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贵州省七校联盟2015届高三第一次联考数学理科试卷

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秘密★考试结束前 【考试时间:1 月 3 日 14:30—16:30 】

贵州省七校联盟 2015 届高三第一次联考 数学理试卷
联考学校:贵阳六中 清华中学 遵义四中 凯里一中 都匀一中 都匀二中 安顺一中 本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试用时 120 分钟。 注意事项: 1. 答卷前,考生务必在答题卡上相应的位置准确填写自己的姓名、准考证号,并将条形码粘贴在指定位置。 2.选择题选出答案后,用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号按要求涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选 涂其它答案标号。非选择题用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

第I卷
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题列出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。 ) 1. 已知集合 A= ?0,1, 2,3, 4? ,B ? x x ? A.5 2. 复数 Z= B.6

?

n, n ? A 则 A
C.7

?

B 的真子集个数为(
D.8 )



m-2i ( m ? R, i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能在( 1+2i
B.第二象限 D.第四象限
2 2

A.第一象限 C.第三象限 3.

已知双曲线 x ? my ? 1 的虚轴长是实轴长的两倍,则实数 m 的值是( A.4 C. B. -



1 4

1 4

D.-4

4.

如图所示, 四面体 ABCD 的四个顶点是长方体的四个顶点 (长方体是虚拟图形, 起辅助作用) , 则四面体 ABCD 的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形) ( )

A.①②⑥ 5.

B.①②③

C.④⑤⑥

D.③④⑤ )

已知函数 f ? x ? 的图像如右图所示,则 f ? x ? 的解析式可以是( A. f ? x ? ?

ln x x

ex B. f ? x ? ? x
1 ?1 x2 1 D. f ? x ? ? x ? x
C. f ? x ? ? 6. 在 ?ABC 中, AB ? 4, ?ABC ? 30 , D 是边 BC 上的一点,且 AD ? AB ? AD ? AC 则 AD ? AB 的值为
0

( A.0 7.

) B. -4 ) C.8 D.4

以下四个命题中,真命题的个数是(

①“若 a ? b ? 2 则 a, b 中至少有一个不小于 1”的逆命题。 ②存在正实数 a, b ,使得 lg ? a ? b ? ? lg a ? lg b ③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数” 。 ④在 ?ABC 中, A ? B 是 sin A ? sin B 的充分不必要条件。 A.0 8. B.1 C.2 D.3

设实数 a, b 均为区间 ? 0,1? 内的随机数,则关于 x 的不等式 bx 2 ? ax ?

1 ? 0 有实数解的概率为( 4



1 2 1 C. 3
A. 9.

1 6 2 D. 3
B.

已知角 ? 的顶点与原点重合, 始边与 x 轴正半轴重合, 终边在直线 y ? 2 x 上, 则 sin ? 2? ?

? ?

??

( ? 的值为 4?



A. ?

7 2 10 2 10

B.

7 2 10
D.

C. ?

2 10

10. 执行如图所示的程序框图,则输出的结果为( A.-1 B.1 C.-2 D.2



11. 一个平行四边形的三个顶点的坐标为 ? ?1, 2 ? , ? 3, 4 ? , ? 4, ?2 ? ,点 平行四边形的内部或边上,则 z ? 2 x ? 5 y 的最大值是( A.16 C.20 B.18 D.36 )

? x, y ? 在 这 个

12. 已知圆 C 的方程 ? x ? 1? ? y 2 ? 1 ,P 是椭圆
2

x2 y 2 ? ? 1 上一点,过 4 3


P 作圆的两条

切线,切点为 A、B,则 PA ? PB 的取值范围为( A. ? , ?? ?

?3 ?2

? ?

B. ? 2 2 ? 3, ??

?

?

C. ? 2 2 ? 3,

? ?

56 ? 9? ?

D. ? ,

? 3 56 ? ?2 9 ? ?

第Ⅱ卷
二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 已知扇形 AOB( ?AOB 为圆心角)的面积为

2? ,半径为 2,则 ?ABC 的面积为 3
N ? 90, ? 2 ? ?? ? 0 ?

, ,统计结果显示

14. 在 我 校 2015 届 高 三 11 月 月 考 中 理 科 数 学 成 绩 ?

P ? 60 ? ? ? 120 ? ? 0.8 ,假设我校参加此次考试有 780 人,那么试估计此次考试中,我校成绩高于 120 分
的有 人. . (结果化成最简形式).

15. (1 ? x ? 5 y )5 的展开式中不含 x 的项的系数和为

? 2 1 ?? x ? x 16. 已 知 函 数 f ? x ? ? ? 2 ? ln ? x ? 1? ?
是 .

? x ? 0? ? x ? 0?

