // b ,所以 b ? ? , 即④正确. 5.B 提示:∵ S ? 1 ? 2 ? 6.B
10 ? 55 ,所以 i ? 10 ,故 k ? 9 .

提示:由点 M 在双曲线上,且 MF1 ? 2 MF2 ,则 MF1 ? 4a, MF2 ? 2a ,又 ?F1MF2 ? 60 ,所以在

?MF1 F2 中,由余弦定理得 16a 2 ? 4a 2 ? 2 ? 4a ? 2a ? cos60 ? 4c 2 ,解得 e ? 3
7.C

1 1 1 提示:方程 x 2 ? 2bx ? a 2 ? 0 有解的充要条件是 b ? a .若 b ? a ,其概率为 ? ? 3 ? ;若 b ? a ,事 5 3 5 1 2 1 1 1 件“ b ? a ”可以看成两个互斥事件: b ? 3, a ? 1, 2 或 b ? 2, a ? 1 ,因此其概率为 ? ? ? ? .综上, 3 5 3 5 5 1 1 2 方程 x 2 ? 2bx ? a 2 ? 0 有解的概率为 ? ? . 5 5 5 8.D
提示:若 A ? B ?

?
2

,则 sin A ? cos B,sin B ? cos A ,从而 sin 2 A ? sin 2 B

? sin A cos B ? cos Asin B ? sin( A ? B) ? sin C ,这与 a sin A ? b sin B ? c 矛盾;同理 A ? B ?
以 A? B ? 9.C

?
2

也不可能,所

?
2

,及 ?C ? 900 .

提示:由题意得 C (2 3,4) , 因为 z ? OA ? OM ? 3x ? y ,而 kBC ? ? 3 ,所以 z ? OA ? OM 取最大值

时 , 点 M ( x, y ) 的 坐 标 满 足

3x ? y ? 10 (2 3 ? x ? 3 3) , 所 以 y ? 1 0?

3 x ( 2 3? x ? 3 3 , )

s ? 3x2 ? y2 ? 3x2 ? (10 ? 3x)2 ? 6x2 ? 20 3x ?100 ,对称轴 x ?
上单调递增,因此当 x ? 2 3 时 s 有最小值 52 10.C 提示: 当1 ? x ?

5 3 ,所以 s ? f ( x) 在 ? 2 3,3 3 ? ? ? 3

3 1 3 3 时,f ( x) ? 8 x ? 8 , 所以 g ( x) ? 8( x ? ) 2 ? 8 , 此时当 x ? 时, 当 ?x?2 g ( x)max ? 0 ; 2 2 2 2

时, f ( x) ? 16 ? 8x ,所以 g ( x) ? ?8( x ? 1)2 ? 2 ? 0 ; 由此可得 1 ? x ? 2 时, g ( x)max ? 0 . 下面考虑 2 ? x ? 4 , g ( x) 的最大值的情况. 当 2 ? x ? 3 时,由函数 f ( x) 的定义知 f ( x) ? 当 x ? 3 时, g ( x)max ? 0 ; 当 3 ? x ? 4 时,同理可知, g ( x) ? ?2( x ? 2)2 ? 8 ? 0 . 由此可得 2 ? x ? 4 时, g ( x)max ? 0 . 综上,函数 g ( x) ? xf ( x) ? 6 在区间 [1, 4] 内的最大值为 0. 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.120 提示:由图可知, (0.005+0.035+ a +0.020+0.010) ? 10=1,所以 a ? 0.030,因此,该 400 名 的学生中,身高在 120cm 到 130cm 的人数为 0.03 ? 10 ? 400 ? 120 . 12.1 提示:该几何体是一个底面为直角三角形,顶点在底面的射影为斜边中点的三棱锥,此几何体的外接 球半径为 1 . 13.

1 x x 3 f ( ) ,因为 1 ? ? ,所以 g ( x) ? 2( x ? 1)2 ? 8 ,此时 2 2 2 2

1 24
(2a ? 3b )2 (2a ? 3b )2 1 (2a ? 3b )2 1 1 ? ? ? ? ,当且仅当 2a ? 3b ,且 a ? 时,上 24 24 24 24 24 4

提示:因为 a ? b ? 式等号成立. 14. [?? , ? ] 6

?

