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2.2.1-2.2.2习题多

时间:2013-01-26


2.2.1 直线与平面平行的判定定理 2.2.2平面与平面平行的判定定理

复习引入
1.空间直线与平面的位置关系有哪几种?
直线a在平面?内
直线a与平面?相交

直线a与平面?平行

a

a

?

a

?

A

?
a // ?

a ??

a ?? ? A

a ??
2.如何判定一条直线和一个平面平行呢?

观察:
将课本的一边AB紧靠桌面,并绕AB转动,观察AB的对 边CD在各个位置时,是不是都与桌面所在的平面平行?
①直线AB、CD与桌面分别是什么位置关系呢?

C

D

CD是桌面外一条直线, AB是桌面内一 条直线, 若CD ∥ AB ,则CD ∥桌面.

A
②从中你能得出什么结论?

B

猜想:如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行, 那么这条直线和这个平面平行.

1.直线与平面平行的判定定理
若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行, 则该直线与此平面平行.
(1)用该定理判断直线a和平面?平行,须具备三个条件: “面外、面内、平行”

a ??? ? 即 b ? ? ? ? a // ? a // b ? ?

a

?
a // ?

b

(2)该定理作用:“线线平行?线面平行”——空间问题“平面 化” (3)应用该定理,关键是在平面?内找到一条直线与已知直线a平行.

例 求证:空间四边形相邻两边中点的连线,平行于经过 另外两边的平面. 已知:空间四边形ABCD中,E、F分别是AB、AD的中点. A 求证:EF//平面BCD.
分析: EF在面BCD外,要证明EF∥面BCD,只要 证明EF和面BCD内一条直线平行即可. EF和面BCD哪一条直线平行呢? 直线BD

E D B

F C

证明:连接BD, ∵在△ABD中,E、F分别是AB、AD的中点 ∴EF∥BD

又∵ EF

? 平面BCD,BD



平面BCD 三角形的中位线是常 用的找平行线的方法.

∴EF∥平面BCD

练习
1.如图,四面体ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD, A AD的中点. (1)E、F、G、H四点是否共面? H E (2)试判断AC与平面EFGH的位置关系; (3)你能说出图中满足线面平行位置关系 D 的所有情况吗? B G 解:(1)E、F、G、H四点共面. F ∵在△ABD中,E、H分别是AB、AD的中点. C 1 ∴EH∥BD且 EH= BD (2) AC ∥平面EFGH 21 同理GF∥BD且 GF= BD AC // HG 2 ∴ EH∥GF且 EH=GF AC ? 面EFGH ∴E、F、G、H四点共面.

HG ? 面EFGH

1.如图,四面体ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD, A AD的中点. (1)E、F、G、H四点是否共面? H E (2)试判断AC与平面EFGH的位置关系; (3)你能说出图中满足线面平行位置关系 D 的所有情况吗? B G 解:(3)由EF∥HG∥AC,得 F EF∥平面ACD, C AC∥平面EFGH, HG∥平面ABC. 由BD∥EH∥FG,得 BD∥平面EFGH, EH∥平面BCD,FG∥平面ABD.

复习引入
1. 平面与平面有几种位置关系? (1)平行 (2)相交

?//?
没有公共点

? ?? ?a
有一条公共直线

复习引入
2.问题:还可以怎样判定平面与平面平行呢?
①问1:两个平面平行,那么其中一个平面的直线与另一 个平面的位置关系如何? 平行 ②问2:如果一个平面内的所有直线,都与另一个平面 平行,那么这两个平面的位置关系如何? 平行
结论:两个平面平行的问题可以转化为一个平面内的直线与另一 个平面平行的问题.

③当然我们不需要证明所有直线都与另一平面平行,那 么需要几条直线才能说明问题呢?

探究 (1)若?内有一条直线a与?平行,则? 与? 平行吗?
a

?

a
l

?

?
(两平面平行) D'
A' D A B B' C C'

?
(两平面相交)

探究 (2)若?内有两条直线a、b分别与? 平行, 则? 与? 平行吗?
情况1.若a // b时,则? 与? 平行吗?

