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优秀教案10-椭圆的简单几何性质(1)

时间:2013-12-20

2.1.2 椭圆的简单几何性质(1)

教材分析
《椭圆的简单几何性质》是数学选修 2-1 第二章第一节的内容,在此之前,学生已经学习了椭圆的定 义及其标准方程,为过渡到本节的学习起着铺垫作用.本节涉及到数形结合这种重要的数学思想方法,是 高考重点考察内容,并为双曲线、抛物线的学习打下基础,因此,在高中数学中占据重要地位. 本课是在学生学习了椭圆的定义、标准方程的基础上根据方程研究曲线的性质.先引导学生观察椭圆 ----几何直观,了解应该关注椭圆的哪些方面的性质,然后再引导学生考虑方程的各种特征对应着椭圆的 哪些几何特征,逐渐让学生掌握研究曲线的几何性质的方法.这样由形到数、由数到形,通过对曲线的范 围、对称性及特殊点的讨论,从整体上把握曲线形状、大小、和位置.对于学生来说,利用曲线方程研究 曲线性质这是第一次,因此它在教学中起到承上启下的作用,教学中教师要注意引导、点拨.

课时分配
本节内容用 2 课时的时间完成: 第一课时的主要内容是椭圆的简单几何性质(对称性、范围、顶点、离心率) ; 第二课时的主要内容是椭圆性质的简单综合应用.

教学目标
重 点:椭圆的简单几何性质及其探究过程; 难 点:运用曲线方程研究曲线几何性质的基本方法; 知识点:1.掌握椭圆的简单几何性质(对称性、范围、顶点、离心率) ; 2.能说明离心率的大小对椭圆形状的影响; 3.运用数形结合思想,研究曲线方程几何性质; 能力点:体会数形结合的思想,掌握利用方程研究曲线性质的基本方法; 教育点:感受解析法研究问题的思想,感知椭圆曲线的对称美,培养学生的学习兴趣; 自主探究点:从直观几何图形出发,探究椭圆的几何性质; 考试点:椭圆性质的简单应用,离心率对椭圆形状的影响; 易错易混点:a,b,c 之间的关系;离心率 e 的定义及范围;

教具准备 课堂模式

直尺,绳子,投影仪,多媒体课件等 三段六步教学、探究学习、学案导学

一、引入新课:
复习引入: 1.椭圆的定义:平面内与两个定点 F1 , F2 的距离之和等于常数(大于 | F1 F2 | )的点的轨迹叫做椭圆.

x2 y 2 y 2 x2 2. 椭圆的标准方程: 当焦点在 x 轴上时, 2 + 2 = 1(a > b > 0) ; 当焦点在 y 轴上时, 2 + 2 = 1(a > b > 0) . a b a b
3.椭圆中 a,b,c 的关系是: a = b + c . 【设计意图】根据曲线的方程研究曲线的几何性质并正确地画出它的图形是解析几何的基本问题之一,在
2 2 2

此之前,学生一定要能熟练写出椭圆的标准方程. 课题引入: 观察椭圆

x2 y 2 + = 1(a > b > 0) 的形状,你能从图上看出它的范围吗?它具有怎样的对称性?椭圆上哪些 a 2 b2

点比较特殊? 【设计意图】借助多媒体辅助手段,先给出一个可以直观的椭圆,创设问题情景,让学生从形的角度先对 椭圆的几何性质有一个整体的把握,引导学生观察、分析、猜测、论证,然后再重点从数的角度也就是方 程组织讨论,合作交流,启发学生积极思维,不断探索后汇报研究成果,得到结论后总结,及时进行反馈 应用和反思总结.