若 函 数 y ? f ? x ? ? kx 有 3 个 零 点 , 则实 数 k 的 取值 范 围

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知 ?an ? 是等差数列, S n 为数列 ?an ? 的前 n 项和, a1 ? b1 ? 1, 且 b3 S3 ? 36, b2 S 2 ? 8 n ? N ? ?bn ? 是等比数列, (1) 求 an 和 bn (2) 若 an ? an ?1 ,求数列 ?

?

?

? 1 ? ? 的前 n 项和 Tn ? an an ?1 ?

18. (本小题满分 12 分)

AB / / CD , AD ? DC , 如图,几何体 EF ? ABCD 中, CDEF 为边长为 2 的正方形, F E ABCD 为直角梯形,
AD ? 2 , AB ? 4 , ?ADF ? 90 .
(1)求证: AC ? FB (2)求二面角 E ? FB ? C 的大小.

D A
19. (本小题满分 12 分) 交通指数是交通拥堵指数的 的 概 念 .记 交 通 指 数 为 T, T ∈ [0 ,2 )畅 通 ;T∈[2,4) [6,8)中度拥堵;T∈[8,10] 市交通指挥中心随机选取了 数数据绘制的直方图如图所

C B

简称,是综合反映道路网畅通或拥 堵 其 范 围 为 [0 , 10] , 分别有 5 个级别: 基本畅通;T∈[4,6)轻度拥堵;T∈ 严重拥堵.早高峰时段(T≥3) ,从贵阳 二环以内 50 个交通路段,依据交通指 示:

(1)据此直方图估算交通指数 T∈[4,8)时的中位数和平均数 (2)据此直方图求出早高峰二环以内的 3 个路段至少有两个严重拥堵的概率是多少? (3)某人上班路上所用时间若畅通时为 20 分钟,基本畅通为 30 分钟,轻度拥堵为 35 分钟;中度拥堵为 45 分 钟;严重拥堵为 60 分钟,求此人所用时间的数学期望.

20. (本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? (ax ? x)e ,其中 e 是自然对数的底数, a ? R .
2 x

(1)当 a ? 0 时,解不等式 f ( x) ? 0 ; (2)当 a ? 0 时,求整数 t 的所有值,使方程 f ( x) ? x ? 2 在 [t , t ? 1] 上有解; (3)若 f ( x) 在 [?1,1] 上是单调增函数,求 a 的取值范围.

21. (本小题满分 12 分) 已知中心在原点 O ,左焦点为 F1 (?1, 0) 的椭圆 C 的左顶

y S Q P R x O x
点为 A ,

7 上顶点为 B , F1 到直线 AB 的距离为 | OB | . 7
(1) 求椭圆 C 的方程; (2) 若椭圆 C1 方程为:

x2 y 2 ,椭圆 ? ? 1( m ? n ? 0 ) m2 n2

C2 方 程

为:

x2 y 2 ,则称椭圆 C2 是椭圆 C1 的 ? 倍相似椭圆.已知 C2 是椭圆 C 的 3 倍相似椭 ? ? ? ( ? ? 0 ,且 ? ? 1 ) m2 n2

S ), 圆, 若直线 y ? kx ? b 与两椭圆 C2 、 C 交于四点(依次为 P 、 且 PS ? RS ? 2QS , 试研究动点 E (k , b) R、 Q、
的轨迹方程. 请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,解答时请写清题号. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图 5,⊙O1 和⊙O2 公切线 AD 和 BC 相交于点 D,A、B、C 与⊙O1 与 E、G 两点,直线 DO2 交⊙O2 与 F、H 两点。 (1)求证: ?DEF ~ ?DHG ; 为切点, 直线 DO1

(2)若⊙O1 和⊙O2 的半径之比为 9:16,求

DE 的值。 DF

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:极坐标与参数方程

已知在一个极坐标系中点 C 的极坐标为 ? 2,

? ?

??

? 。 3?

(1)求出以 C 为圆心,半径长为 2 的圆的极坐标方程(写出解题过程)并画出图形

(2)在直角坐标系中,以圆 C 所在极坐标系的极点为原点, 极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系,点 P 是圆 C 上 任意一点, Q 5, ? 3

?

?

, M 是线段 PQ 的中点,当点 P 在圆 C 上运动时,求点 M 的轨迹的普通方程。

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? 2 x ? a ? x ? 1 . (Ⅰ)当 a ? 3 时,求不等式 f ? x ? ? 2 的解集;

(Ⅱ)若 f ? x ? ? 5 ? x 对 ?x ? R 恒成立,求实数 a 的取值范围.

贵州省七校联盟 2015 届高三第一次联考试卷 (理科数学)参考答案及评分细则
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 )

题 号 答 案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 0 A 1

1 2 C

1

C

A

B

B

A

D

C

C

D

C

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 ) 13、 3
14、 78 15、 -1024 17、 ?