?

a
b

?

a
b

l

?
(两平面平行)
D'
E

?
(两平面相交)
C' B' D
F

A'

直线的条数不是关键!
C B

A

探究 (2)若?内有两条直线a、b分别与? 平行, 则? 与? 平行吗?
情况2.若a ? b ? P时,则? 与? 平行吗?
D' C' B' D C B

b

?

P

a

?

A

直线相交才是关键!

2.平面与平面平行的判定定理
若一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面, 则这两个平面平行.
(1)该定理中,“两条”,“相交”都是必要条件,缺一不可:

a ? ? , a // ? ? ? b ? ? , b // ? ? ? ? // ? a?b ? A ? ?

b

?

P

a

线不在多, 重在相交!

?

(2)该定理作用:“线面平行?面面平行” (3)应用该定理,关键是在一平面内找到两条相交直线分别与另一 平面内两条直线平行即可.

线线平行?线面平行?面面平行

例 正方体ABCD ? A1B1C1D1中,证明平面C1BD // 平面AB1D1 .
证明:因为ABCD-A1B1C1D1为正方体, 所以D1C1∥A1B1,D1C1=A1B1 A1 又AB∥A1B1,AB=A1B1, ∴D1C1∥AB,D1C1=AB, ∴D1C1BA是平行四边形, ∴D1A∥C1B,
D1

C1

B1
D

又因为D1A ? 平面C1BD,CB ?平面C1BD. A 由直线与平面平行的判定,可知 D1A∥平面C1BD, 同理 D1B1∥平面C1BD. 又 D1A∩D1B1=D1, 所以,平面AB1D1∥平面C1BD.

C

B

平行四边形对边平行是 常用的找平行线的方法.

练习
练1: 正方体ABCD-A1B1C1D1中,若M、N、E、F分别是棱A1B1, A1D1,B1C1,C1D1的中点,求证:平面AMN//平面EFDB. 练2: 正方体ABCD-A1B1C1D1中,若M、N、P、Q分别是棱A1D1, A1B1,BC,CD的中点,求证:平面AMN//平面C1QP.
D1

F M
B1

N
A1

C1

D1 M A1 D N Q P B B1

C1

E

D A B

C

C

K

A

变式

例 如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F 分别为DD1,DB的中点.求证:EF//平面ABC1D1.
证明:如图,连接BD1 , 在△DBD1中,EF为三角形中位线,
A1 D1 B1 C F A B C1

所以EF//BD1 ,

E D

又EF ?平面ABC1D1 , BD1 ? 平面ABC1D1

所以BD1//平面ABC1D1

练习
P56 2 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的 中点.试判断BD1与平面AEC的位置关系,并说明理由.
解:直线BD1//平面AEC,证明如下: 如图,连接BD交AC于O,再连接OE 在△DBD1中,OE为三角形中位线, 所以OE//BD1, 又BD1 ? 平面AEC,OE
A1
E

D1 B1

C

? 平面AEC,
A

D

C

故BD1//平面AEC.

O
B

注意:在直观图中,线段平行关系不变,可利用此特性先直观 地找出平行线的可能所在.

练习
如图,已知P、Q是边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的面AA1DD1 , 面ABCD的中心.求证PQ// 平面AA1B1B,并求线段的PQ长. 解:(1)连接AB1,在△AB1D1中, 显然P,Q分别是AD1,D1B1的中点,
1 所以,PQ//AB1,且PQ= 2 CD1

D1
Q

C1 B1

A1
P

又因为PQ ? 平面AA1B1B

CD1 ? 平面AA1B1B
A

D B

C

所以 PQ// 平面AA1B1B (2)AB1 = 2 ,PQ=

2 2

问:PQ// 平面DD1C1C? ∵PQ//C1D

例 如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,M、 N分别是BC和 A1B1的中点,求证:MN∥平面AA1C1C
证明:取A1C1中点F,连结NF,FC. A M C

∥1B C ∵N为A1B1中点, ∴NF = 2 1 1 ∥ 又∵BC= B1C1 , M是BC的中点, ∥ 1 BC ∴MC = 2 1 1 ∥ 即MC= NF
∴NFCM为平行四边形, 故MN∥CF ∴ MN∥平面AA1C1C.

