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2014高考数学文科分类汇编:平面向量

时间:2015-02-02


2014 高考数学文科分类汇编:平面向量 1.平面向量的概念及其线性运算 [2014· 福建卷] 设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点,O 为平行四 → → → → 边形 ABCD 所在平面内任意一点,则OA+OB+OC+OD等于( → → A.OM B.2OM → → C.3OM D.4OM 10. D [解析] 如图所示, 因为 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点, )

1 [2014· 江西卷] 已知单位向量 e1,e2 的夹角为 α,且 cos α = .若向量 3 a=3e1-2e2,则|a|=________. 1 12. 3 [解析] 因为|a|2=9|e1|2-12e1· e2+4|e2|2=9×1-12×1×1× + 3 4×1=9,所以|a|=3. [2014· 辽宁卷] 设 a,b,c 是非零向量,已知命题 p:若 a·b=0,b· c =0,则=0;命题 q:若 a∥b,b∥c,则 a∥c.则下列命题中真命题是( ) A.p∨q B.p∧q C.(綈 p)∧(綈 q) D.p∨(綈 q) 5.A [解析] 由向量数量积的几何意义可知,命题 p 为假命题;命题 q 中,当 b≠0 时,a,c 一定共线,故命题 q 是真命题.故 p∨q 为真命题. [2014· 全国新课标卷Ⅰ] 设 D,E,F 分别为△ABC 的三边 BC,CA, → → AB 的中点,则EB+FC=( 1→ → A.AD B. AD 2 1→ → C. BC D.BC 2 6.A [解析] 1 1 EB+FC=EC+CB+FB+BC= AC+ AB=AD. 2 2 )

→ → → → 所以 M 是 AC 与 BD 的中点,即MA=-MC,MB=-MD. → → → → → → → 在△OAC 中,OA+OC=(OM+MA)+(OM+MC)=2OM. → → → → → → → 在△OBD 中,OB+OD=(OM+MB)+(OM+MD)=2OM, → → → → → 所以OA+OC+OB+OD=4OM,故选 D.

[2014· 四川卷] 平面向量 a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角,则 m=________.

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a· c b·c 14.2 [解析] c=ma+b=(m+4,2m+2),由题意知 = ,即 |a|· |c| |b|· |c| (1,2)· (m+4,2m+2) (4,2)· (m+4,2m+2) = ,即 5m + 8 = 2 2 1 +2 42+22 8m+20 ,解得 m=2. 2

=OB-OA=(2,4)或 AB=(-4,2),所以|AB|= 22+42=2

5.

[2014· 江苏卷] 如图 13 所示,在平行四边形 ABCD 中,已知 AB=8, → → → → → → AD=5,CP=3PD,AP·BP=2,则AB·AD的值是________.

2.平面向量基本定理及向量坐标运算 [2014· 北京卷] 已知向量 a=(2,4),b=(-1,1),则 2a-b=( A.(5,7) B.(5,9) C.(3,7) D.(3,9) 3.A [解析] 2a-b=2(2,4)-(-1,1)=(5,7). ) 图 13 12.22 [解析] 因为 CP=3PD,AP· BP=2,所以 AP=AD+DP=AD 3 ? 1 3 → 1 ? ? + AB,BP=BC+CP=AD- AB,所以 AP· BP=? ?AD+4AB?·?AD-4AB? 4 4 1 3 3 =AD2- AD·AB- AB2=2.又因为 AB=8,AD=5,所以 2=25- ×64 2 16 16 ) 1 - AB·AD,故 AB· AD=22 . 2 [2014· 山东卷] 已知向量 a=(1, 3),b=(3,m),若向量 a,b 的夹角 为 → [2014· 湖北卷] 若向量OA=(1,-3), → → → → → |OA|=|OB|,OA·OB=0,则|AB|=________. → 12.2 5 [解析] 由题意知,OB=(3,1)或 OB=(-3,-1),所以 AB π ,则实数 m=( 6 A.2 3 B. 3 C.0 D.- 3 7.B [解析] 由题意得 cos π a· b 3+ 3m 3 3+ 3m = = ,即 = , 2 6 |a||b| 2 9+m 2 2 9+m2 )

[2014· 广东卷] 已知向量 a=(1,2),b=(3,1),则 b-a=( A.(-2,1) B.(2,-1) C.(2,0) D.(4,3) 3.B [解析] b-a=(3,1)-(1,2)=(2,-1).