二、探究新知:
【师】观察椭圆

x2 y 2 + = 1(a > b > 0) 的形状,你能从图上看出它的范围吗?它具有怎样的对称性? a 2 b2

【生】1.椭圆是轴对称图形,关于 x 轴、y 轴对称;椭圆还是中心对称图形,关于坐标原点对称. 2.椭圆与坐标轴有四个交点,其中与 x 轴的两个交点分别为 (a,0),(- a,0) ,与 y 轴的两个交点分 别是 (0, b),(0, - b) . 3.x 的取值范围是 [- a, a] ,y 的取值范围是 [- b, b] . 【师】由图形观察出的几何性质,能否由方程得到? 【生】思考、研究、交流,展示自己的研究方法. 1. 范围 (1)从图像上容易看出,椭圆上的点的横坐标的范围是

y B2 b
F1

?a ? x ? a ,纵坐标的范围是 ?b ? y ? b .
(2)由方程可知,

a

A1

A2
F2

O

y2 x2 ? 1? 2 ? 0 , b2 a

o
B1

c

x

x2 所以,椭圆上所有的点都适合不等式 2 ? 1 ,即 ?a ? x ? a . a
同理有 ?b ? y ? b . 【师】椭圆正好位于直线 x ? ?a 和 y ? ?b 所围成的矩形框里. 2. 对称性 (1)观察椭圆的形状,可以发现椭圆既是轴对称图形,也是中心对 称图形.
y

P ( x, y )

x2 y 2 (2)在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 中, a b
(i)把 x 换成 ?x ,方程不变,故图象关于 y 轴对称; (ii)把 y 换成 ? y ,方程不变,故图象关于 x 轴对称;

O

x

P2 (? x, ? y )

P ( x, ? y ) 1

(iii)把 x 换成 ?x ,同时把 y 换成 ? y ,方程不变,故图象关于原点成中心对称. 【师】综上,椭圆关于 x 轴和 y 轴都是轴对称的,关于原点是中心对称的,这时,坐标轴是椭圆的对称轴, 坐标原点是椭圆的对称中心,椭圆的对称中心又叫椭圆的中心. 3. 顶点 令 x ? 0 ,得 y ? ?b ,说明椭圆与 y 轴的交点为 (?b,0) ;令 y ? 0 ,得 x ? ?a ,说明椭圆与 x 轴的交点 为 (?a,0) . 顶点:椭圆与它的对称轴的四个交点,叫做椭圆的顶点. 椭圆的四个顶点分别为 A1 (?a, 0), A2 (a, 0), B1 (0, ?b), B2 (0, b) . 长轴、短轴:线段 A1 A2 , B1 B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴. a , b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 【练习】根据前面所学有关知识画出下列图形:

(1)

x2 y 2 ? ? 1; 25 16

(2)

x2 y 2 ? ?1. 25 4

y
A1
4 3 2 1 -1 -2 -3 -4

B2 A2
x

y
4 3 2 1 -2 -3 -4

B2 A2 x B1

-5 -4 -3 -2 -1 O1 2 3 4 5

A1

-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 -1

B1

【师】我们来比较上面两个图形的扁平程度,当长轴相当的时候,椭圆的短轴越短,椭圆就越扁,那么, 我们有一个专门用来刻画椭圆扁平程度的量,离心率. 【设计意图】引导学生分析图像,从图像中体会 a, b, c 对椭圆扁平程度的影响,分析其中的相应变化,从 而自然引出离心率的概念,显得不突兀;另外,除了离心率外,

b c 或 的大小也是可以刻画椭圆的扁平程 a b

度,具体的情况要学生自己探索,教师做到授之以渔就可以了. 4. 离心率 【师】我们把椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率,用 e 表示,即 e ?

(1)离心率的取值范围: 0 ? e ? 1; (2)离心率对椭圆形状的影响: (i) e 越接近 1 , c 就越接近 a ,从而 b 就越小,椭圆就越扁; (ii) e 越接近 0 , c 就越接近 0 ,从而 b 就越大,椭圆就越圆. 【师】思考:当 e ? 0 时,曲线是什么?当 e ? 1 时,曲线又是什么? 【生】当 e ? 0 时, c ? 0 , a ? b ,曲线是圆;当 e ? 1 时, c ? a , b ? 0 ,曲线是线段. (3)离心率 e 与 a, b 的关系: e ?

c . a

c ? a

a 2 ? b2 b2 ? 1? 2 a2 a
2

2 y 2 2 练习:对于椭圆 C2 : 9 x ? y ? 36 与椭圆 C2 : x ? ? 2 ,更接近于圆的是:

16 12



【设计意图】通过探究,培养学生研究问题的严谨性,观察得到的结论不一定正确,必须给予理论证明,

同时让学生尝试研究性学习与接受式学习相结合的学习方式,在这种方式下,学生自主的研究问题,在研 究中掌握本节知识,体验用方程研究图形性质的思想和方法.

