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湖南省益阳市2015届高三4月调研考试文科数学试题

时间:2015-04-10


湖南益阳市 2015 届高三 4 月调研考试文科数学试题
本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共 5 页. 时量 120 分钟,满分 150 分. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 已知 i 为虚数单位,复数 z ? ?1 ? 2i ? i 对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2 2. 已知集合 M ? ?0,1, 2,3? , N ? x x ? 3 x ? 0 ,则M ∩N ?

?

?

A. ?1, 2?

B.

? x x ? 0?

C.

? x ? ? x ? 3?

D.

?0?

2 3. 命题“若 x ? 0 ,则 x ? 0 ”的否命题是

A.若 x ? 0 ,则 x 2 C.若 x ? 0 ,则 x 2

? ?

0 0

B.若 x 2

?

0, 则 x ? 0

D.若 x 2 ? 0 ,则 x ? 0

4. 已知焦点在 x 轴上的椭圆的离心率为 的半径,则椭圆的标准方程是

1 2 2 ,它的长轴长等于圆 x ? y ? 2x ?15 ? 0 2
开始

x2 y 2 ? ?1 A. 4 3
C.

x2 ? y2 ? 1 B. 4
x2 y 2 ? ?1 D. 16 12

输入

n

x2 y 2 ? ?1 16 4

k ? 1, S ? 0

k ? k ?1
S ? S ? 2k

5. 当 n ? 3 时,执行如右图所示的程序框图, 输出的 S 值为 A. 30 C. 8 B.14 D. 6

k ? n?
否 输出 S



S

结束 3 2 6 6. 设 a ? tan ? , b ? cos ? , c ? (1 ? sin ? ) 0 ,则 a , b, c 的大小关系是 4 5 5

A. c ? a ? b

B. c ? b ? a
数学(文史类) 试题卷

C. a ? b ? c
第 1 页 (共 12 页)

D. b ? c ? a

7. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 2a A.

2? a 3

3

B.

?a
3

3

a
正视图 左视图
3

C. ? a 3

D.

?a
6

a
俯视图

??2 ? 2 x ? y ? 2 8. 不等式组 ? 围成的区域为 ? ,能够把区域 ? 的周长和面积同时分为 ??2 ? 2 x ? y ? 2

相等两部分的曲线为 A.

y ? x3 ? 3x ? 1
2? x 2? x

B.

y ? x sin 2 x
1 x (e ? e? x ) 4

C. y ? ln

D. y ?

?? x 2 ? 2 x , x ? 0 9. 已知函数 f ( x) ? ? ,若 | f ( x) |? ax ? 1 恒成立,则 a 的取值范围是 ?ln( x ? 1) , x ? 0
A. [?2, 0] B. [?2,1] C. [?4,1] D. [?4, 0]

10. 如 图 , 在 △ OMN 中 , A, B 分 别 是 O M , O N的 中 点 , 若 OP ? xOA ? y OB ( x, y ? R ),且点 P 落在四边形 ABNM 内(含边界),则

1 2 , ] 3 3 1 3 C. [ , ] 4 4
A. [

B. [

1 3 , ] 3 4 1 2 D. [ , ] 4 3

y ?1 的取值范围是 x? y?2 N

B
O

P A

M

(第 10 题图) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡 中对应题号后的横线上。 11. 在某市 2015 年“创建省文明卫生城市”知识竞赛中 ,
数学(文史类) 试题卷 第 2 页 (共 12 页 ) 0.04 0.03 0.02 0.01 O 40 50 60 70 80 分数(分)
频率 组距

考评组从中抽取 200 份试卷进行分析,其分数的频率分 布直方图如右图所示,则分数在区间 [60, 70) 上的人数大 约有 人.

12. 如图所示,矩形长为 3,宽为 2,在矩形内随机撒 200 颗 黄豆,数得落在椭圆内的黄豆数为 160 颗,依据此实验数 据可以估计出椭圆的面积约为 13. 在极坐标系中,点A(2, . .

? )与曲线 ? cos ? ? 2 上的点的最短距离为 3

14. 将函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) 的图象向右平移 ? (? ? 0) 个单位长度后得到函数 g ( x) 的图象,若 f ( x), g ( x) 的图象的对称轴重合,则 ? 的值为 .