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解得 m= 3. π [2014· 陕西卷] 设 0<θ < ,向量 a=(sin 2θ ,cos θ ),b=(1, -cos 2 θ ),若 a· b=0,则 tan θ =______. 1 13. 2 π [解析] 由 a· b=0, 得 sin 2 θ =cos2θ .又 0<θ < , ∴cos θ ≠0, 2

? ?x=m+2n, ∴? ?y=2m+n, ?

两式相减,得 m-n=y-x.

1 ∴2sin θ =cos θ ,则 tan θ = . 2 令 y-x=t,由图知,当直线 y=x+t 过点 B(2,3)时,t 取得最大值 1, 故 m-n 的最大值为 1. [2014· 陕西卷] 在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(1,1),B(2,3),C(3, → → → 2), 点 P(x, y)在 △ABC 三边围成的区域(含边界)上, 且OP=mAB+nAC(m, n∈R). 2 → (1)若 m=n= ,求|OP|; 3 (2)用 x,y 表示 m-n,并求 m-n 的最大值. 2 → → 18.解: (1)∵m=n= ,AB=(1,2),AC=(2,1), 3 2 → 2 ∴OP= (1,2)+ (2,1)=(2,2), 3 3 → ∴|OP|= 22+22=2 2. → (2)∵OP=m(1,2)+n(2,1)=(m+2n,2m+n), 3.平面向量的数量积及应用 → [2014· 湖北卷] 若向量OA=(1,-3), [2014· 四川卷] 平面向量 a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角,则 m=________. a· c b·c 14.2 [解析] c=ma+b=(m+4,2m+2),由题意知 = ,即 |a|· |c| |b|· |c| (1,2)· (m+4,2m+2) (4,2)· (m+4,2m+2) = ,即 5m + 8 = 2 2 1 +2 42+22 8m+20 ,解得 m=2. 2

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→ → → → → |OA|=|OB|,OA·OB=0,则|AB|=________. → 12.2 5 [解析] 由题意知,OB=(3,1)或 OB=(-3,-1),所以 AB =OB-OA=(2,4)或 AB=(-4,2),所以|AB|= 22+42=2 5. [2014· 江苏卷] 如图 13 所示,在平行四边形 ABCD 中,已知 AB=8, → → → → → → AD=5,CP=3PD,AP·BP=2,则AB·AD的值是________.

[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 设向量 a,b 满足|a+b|= 10,|a-b|= 6,则 a· b= ( ) A.1 B.2 C.3 D.5 4.A [解析] 由已知得|a+b|=10,|a-b|2=b,两式相减,得 a· b=1.

图 13 12.22 [解析] 因为 CP=3PD,AP· BP=2,所以 AP=AD+DP=AD 3 ? 1 3 → 1 ? ? + AB,BP=BC+CP=AD- AB,所以 AP· BP=? ?AD+4AB?·?AD-4AB? 4 4 1 3 3 =AD2- AD·AB- AB2=2.又因为 AB=8,AD=5,所以 2=25- ×64 2 16 16 1 - AB·AD,故 AB· AD=22 . 2 [2014· 全国卷] 已知 a,b 为单位向量,其夹角为 60°,则(2a-b)· b= ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 6.B [解析] 因为 a,b 为单位向量,且其夹角为 60°, 所以(2a-b)· b =2a· b-b2=2|a||b|cos 60°-|b|2=0.