B

A1 N B1

F
C1

练习
练1:三棱柱ABC-A1B1C1中,E是AC1上的点,F是CB1上的中点, 求证:A1B//平面ADC1 . 法一:线面平行判定定理 B1 A1 连接BC1,则DE为△ABC1中位线, 所以EF//AB, C1 又EF ? 平面ABC ,AB ?平面ABC, 故EF//平面ABC. E F 法二:由面面平行判定线面平行 A G B 取CC1的中点G,连接GE和GF, D 则GE为△ACC1中位线, C 所以GE//AC, 又GE ? 平面ABC ,AC ? 平面ABC, 故GE//平面ABC. 同理可证GF//平面ABC. 又GE∩GF=G,所以面GEF//面ABC. 又? EF ? 面GEF ?EF//面ABC.

练习
练2:在三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为正三角形, D是BC上的点,若AD⊥BC,求证:A1B//平面ADC1 .
解:依题意点D为边BC的中点. 连接A1C交AC1于E,连接DE. 在△ADC1中,DE为三角形中位线, 所以DE//A1B, 又DE
A D B A1 B1
E

C1

C

?平面ADC1 ,A1B ? 平面ADC1

故A1B//平面ADC1

例 如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,M,N分别是 AB,PC的中点,求证:MN//平面PAD. 证明:取PD的中点H,连接HN,AH ,
P N C

在三角形△PDC中,HN为三角形中位线, H 1 所以HN//DC且 HN= DC 2 D 又因为底面为正方形,且M为AB中点, 1 A 所以AM//DC且 AM= DC 2 ∴ AM//HN且 AM=HN 即AMNH为平行四边形,故MN//AH

G

M

B

又AH ?平面PAD ,MN
故MN//平面PAD.

?平面PAD,

法二:取DC的中点G,连接GN,GM , 往证面GMN//面PAD即可.

练习
练:如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,△PAD是正 三角形,E,F分别是PC,BD的中点,求证:EF//平面PAD. 证明:分别取PD,AD的中点G,H ,连接GE,HF ,GH 在△PDC中,GE为三角形中位线, 1 所以GE//DC且 GE= DC 2 1 同理,HF//AB且 HF= AB 2 又∵底面为正方形,∴AM//DC且 AM=DC
∴ GE//HF且 GE=HF
P E C F B

G
D

H
A

即HFEG为平行四边形,故EF//GH
又GH ? 平面PAD ,EF 故EF//平面PAD.

?平面PAD,? 底面ABCD是正方形,F为BD中点,
? 连接AC,且AC的中点为点F. ? EF是? CAP的中位线.? EF//PA

法二:

例 如图,点B为△ACD所在平面外一点,M,N分别为△ABC, △ABD的重心. (1)求证:MN//平面ACD. (2)若底面边长为1为正三角形,求线段的MN的长度. 解:(1)分别连接BM,BF交AC,AD于点E,F. B 因为M,N分别为对应三角形的重心, 故E,F为相应边的中点,且有 N BM:ME=2:1,BN:NF=2:1 ∴MN//EF且MN= 又因为MN ?平面ACD,EF ? 平面ACD 所以 MN// 平面ACD.
2 3

EF.

A

M

F E

D

C

(2) 又因为在△ACD中,EF是三角形的中位线, 1 所以,EF//CD且EF= CD. 2 线段成比例也是常用 1 1 ∴MN= ,CD= 的找平行线的方法. 3 3

练习
练 如图点B为△ACD所在平面外一点,M,N,G分别为△ABC, △ABD, △BCD的重心. (1)求证:平面MNG//平面ACD. (2)求 S? MNG : S? ADC 的值.
解:(1)分别连接BM,BF交AC,AD于点E,F. 因为M,N分别为对应三角形的重心, 故E,F为相应边的中点,且有 BM:ME=2:1,BN:NF=2:1 A ∴MN//EF且MN= 又因为MN ?平面ACD,EF ? 平面ACD 所以 MN// 平面ACD.
2 3
B

N M

G
F
D

EF.