15. 点 P ( x, y ) 在直线 y ? kx ? 2 上,记 T ?| x | ? | y | ,若使 T 取得最小值的点 P 有无 数个,则实数 k 的取值是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤.
16. (本小题满分 12 分) 等差数列 {an } 满足: a 2 ? a 4 ? 6 , a 6 ? S 3 ,其中 S n 为数列 {an } 前 n 项和. (Ⅰ)求数列 {an } 通项公式; (Ⅱ)若 k ? N * ,且 a k , a3k , S 2 k 成等比数列,求 k 的值.

17. (本小题满分 12 分) 某城市持续性的雾霾天气严重威胁着人们的身体健康,汽车的尾气排放是造成雾霾 天气的重要因素之一, 为此该城市实施了机动车尾号限行政策。 现有家报社想调查了解
数学(文史类) 试题卷 第 3 页 (共 12 页)

该市区公民对“车辆限行”的态度,在该城市里随机抽查了 50 人,将调查情况进行整 理后制成下表: 年龄(岁) 频 数 支持的人数

[15, 25) [25, 35) [35, 45) [45, 55) [55, 65) [65, 75] 2 4 20 14 5 5 1 3 15 11 4 4

(Ⅰ)请估计该市公民对“车辆限行”的支持率(答案用百分比表示); (Ⅱ)若从年龄在[15,25),[25,35)的被调查者中采用分层抽样选取 3 人进行跟踪调 查,求选取的 3 人中有 2 人不支持“车辆限行”的概率.

18. (本小题满分 12 分) 已 知 在 △ ABC 中 , 三 条 边 a 、 b 、 c 所 对 的 角 分 别 为 A 、 B 、 C , 向 量

m ? (sin A ,cos A) , n ? (cosB ,sin B) ,且满足 m ? n ? sin 2C .
(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 sin A , sin C , sin B 成等比数列,且 AC ? ( AB ? AC ) ? ?8 , 求边 c 的值并求△ABC 外接圆的面积.

19.(本小题满分 13 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD ,侧面 PAD 是边长为 2 的正三角形,且与底面垂直,底面

ABCD 是 ?ABC ? 60? 的菱形, M 为 PC 的中点. (Ⅰ) 求证: PC ? AD ; (Ⅱ) 在棱 PB 上是否存在一点 Q ,使得 A, Q, M , D 四点共面?
若存在,指出点 Q 的位置并证明;若不存在,请说明理由; (Ⅲ) 求点 D 到平面 PAM 的距离.
A B C

P

M

D

20. (本小题满分 13 分) 已知抛物线的顶点在原点,焦点 F 在 x 轴上,且抛物线上横坐标为 1 的点到 F 的 距离为 2 ,过点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点.
数学(文史类) 试题卷 第 4 页 (共 12 页)

y
A C M

(Ⅰ)求抛物线的方程; (Ⅱ)若 AF ? 2 FB ,求直线 AB 的斜率; (Ⅲ)设点 M 在线段 AB 上运动,原点 O 关于点 M 的 对称点为 C,求四边形 OACB 面积的最小值.

21. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx (b, c ? R) ,其图象记为曲线 C . (Ⅰ)若 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值为 ?1 ,求 b, c 的值; ( Ⅱ ) 若 f ( x) 有 三 个 不 同 的 零 点 , 分 别 为 x1 , x2 , x3 , 且 x3 ? x2 ? x1 ?0 , 过 点

O( x1 , f ( x1 )) 作曲线 C 的切线,切点为 A ( x0 , f ( x0 )) (点 A 异于点 O ).
①证明: x0 ?

x2 ? x3 ; 2

②若三个零点均属于区间 [0,2) ,求

f ( x0 ) 的取值范围. x0

益阳市 2015 届高三四月调研考试 数学参考答案(文史类)
数学(文史类) 试题卷 第 5 页 (共 12 页)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分). 题号 答案 1 B 2 A 3 C 4 A 5 B 6 B 7 D 8 C 9 D 10 C

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分). 11. 1 80 12. 4.8 13. 1 14.

k? , k ? N* 2

15.

-1 或

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 等差数列 {an } 足: a 2 ? a 4 ? 6 , a 6 ? S 3 ,其中 S n 为数列 {an } 前 n 项和. (Ⅰ)求数列 {an } 通项公式; (Ⅱ)若 a k , a3k , S 2 k 成等比数列,求 k 值. 解: (1)由条件, (2) Sn ?

a1 ? d ? a1 ? 3d ? 6? ?a1 ? 1 ? an ? n ; ??? a1 ? 5d ? 3a1 ? 3d ? ?d ? 1

??6 分

n(n ? 1) , ∵ a3k 2 ? ak ? S2k , ?9k 2 ? k ? k (2k ? 1) ? k ? 4 . ? ? 12 分 2

17. (本小题满分 12 分)