[2014· 重庆卷] 已知向量 a 与 b 的夹角为 60°,且 a=(-2,-6),|b| = 10,则 a· b=________. 12.10 [解析] ∵|a|= (-2)2+(-6)2=2 10, 1 ∴a· b=|a||b|cos 60°=2 10× 10× =10. 2 [2014· 山东卷] 已知向量 a=(1, 3),b=(3,m),若向量 a,b 的夹角 为 π ,则实数 m=( 6 A.2 3 B. 3 C.0 D.- 3 7.B [解析] 由题意得 cos 解得 m= 3. π a· b 3+ 3m 3 3+ 3m = = ,即 = , 6 |a||b| 2 9+m2 2 2 9+m2 )

[2014· 天津卷] 已知菱形 ABCD 的边长为 2,∠BAD=120°,点 E,F

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→ → 分别在边 BC,DC 上,BC=3BE,DC=λDF.若AE·AF=1,则 λ 的值为 ________. 13.2 [解析] 建立如图所示的坐标系,则 A(-1,0),B(0,- 3), → → C(1,0),D(0, 3).设 E(x1,y1),F(x2,y2),由BC=3BE,得(1, 3)= 1 2 3? → → 3(x1,y1+ 3),可得 E? ,- ;由DC=λDF,得(1,- 3)=λ(x2,y2 3 ? ?3 3? ?1 - 3),可得 F? , 3- ?. λ ? ?λ 3? 10 2 4 2 3? ? 1 ∵AE·AF=? ,- ·? +1, 3- λ ?= - =1,∴λ=2. 3 ? ?λ ?3 ? 3λ 3

9.B [解析] |b+ta|≥1,则 a2t2+2|a||b|tcos θ +b2 的最小值为 1,这 是关于 t 的二次函数,故最小值为 4a2b2-4(|a||b|cos θ )2 = 1 ,得到 4a2

4a2b2sin2θ =4a2,故|b|sin θ =1.若|b|确定,则存在两个 θ 满足条件,且两 个 θ 互补;若 θ 确定,则|b|唯一确定.故选 B.

[2014· 安徽卷] 设 a,b 为非零向量,|b|=2|a|,两组向量 x1,x2,x3, x4 和 y1,y2,y3,y4 均由 2 个 a 和 2 个 b 排列而成, 若 x1·y1+x2·y2+x3· y3 2 +x4·y4 所有可能取值中的最小值为 4|a| ,则 a 与 b 的夹角为( ) 2π A. 3 π B. 3 π C. 6 D.0

10.B [解析] 令 S=x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4,则可能的取值 有 3 种情况:S1=2+2,S2=++2a· b,S3=4a·b.又因为|b|=2|a|.所以 S1 -S3=2a2+2b2-4a·b=2(a-b) >0,S1-S2=a2+b2-2a· b=(a-b)2>0, S2-S3=(a-b)2>0,所以 S3<S2<S1,故 Smin=S3=4.设 a,b 的夹角为 θ,则 4.单元综合 [2014· 浙江卷] 设 θ 为两个非零向量 a,b 的夹角.已知对任意实数 t, |b+ta|的最小值为 1( ) A.若 θ 确定,则|a|唯一确定 B.若 θ 确定,则|b|唯一确定 C.若|a|确定,则 θ 唯一确定 D.若|b|确定,则 θ 唯一确定 π 1 Smin=4=8|a|2cos θ =4|a|2,所以 cos θ = .又 θ∈[0,π ],所以 θ= . 2 3
2

[2014· 湖南卷] 在平面直角坐标系中, O 为原点, A(-1,0),B(0, 3), → → → → C(3,0),动点 D 满足|CD|=1,则|OA+OB+OD|的取值范围是( ) A.[4,6] B.[ 19-1, 19+1] C.[2 3,2 7] D.[ 7-1, 7+1] → 10.D [解析] 由|CD|=1,得动点 D 在以点 C 为圆心,半径为 1 的圆

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上,故可设 D(3+cos α ,sin α ), → → → → → → 所以OA+OB+OD=(2+cos α , 3+sin α ),所以|OA+OB+OD|2 =(2+cos α )2+( 3+sin α )2=8+4cos α +2 3sin α =8+2 7sin(α+ φ), → → → → → → 所以|OA+OB+OD|2∈[8-2 7, 8+2 7], 即|OA+OB+OD|∈[ 7-1, 7+1].