E
C

H

同理,连接BG交CD于中点H,可证NG//平面ACD且NG= 又因为MN∩NG=N,所以面MNG//面ACD.

2 3

FH.

练习
练 如图点B为△ACD所在平面外一点,M,N,G分别为△ABC, △ABD, △BCD的重心. (1)求证:平面MNG//平面ACD. (2)求 S? MNG : S? ADC 的值.
B

解:(2)因为EF是△ACD的中位线, 1 所以,EF//CD且EF= CD. 2 2 由(1)知MN= EF.
3

N A M

G
F
D

1 ∴MN= 3 CD且MN//CD
1 3

E
1 3
C

H

同理可证明NG= AC且NG//AC, MG= AD且NG//AD

故? MNG ?? DCA

S? MNG ? MN ? 1 ? =? ? = S? DCA ? DC ? 9

2

练习
练1:如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E在AB1上, F在BD上,B1E=BF,求证:EF// 平面BB1C1C.
解:(1)连接AF交BC于点K,再连接B1K,
? AD // BC ? BF KF ? BD KA 又 ? BF ? B1E, 且BD ? B1A BF B1E ? BD B1A
A1 E D F A B
K

D1 B1

C1

?

B1E KF 即 ? ,故EF // B1K B1A KA

C

又因为EF ? 平面BB1C1C B1K ? 平面BB1C1C 所以EF// 平面BB1C1C

练习
练2:P是长方形ABCD所在平面外的一点,AB、PD两点 M、N满足AM:MB=ND:NP.求证:MN∥平面PBC.
P

过M作ME//AD交BD于点E,连接EN

N
D E C

A

M

B

小结:
1.直线与平面平行的判定以及平面和平面平行的判定:

(1)运用定义; (2)运用判定定理: 线线平行?线面平行?面面平行

2. 线面平行判定定理应用时应注意: “面外,面内,平行”; 面面平行判定定理判定应用时应注意:“两条,相交”; 3.应用判定定理判定线面平行的关键是找平行线 方法一:三角形的中位线定理; 方法二:平行四边形的平行关系. 方法三:线段成比例.
作业:P56 2+P58 1/2/3+P62 3/7/8

3.判断下列命题是否正确,并说明理由. (1)若平面 ? 内的两条直线分别与平面? 平行,则? 与 ? 平行; × (2)若平面? 内有无数条直线分别与平面? 平行,则 ?与 ? 平行;× (3)如果一个平面内任意一条直线平行于另一个平面, 那么这两个平面平行; (4)平行于同一直线的两个平面平行; × (5)两个平面分别经过两条平行直线,这两个平面平 行; × (6)过已知平面外一条直线,必能作出与已知平面平 行的平面. ×
P58 1、3

已知a ? ? ,b ? ? ,且a ? b ? P,若a // ? ,b // ? .求证:? // ? . P

α

b

a

β

c

证明:假设α∩β=c. 则c∈α,c∈β ∵a∥β,a ? α,a与c没有交点, 又因为直线a和c共面于面α,∴而a∥c. 同理b∥c. 于是在平面α内过点P有两条相交直线与c平行, 这与平行公理矛盾,假设不成立. ∴ α ∥β.

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D1
A1 D
D1

C
1

B1

C
A C
1

D1

B
B1

C1
A1
P

D1
F

C1 B1
Q

A1

B1

A1

E

F

E

D

D

D

N

C

C

C

A
D1
N

B
C1 B1
M

A

B
ED1

A
D1

B

M

C1

C1 B1
F

A1

A1

A1
B1

E

F

D
E

D

D

C
B

C

C

A

A

B

F

A

B

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