三、理解新知: 椭圆的简单几何性质
y B2 A2 F2 图形 A1 F1 O B1 F1 F2 A2 x B1 O B2 x y

A1

标准方程

x2 y 2 + = 1(a > b > 0) a 2 b2

y 2 x2 + = 1(a > b > 0) a 2 b2

范围 焦点

?a ? x ? a , ?b ? y ? b
(?c,0) , (c, 0)

?b ? x ? b , ?a ? y ? a
(0, ?c) , (0, c)

(?a,0),(a,0) ,
顶点

(?b,0),(b,0) , (0, ?a),(0, a)

(0, ?b),(0, b)
e? c , 0 ? e ?1 a

对称性 离心率 a,b,c 的关 系 半轴长

关于 x 轴、y 轴成轴对称;关于原点成中心对称

a 2 ? b2 ? c 2
长半轴长 a,短半轴长 b,a>b

【设计意图】用表格的形式呈现,更方便学生理解和应用,为继续学习打好坚实的基础.

四、运用新知:
例 1. 求椭圆 16 x ? 25 y ? 400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标.
2 2

分析:先把椭圆的方程化成标准方程

x2 y 2 ? ? 1. 25 16

x2 y2 解:把已知方程化成标准方程 2 ? 2 ? 1 , 5 4
于是, a ? 5, b ? 4, c ?

a 2 ? b2 ? 3 .

所以,长轴与短轴的长分别为 2a ? 10, 2b ? 8, 离心率 e ?

c 3 ? , 两个焦点坐标分别为 F1 (?3, 0), F2 (3, 0), a 5

四个顶点坐标分别为 A (?5, 0), A2 (5, 0), B1 (0, ?4), B2 (0, 4). 1 练习:求下列椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.

(1) x 2 ? 9 y 2 ? 81 ; (2)25 x 2 ? 9 y 2 ? 225 ; (3)16 x 2 ? y 2 ? 25 ; (4)4 x 2 ? 5 y 2 ? 1 .
小结:如果给出的椭圆方程不是标准方程,需要先化成标准方程,再确定 a,b,c 的值,然后进行计算. 【设计意图】让学生尝试用前面研究问题的方法解决实际问题,学以致用,进一步体验解析几何的基本思 想,同时加深对一些基本概念:长轴、短轴、焦点、顶点、离心率等的理解. 例 2 . 已知椭圆 x ? (m ? 3) y ? m(m ? 0) 的离心率 e ?
2 2

3 ,求 m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦 2

点坐标、顶点坐标. 分析:将椭圆方程化为标准形式,用 m 表示出 a, b, c ,再由 e ? 坐标、顶点坐标.

3 求出 m 的值,然后再求 2a, 2b 、焦点 2

解:椭圆方程可化为

x2 y2 ? ? 1, m m m?3

又? m ?

m m(m ? 2) ? ? 0, m?3 m?3

?m ?

m m 2 2 ,即 a ? m, b ? . m?3 m?3
m(m ? 2) , m?3

? c ? a 2 ? b2 ?
由e ?

3 ,得 2

m?2 3 ? .解得 m ? 1, m?3 2

?椭圆的标准方程为

y2 x ? ? 1, 1 4
2

1 3 ? a ? 1, b ? , c ? . 2 2

?

椭圆的长轴长为 2,短轴长为 1,
3 3 , 0), F2 ( , 0), 2 2

两个焦点坐标分别为 F1 (?

四个顶点坐标分别为 A1 (?1, 0), A2 (1, 0), B1 (0, ? ), B2 (0, ). 【设计意图】已知椭圆的方程讨论其性质时,应先把椭圆的方程化成标准形式,找准 a, b ,才能正确写出 其相关的性质,在求顶点坐标与焦点坐标时,应注意焦点所在的坐标轴. 例 3 .求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)长轴长为 6,离心率是

1 2

1 2

2 ; 3

(2)在 x 轴上的一个焦点,与短轴的两个端点的连线互相垂直,且焦距为 6. 分析:因为要求的是椭圆的标准方程,故可以先设出椭圆的标准方程,再利用待定系数法求参数 a, b, c.