某城市持续性的雾霾天气严重威胁着人们的身体健康,汽车的尾气排放是造成 雾霾天气的重要因素之一,为此该城市实施了机动车尾号限行政策。现有家报社想 调查了解该市区公民对“车辆限行”的态度,并在该城市里随机抽查了 50 人,将 调查情况进行整理后制成下表: 年龄(岁) 频 数 支持的人数 [15, 25) [25, 35) [35, 45) [45, 55) [55, 65) [65, 75] 2 4 20 14 5 5 1 3 15 11 4 4

(Ⅰ)请估计该市公民对“车辆限行”的支持率(答案用百分比表示);
数学(文史类) 试题卷 第 6 页 (共 12 页)

(Ⅱ)若从年龄在[15,25),[25,35)的被调查者中采用分层抽样选取 3 人进行跟 踪调查,求选取的 3 人中有 2 人不支持“车辆限行”的概率。

解 (1) 由表中可得支持率是

38 , 可以估计该市公民对 “车辆限行” 的支持率是 76%。 50
???5 分

(2)在[15,25),[25,35)的被调查者中的六人编号: 把[15,25)中的两人编号:1 号为不支持,2 号为支持; 把[25,35)中的四人编号:3 号为支持,4 号为支持,5 号为支持,6 号为不支持。 利用分层抽样则应该在[15,25)、[25,35)分别抽取 1 人、2 人,则所有可能如 下: (1,3,4),(1,3,5),(1,3,6),(1,4,5),(1,4,6),(1,5, 6) (2,3,4),(2,3,5),(2,3,6),(2,4,5),(2,4,6),(2,5, 6) 以上共有 12 种情形,其中有 2 人不支持的有 3 种情形, 所以选取的 3 人中有 2 人不支持“车辆限行”的概率为
分 18. (本小题满分 12 分) 已 知 在 △ ABC 中 , 三 条 边 a 、 b 、 c 所 对 的 角 分 别 为 A 、 B 、 C , 向 量

3 1 ? . 12 4

? ? ? 12

m ? (sin A ,cos A) , n ? (cosB ,sin B) ,且满足 m ? n ? sin 2C .
(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 sin A , sin C , sin B 成等比数列,且 AC ? ( AB ? AC ) ? ?8 , 求边 c 的值并求△ABC 外接圆的面积. 解: (1)

m ? n ? sin 2C ? sin( A ? B) ? 2sin C cos C
???5

1 ? ? cos C ? ,? C ? . 2 3
分 (2) 分
数学(文史类) 试题卷 第 7 页 (共 12 页)

sinA,sinC, sinB 成等比数列,? c 2 ? ab .

???7

AC ? ( AB ? AC ) ? ?8 ? AC ? BC ? 8
? ab ? 16 ,? c ? 4 .
10 分 设外接圆的半径为 R ,由正弦定理可知: ???

2R ?

c 4 4 8 ? ? ? 0 sin C sin 60 3 3 2

?R ?


4 3

?S ?

16? . 3

???12

19.(本小题满分 13 分) 如图 , 四棱锥 P ? ABCD , 侧面 PAD 是边长为 2 的正三角形 , 且与底面垂直 , 底面

ABCD是 ?ABC ? 60? 的菱形, M 为 PC 的中点. (Ⅰ) 求证: PC ? AD ; (Ⅱ) 在棱 PB 上是否存在一点 Q ,使得 A, Q, M , D 四点共面?若存在,指出点 Q 的位置
并证明;若不存在,请说明理由; (Ⅲ) 求点 D 到平面 PAM 的距离. 解(Ⅰ)方法一:取 AD 中点 O ,连结 OP, OC , AC ,依题意可知 △ PAD ,△ ACD 均为正三角形, 所以 OC ? AD , OP ? AD , 又 OC
P

OP ? O , OC ? 平面 POC , OP ? 平面 POC ,

Q

M A O C

所以 AD ? 平面 POC ,又 PC ? 平面 POC , 所以 PC ? AD . ???4 分
B

D

方法二:连结 AC 、 AM ,依题意可知△ PAC ,△ PCD 均为边长为 2 正三角形, 又 M 为 PC 的中点,所以 AM ? PC , DM ? PC , 又 AM

DM ? M , AM ? 平面 AMD , DM ? 平面 AMD ,
???