提 示 : 由 f ( ) ? 0 得 a ? ? 3 , 所 以 f ( x) ? sin x ? 3 cos x ? 2sin( x ? ) , 所 以 当 它 单 调 递 减 时 3 3 ? ? 3? 5? 11? ? 2k? ? x ? ? ? 2k? ,所以 ? 2k? ? x ? ? 2k? ,因此,当 x ?[?? ,0) 时, f ( x) 的单调递减 2 3 2 6 6

?

?

区间是 [?? , ? ] . 6 2 15. [ , 2] 5 提 示 : 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 则 3x1 ? y1 ? 5 ? 0 , 3x2 ? y2 ? 13 ? 0 , 两 式 相 加 得 设 M ( x0 , y0 ) , 则由 x1 ? x2 ? 2x0 , y1 ? y2 ? 2 y0 得 3x0 ? y0 ? 4 ? 0 , 即 y0 ? 3x0 ? 4 , 3( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? 8 ? 0 ,
2 2 因为 x0 ? y0 ? 8 ,解得

?

2 ? x0 ? 2 . 5

16.0 提示:关于 x 的方程 mf 2 ( x) ? nf ( x) ? p ? 0 的解必是 f ( x) ? k1 与 f ( x) ? k2 的解,不妨设 k1 ? k2 ,则由 题意 f ( x) ? k1 的解为 x1 , x4 ; f ( x) ? k2 的解为 x2 , x3 ,且 x1 ? x4 ? x2 ? x3 ,所以 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 0 . 17. (1, ??) 提 示 : 设 F ( x) ? 3 f ( x) ? x , 由 f ?( x) ?

1 得 F ?( x) ? 0 , 所 以 F ( x) 是 R 上 的 单 调 递 增 函 数 , 又 3

F (1) ? 3 f (1) ? 1 ? 8 ,因此,由 3 f ( x) ? x ? 8 得 F ( x) ? 8 ? F (1) ,所以 x ? 1 .
三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. 解: (1) 因为 3分

?
12

?x?

?
4

, 所以 ?

?
6

? 2x ?

?
3

?

?

, 由此得 cos(2 x ? ) ? 0 , 即点 P 在 x 轴上方, ?? 6 3 得 S?ABP ?

?

1 5 ? 5 ? ? ? ? 所以 S?ABP ? ? ? cos(2x ? ) ? cos(2 x ? ) , 由 ? ? 2? x ? 2 2 3 4 3 6 3 6 5 ?ABP 的面积的最小值为 3 .??8 分 8

5 ? 当且仅当 x ? 时, 3, 4 8

1 3 2 2 2 ) ,又因为 B(2,0) ,所以 OP ? PB ? OB ,即 ?OPB (2)当 ?ABP 的面积取最小值时,点 P ( , 2 2
为直角三角形,且 OP ? 1, OB ? 2 ,所以 ?ABP ? ??14 分 19.解:因为 an ?1 ? Sn ?1 ? Sn ,且 an ?1 ? 3Sn ? 5n ,所以 Sn ?1 ? 4Sn ? 5n ,??2 分 把 Sn ? bn ? 5n 代入得 bn ?1 ? 4bn ,??3 分 所以数列 ?bn ? 是首项为 b1 ? S1 ? 5 ? 1 ,公比为 4 的等比数列,所以 bn ? 4n ?1 .??5 分

?
6



(2)假设数列 ?bn ? 中存在任意三项 ai , a j , ak 成等差数列.??6 分 不妨设 i ? j ? k ? 1 ,由于数列 ?bn ? 单调递增,所以 2a j ? ai ? ak ,所以 2 ? 4 j ?1 ? 4i ?1 ? 4k ?1 ,??9 分 因此 2 ? 4i ? k ? 4 j ? k ? 1 ,此时左边为偶数,右边为奇数,不可能成立,??13 分

所以数列 ?bn ? 中不存在不同的三项,它们构成等差数列.??14 分 20.解: (1)由 AB ? 2 PB ? 4 BM ,得 PM ? AB , 又因为 PM ? CD ,且 AB ? CD ,所以 PM ? 面 ABCD ,??5 分 且 PM ? 面 PAB .所以,面 PAB ? 面 ABCD 。??7 分 (2)过点 M 作 MH ? CD ,连结 HP , 因为 PM ? CD ,且 PM ? MH ? M , 所以 CD ? 平面 PMH ,又由 CD ? 平面 PCD , 所以平面 PMH ? 平面 PCD ,平面 PMH ? 平面 PCD ? PH ,过点 M 作 MN ? PH ,即有 MN ? 平面

PCD ,所以 ?MCN 为直线 CM 与平面 PCD 所
成角.??10 分 在 四 棱 锥 P? ABC D 中 , 设 AB ? 2t , 则
N

P

15 3 7 5 CM ? t , PM ? t , MH ? t , 2 2 10
∴ PH ?