解: (1)设椭圆方程

x2 y 2 y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 或 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) . a2 b a b

由已知得

2a ? 6,? a ? 3.

又e

?

c 2 ? ,? c ? 2. a 3

?b2 ? a2 ? c2 ? 9 ? 4 ? 5.

?

椭圆的标准方程为

x2 y2 y 2 x2 ? ? 1或 ? ? 1. 9 5 9 5
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

(2)由题知焦点在 x 轴上,故可设椭圆的标准方程为 且两焦点是 F1 (?3, 0), F2 (3, 0),

又△ A1 FA2 为等腰三角形, OF 为斜边 A1 A2 的中线,且 | OF |? c,| A1 A2 |? 2b,

? c ? b ? 3, a 2 ? b2 ? c 2 ? 18 .

x2 y2 ? 1. ? 椭圆的标准方程为 ? 18 9
【设计意图】提高学生分析问题,运用几何性质、数形结合思想解决实际问题的能力. 练习:求适合下列条件的椭圆的标准方程:

(1)过点 (3, 0) ,离心率 e ?

6 ; 3

(2)长轴长是短轴长的 2 倍,且椭圆过点 (?2, ?4) . 【设计意图】让学生能够从已知的椭圆的几何性质探究椭圆的标准方程形式,进一步提升学生对待定系数 法的认识,一般步骤主要是(1)定位, (2)定量.

五、课堂小结:
教师提问:本节课我们学习了哪些知识点,涉及到什么规律方法? 学生作答: (1) 本节课从范围、顶点、对称性、离心率四个方面学习了椭圆的几何性质; (2) 体验了由方程研究几何性质的方法; (3) 本节课的一个重要数学思想是数形结合.数形结合也是后面学习其它知识的重要思想方法之一. 【设计意图】加强对学生学习方法的指导,做到“授人以渔” .

六、布置作业:
1. 阅读课本 P37—P40;
2. 必做题:(1)课本第 41 页,练习,第 2,3,4,5 题;(2)课本第 42 页,A 组,第 3,4,5 题. 3. 选做题:课本第 43 页,B 组,第 1 题 4. 课外探究:用《几何画板》探究离心率 e 对椭圆扁平程度的影响. 【设计意图】设计作业必做题 1,2,是引导学生先复习,再作业,培养学生良好的学习习惯.书面作业的 布置,是为了让学生掌握椭圆的几何性质,根据题目条件求椭圆的标准方程;课外探究的安排,是让学生 进一步感受离心率 e 对椭圆扁平程度的影响,结合《几何画板》画图,让学生更直观的感受,体会数学美, 使所学知识和方法得到进一步的提高.

七、教后反思:
1.本节课采用“以问题为中心”的自学探究模式,教师平等的参与学生的自主探究活动,力求调动 一切积极因素,激发学生的学习兴趣,引导学生全员参与.在教师的引导启发下,使学生的思维围绕“探 究”步步深入,最大限度挖掘学生潜能,体现学生的主体性.通过动手操作,合作交流,使学生发现并掌 握椭圆的简单几何性质,感受领会从数到形、从形到数的探究过程. 2.借助多媒体、几何画板辅助教学,精确的画出椭圆,便于学生观察几何性质,激发学生的学习兴 趣,增加课堂教学的信息容量,提高了课堂教学的效率. 3.在教学方法上,主要是采用“自学探究”进行教学.教师通过点拨引导的方式,启动学生的思维

活动,从图形出发引出数学概念,使学生充分理解“数形结合思想” .

八、板书设计:
2.1.2 椭圆的简单几何性质 例1 练习 1: 例2 练习 2: 例3 图形 标准方程 焦点坐标 取值范围 顶点坐标 对称性 离心率 e a,b,c 的 关系 【设计意图】有利于学生对本节课的知识有一个系统的认识.

以表格形式展示:椭圆的简单几何性质


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