所以 PC ? 平面 AMD , 又 AD ? 平面 AMD ,所以 PC ? AD . 4分
数学(文史类) 试题卷 第 8 页 (共 12 页)

( Ⅱ ) 当 点 Q 面, 证明如下:

为 棱 ???6 分

PB 的 中 点 时 , A, Q, M , D 四 点 共

取棱 PB 的中点 Q ,连结 QM , QA ,又 M 为 PC 的中点, 所以 QM // BC ,在菱形 ABCD 中 AD // BC ,所以 QM // AD , 所以 A, Q, M , D 四点共面. 9分 (Ⅲ)点 D 到平面 PAM 的距离即点 D 到平面 PAC 的距离, 由 ( Ⅰ ) 可 知 P O? A D , 又 平 面 PAD ? 平 面 A B C D , 平 面 PAD 平面 ???

ABCD ? AD , PO ? 平面 PAD ,所以 PO ? 平面 ABCD ,
即 PO 为三棱锥 P ? ACD 的体高. 在 Rt?POC 中, PO ? OC ? 3 , PC ? 6 , 在 ?PAC 中, PA ? AC ? 2 , PC ? 6 , 边 PC 上的高 AM ?

PA2 ? PM 2 ?

10 , 2

所以 ?PAC 的面积 S?PAC ?

1 1 10 15 , PC ? AM ? ? 6 ? ? 2 2 2 2

设点 D 到平面 PAC 的距离为 h ,由 VD? PAC ? VP? ACD 得

1 1 3 S ?PAC ? h ? S ?ACD ? PO ,又 S?ACD ? ? 22 ? 3 , 3 3 4
所以 ?

1 3

15 1 ?h ? ? 3? 3 , 2 3
2 15 2 15 , 所以点 D 到平面 PAM 的距离为 . 5 5
???13 分

解得 h ?

20. (本小题满分 13 分) 已知抛物线的顶点在原点,焦点 F 在 x 轴上,且抛物线上横坐标为 1 的点到 F 的 距离 为 2 ,过点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点.
数学(文史类) 试题卷 第 9 页 (共 12 页)
M O B F

y
A C

x

(Ⅰ)求抛物线的方程; (Ⅱ)若 AF ? 2 FB ,求直线 AB 的斜率; (Ⅲ)设点 M 在线段 AB 上运动,原点 O 关于点 M 的 对称点为 C,求四边形 OACB 面积的最小值. 解:(1)设抛物线方程为 C: y 2 ? 2 px( p ? 0) , 由其定义知 AF ? 1 ?

p ,又 AF ? 2 ,所以 p ? 2 , y 2 ? 4 x . 2
???3 分

(2)依题意 F (1, 0) ,设直线 AB 的方程为 x ? my ? 1 . 将直线 AB 的方程与抛物线的方程联立,消去 x 得 y 2 ? 4my ? 4 ? 0 . 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 所以 y1 ? y2 ? 4m , y1 y2 ? ?4 因为 AF ? 2 FB ,所以 y1 ? ?2 y2 联立①、②,消去 y1 , y2 得 m ? ? 所以直线 AB 的斜率是 ?2 2 . (3)由点 C 与原点 O 关于点 M 对称,得 M 是线段 OC 的中点, 从而点 O 与点 C 到直线 AB 的距离相等,所以四边形 OACB 的面积等于 2S△AOB , ??????①???5 分 ??????②

2 . 4
???8 分

1 2S△AOB ? 2 ? ? | OF | ? | y1 ? y2 |? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ? 4 1 ? m 2 . 2
所以 m ? 0 时,四边形 OACB 的面积最小,最小值是 4 . 21. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ? bx ? cx (b, c ? R) ,其图象记为曲线 C .
3 2

???13 分

(Ⅰ)若 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值为 -1 ,求 b, c 的值; ( Ⅱ ) 若 f ( x) 有 三 个 不 同 的 零 点 , 分 别 为 x1 , x2 , x3 , 且 x3 ? x2 ? x1 ?0 , 过 点
数学(文史类) 试题卷 第 10 页 (共 12 页)

O( x1 , f ( x1 )) 作曲线 C 的切线,切点为 A ( x0 , f ( x0 )) (点 A 异于点 O ).
①证明: x0 ?

x2 ? x3 ; 2

②若三个零点均属于区间 [0,2) ,求

f ( x0 ) 的取值范围. x0

数学(文史类) 试题卷

第 11 页 (共 12 页)

12 分

结合图象,当抛物线分别过 M (4, 4) 、 N (2, 0) 时,抛物线在

y 轴上的截距取上、下界
13 分

数学(文史类) 试题卷

第 12 页 (共 12 页)


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