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历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答第7届

时间:2010-04-21

历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答第7届
(1974 年于波兰的华沙) 【题 1】一个处于基态的氢原子与另一个静止基态的氢原子碰撞。问可能发生非弹性碰撞的最小速度为多 少?如果速度较大而产生光发射, 且在原速度方向可以观察到光。 问这种光的频率与简正频率相差多少?氢原子 质量是 1.67× -27kg,电离能 E=13.6 eV=2.18× -18 J。 10 10 解:处于基态的氢原子能量为 E1 ? ? E ?

1 1 ,第一激发态能量为 E 2 ? ? E ? 2 。被氢原子吸收的最小能量 2 1 2

1 1 3 为 ?E ? E 2 ? E1 ? E ( 2 ? 2 ) ? E ? 1.163 ? 10 ?18 J 4 1 2
我们必须求出在碰撞中能量损失为以上数据代最小速度。 如果碰撞是完全非弹性的, 则碰撞中能量损失最大,
2 碰撞后的速度将是 v/2,初动能与末动能之差为: m v ? 2

v 2m( ) 2 2 2 ? mv 2 4

这个值应等于最小的能量子 ?E ?

m v2 4

因此 v ?

4?E ? 6.26 ? 104 m/s m

非弹性碰撞后,两个原子的速度为

v ? 3.13 ? 10 4 m/s 2

本题第二问的解答与多普勒效应有联系。 对于比光速小很多的速度, 相对速度之比给出频率相对变化的极好 近似:6.26× 4∶3× 8=2.09× -4=2.09× -2 % 10 10 10 10 两束光的频率按此比率稍小于或稍大于简正频率。 【题 2】给定一厚度为 d 的平行平板,其折射率按
d y

?

下式变化 n ( x ) ?

n0 1? x r
O x

1 , 3 束光在 O 点由空气垂直射入平板,并在 A 点以角 , 度?? 射出,如图 7.1 所示。求 A 点的折射率 nA,并5

确定 A 点的位置及平板的厚度。 (设 n0=1.2,r=13cm,β1=300)

图 7.1

解:首先考虑光的路线,如解图 7.1 所示。对于经过一系列不同折射率的平行平板的透射光,可以应用斯奈 尔 定律:

sin ?1 n2 , ? sin ? 2 n1

s i ? 2 n3 n ? s i ? 3 n2 n
?? ??
n1

更简单的形式是:

??
n2 n3 n4

n1 sin ?1 ? n2 sin ? 2 ? n3 sin ? 3 ? …
这个公式对任意薄层都是成立的。在我们的情形里, 折射率只沿 x 轴变化,即 n x sin ? x =常数 解图 7.1 在本题中,垂直光束从折射率为 n0 的点入射,即 nx=n0 ? =900 x
y

则常数等于 n0,于是在平板内任意一点有
X

?x

n x sin ? x =n0
nx 与 x 的关系已知,因此沿平板中的光束为:
O x C x

n x r?x sin ? x ? 0 ? 1 ? ? nx r r
由解图 7.2 表明光束的路径是一个为 XC=r 的圆, 从而有:

解图 7.2

OC ? x =sin ? x XC

现在我们已知光的路径,就有可能找到问题的解答。按照折射定律,当光线在 A 点射出时,有:

nA ?

sin ? sin ? ? 0 sin(90 ? ? A ) cos ? A

因为 nA sin ? =n0,故有: sin ? A ? A

n0 nA

cos ? A ? 1 ? (
于是 n A ?

n0 2 ) nA

sin ? 1? ( n0 2 ) nA

因此 n A ?

2 n0 ? sin 2 ?

在本题情形 n A=1.3 由 1 .3 ?

1 .2 x 1? 1 .3

得出 A 点的 x 坐标为 x=1 cm 光线的轨迹方程为 y 2+(1-x)2=r 2

代入 x=1 cm,得到平板厚度为 y=d=5 cm 【题 3】一科学探险队因船只失事流落荒岛。他们没有能源,却发现了一种惰性气体源。这种气体比空气重, 其压强与温度同周围的大气相等。探险队有两个膜片,其中一个能渗透该气体,另一片只能渗透空气。试设计一 个做工的热机。 解:我们要用到两个重要的定律。如果一个容器中装着气体混合物,则每种气体的分压强等于这种气体在同 样温度下单独占据相同体积时的压强。压强计在混合气体 强之和。如果一膜片对某一气体是可渗透的,则在膜片两 相等。我们设计这样的热机(见解图 7.3)对惰性气体能 在管子里,这个管子把气源与活塞下面的圆筒连通。对空 片装在圆筒底部。在活塞下部总有同样的一个大气压压 做的功来说是没有关系的。首先,打开管中的阀门1,导 片。膜片两侧气体的分压强将相等,于是活塞下部也有这
1
对气体可渗透

中读出的是各分压 侧该气体的分压强 渗透的那张膜片装 气能渗透的那张膜
2
对气体可渗透

强,因而空气对所
气体源

通可渗透气体的膜 一分压强。结果圆

筒内总压强将达到二个大气压,活塞上升做功。关闭阀门1可停止活塞的上升运动,然后打开阀门2,活塞回到 初始位置而不做功。 解图 7.3

如果圆筒导热良好,且过程足够缓慢,则上述过程是等温的,做功等于

RT ln

V2 V1

这个过程不是循环过程,我们也不在乎它的效率。 有两个膜片就可以实现上述过程,只要有一个周围是真空的气体源。 【实验题】两个同类的半导体二极管和一个欧姆电阻以未知方式联接,并封闭在一个盒里。盒子有两个引出 线接线柱,不打开盒子试测量该电阻的欧姆 解答:分别在两个方向测定两个不同电压下 结果:两个方向都能观测到电流,但并不相 函数。根据这些结果,不难画出如解图 7.4 所示的网络。 解图 7.4 值。 的电流,我们得到下列 同,且不是电压的线性

其次,画出两个方向的伏安图,找到在两个方向上电流相同的两个电压。电压之差 给出电阻两端的电压,除以电流,得出电阻的欧姆值。 1 , 3 , 5


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