A

M

B

D

4 5 7 3 t , MN ? t 5 16 MN 7 5 ,即直线 CM 与 ? CM 40
7 5 .??15 分 40

H

C

从而 sin ?MCN ?

平面 PCD 所成角的正弦值为

21.解: (1)由题意抛物线的标准方程为 y 2 ? 2 px 或 x 2 ? 2my ,又抛物线过点 M (1, 2) ,所以得抛物 线的方程为 y 2 ? 4 x 或 x2 ?

1 y .??7 分 2

( 2 )由题意知抛物线的方程为 y 2 ? 4 x .设过点 N (13,? 2) 的直线 l 的方程为 x ? 13 ? m( y ? 2) ,即

x ? my ? 2 m ? 13 , 代 入

y2 ? 4x



y 2 ? 4my ? 8m ? 52 ? 0

, 设

A( 1 x ,

1

y ) , B2 ( x y ) , 2 ,则

y1 ?

y2 4 ?

,m

1

y ? ? ,?? 5 m ? 2 10 分 2y 8

所以 k1k2 ?

( y1 ? 2)( y2 ? 2) ( y1 ? 2)( y2 ? 2) ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) (my1 ? 2m ? 12)(my2 ? 2m ? 12)

?

y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4 ?8m ? 52 ? 8m ? 4 ? 2 ? 2 2 m y1 y2 ? (2m ? 12m)( y1 ? y2 ) ? (2m ? 12) m (?8m ? 52) ? (2m2 ? 12m) ? 4m ? (2m ? 12) 2
2

?

?16m ? 48 1 ? ? .??15 分 48m ? 144 3
22.解: (1)因为 f ?( x) ? 3x2 ? 6x ? b ,所以 f ?(1) ? ?3 ? b ? 3a ? 3 , f (1) ? b ? c ? 2 ? 1 ,即有

b ? 3a, c ? ?3a ? 3 .??5 分
(2)由(1)可知 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 3ax ? 3a ? 3 ,因此 f ?( x) ? 3( x ? 1)2 ? 3(a ? 1) 所以,当 a ? 1 时, f ?( x) ? 0 在 ?1,3?上恒成立,即 f ( x) 在 ?1,3?上单调递增, 因此, f ( x)min ? f (1) ? 1.??8 分 当 a ? 1 时,由 f ?( x) ? 3( x ? 1)2 ? 3(a ? 1) ? 0 得 x ? 1 ? 1 ? a 或 x ? 1 ? 1 ? a , 由 f ?( x) ? 3( x ? 1)2 ? 3(a ? 1) ? 0 得 1 ? 1 ? a ? x ? 1 ? 1 ? a ,又∵ 1 ? 1 ? a ? 1 所以当 1 ? 1 ? a ? 3 ,即 a ? ?3 时,有 f ?( x) ? 0 在 ?1,3?上恒成立,即 f ( x) 在 ?1,3?上单调递减,因 此 f ( x)min ? f (3) ? 6a ? 3 . 当 1 ? 1 ? a ? 3 ,即 ? 3 ? a ? 1 时,所以当 1 ? x ? 1 ? 1 ? a 时, f ?( x) ? 0 ,当 1 ? 1 ? a ? x ? 3 时 , f ?( x) ? 0 , 即 f ( x) 在 1,1 ? 1 ? a 上 单 调 递 减 , 在 1 ? 1 ? a ,3 上 单 调 递 增 , 所 以

?

?

?

?

f ( x)min ? f (1 ? 1 ? a ) ? 1 ? 2(a ? 1) 1 ? a .
所以 f ( x) min

?1(a ? 1) ? ? ?1 ? 2(a ? 1) 1 ? a (?3 ? a ? 1) .??14 分 ?6a ? 3(a ? ?3) ?


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