1 13. 3

[解析] ∵a=mb+nc?(3,2)=(-m,2m)+(4n,n)=(-m+4n, 5

?m=9, ?2m+n=2, ? 2m+n),∴? ∴? 8 ?-m+4n=3, ? ?n=9,
1 ∴n-m= . 3

→ [2014· 山西大同一中四诊] 如图 X191 所示, 正六边形 ABCDEF 中, BA → → +CD+EF=( → A.0 B.BE → → C.AD D.CF )

[2014· 湖南师大附中月考] 如图 X19?2 所示,在等腰直角三角形 AOB → → → → → 中,OA=OB=1,AB=4AC,则OC·(OB-OA)=____________.

图 X19?2 1 2 → → → → → 14.- [解析] 由已知得|AB|= 2,|AC|= ,则OC·(OB-OA)= 2 4 3π 2 1 → → → → → → → (OA+AC)· AB=OA·AB+AC·AB= 2cos + × 2=- . 4 4 2 1.D 图 X19?1 → → → → → → → [解析] 由图知BA+CD+EF=BA+AF+CB=CF.

[2014· 温州十校联合体期末] 在△ABC 中,∠ACB 为钝角,AC=BC= 3 → → → → → 1,CO=xCA+yCB,且 x+y=1.若函数 f(m)=|CA-mCB|的最小值为 , 2

[2014· 长沙一中月考] 平面内给定三个向量 a=(3,2),b=(-1,2),c =(4,1),若 a=mb+nc,则 n-m=____________.

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→ 则|CO|的最小值为____________. 1 15. 2 → → → [解析] 由CO=xCA+yCB,且 x+y=1,可知 A,O,B 三点共

sin

π π π π 3 +2x=cos2x- -cos 2x=cos 2x· cos +sin 2x· sin -cos 2x= 2 3 3 3 2

→ 线,所以|CO|的最小值为 AB 边上的高.又 AC=BC=1,即 O 为 AB 的中 3 3 → → 点,且函数 f(m)=|CA-mCB|的最小值为 ,即点 A 到 BC 边的距离为 , 2 2 → 所以∠ACB=120°,从而可得|CO|的最小值为错误!.

π 1 sin 2x- cos 2x=sin2x- , 2 6 2π ∴f(x)的最小正周期 T= =π . 2 (2)∵A 为等腰三角形 ABC 的一个底角, π ∴0<A< , 2 π π 5π ∴0<2A<π ,∴- <2A- < , 6 6 6 π 1 1 ∴- <sin2A- ≤1,即- <f(A)≤1. 2 6 2

[2014· 漳州五校期末] 已知向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2,且 a 在 b 方 向上的投影与 b 在 a 方向上的投影相等,则|a-b|等于( ) A.1 B. 3 C. 5 D.3 6.C [解析] 由已知得|a|cos〈a,b〉=|b|cos〈a,b〉.又|a|=1,|b| =2,所以 cos〈a,b〉=0,即 a⊥b,则|a-b|= |a|2+|b|2-2a· b= 5.

π π [2014· 常德期末 ] 已知向量 a = cos ?2x- ? , cos ? +x? , b = 1 ,- 3? ? ?4 ? π 2sin? +x?,f(x)=a· b. ?4 ? (1)求 f(x)的最小正周期; (2)若 A 为等腰三角形 ABC 的一个底角,求 f(A)的取值范围. π π π π -2sin +xcos +x=cos2x- - 3 4 4 3

1.解:(1)∵f(x)=a· b=cos2x-

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