?1 ? ,1? ?2 ?

三、解答题: (

共 70 分。 )

2 ? 2 ? ?q ? 3 ? 3d ? ? 36 ?d ? 2 ?d ? 17、解: (1)由题意 ? ?? 或? 3 ? q ?2 ? d ? ? 8 ?q ? 2 ? q ? 6 ? ? an ? 2n ? 1或an ? bn ? 2
n ?1

3分

所以

1 ? 5 ? 2n ? 3 或 bn ? 6n ?1

6分

(2)若 an ? an ?1 ,由(1)知 an ? 2n ? 1 ,

8分

?

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? ? an an ?1 ? 2n ? 1?? 2n ? 1? 2 ? ? ? 2n ? 1? ? 2n ? 1? ? ? 1 1 ? n ? ? ? ? ? 2n ? 1? ? 2n ? 1? ? ? 2n ? 1?

10 分

1? 1 1 1 ?Tn ? ? 1? ? ? ? 2? ? 3 3 5

12 分

18、 (1)证明:由题意得, AD ? DC , AD ? DF ,且 DC DF ? D , ∴ AD ? 平面 CDEF , ∴ AD ? FC , ??????2 分 ∵四边形 CDEF 为正方形. ∴ DC ? FC 由 DC AD ? D ∴ FC ? 平面ABCD ∴ FC ? AC ??????4 分 又∵四边形 ABCD 为直角梯形, AB CD , AD ? DC , AD ? 2 , AB ? 4 ∴ AC ? 2 2 , BC ? 2 2 则有 AC 2 ? BC 2 ? AB 2 ∴ AC ? BC 由 BC FC ? C ∴ AC ? 平面FCB ∴ AC ? FB ??6 分 (2) 解法一: 由 (1) 知 AD, DC , DE 所在直线相互垂直, 故以 D 为原点, DA, DC , DE 所在直线分别为 x, y, z 轴建立如图所示的空间直角坐标系, ???7 分 可得 D ? 0, 0, 0 ? , F ? 0, 2, 2 ? , B ? 2, 4, 0 ? , E ? 0, 0, 2 ? , C ? 0, 2, 0 ? , A ? 2, 0, 0 ? , 由(1)知平面 FCB 的法向量为 AC ? (?2, 2, 0),

∴ EF ? (0, 2, 0), FB ? (2, 2, ?2) , 设平面 EFB 的法向量为 n ? ( x, y, z ), .

??????8 分

则有: ?

? ?n ? EF ? 0

2y ? 0 y?0 ? ? ?? ?? ? ? n ? FB ? 0 ?2 x ? 2 y ? 2 z ? 0 ? x ? y ? z ? 0
??????10 分

z E F

令 z=1 则 n ? (1, 0,1), 设二面角 E ? FB ? C 的大小为 ?

cos ? ?

n ? AC n ? AC

?

1? ? ?2 ? ? 2 ? 0 ? 0 ?1 2 ?2 2

??

1 2

D x A

C B

y

? ? ? 0, ? ? ?? ?

2? ∵ ??????12 分 3 0.2 35 = 0.24 6
2分

解法二: (传统几何法)略 19、解:(1)由直方图知: T ? ? 4,8 ? 时交通指数的中位数为 5+1 ?

T ? ? 4,8 ? 时交通指数的平均数为 4.5 ? 0.2 ? 5.5 ? 0.24 ? 6.5 ? 0.2 ? 7.5 ? 0.16 ? 4.72 …...4 分
(2)设事件 A 为“一条路段严重拥堵” ,则 P ? A ? ? 0.1 则 3 条路段中至少有两条路段严重拥堵的概率为: 5分

1? 7 ?1? ? 3 ? 1 ? P ? C ? ? ? ? ?1 ? ? ? C3 ?? ? ? ? 10 ? ? 10 ? ? 10 ? 250
2 3

2

3

7分

所以 3 条路段中至少有两条路段严重拥堵的概率为 (3)由题意,所用时间 x 的分布列如下表:
x P 1 30 0. 44 35 0. 36 45 0. 1 60 0.

7 250

8分

则 Ex ? 30 ? 0.1 ? 35 ? 0.44 ? 45 ? 0.36 ? 60 ? 0.1 ? 40.6 所以此人经过该路段所用时间的数学期望是 40.6 分钟 20、解:(1)因为 e x ? 0 ,所以不等式 f ( x) ? 0 即为 ax 2 ? x ? 0 ,
1 又因为 a ? 0 ,所以不等式可化为 x( x ? ) ? 0 , a
? 1 所以不等式 f ( x) ? 0 的解集为 ? ? , 0 ? a ? ?. ?

11 分 12 分 2分 3分 4分

(2)当 a ? 0 时, 方程即为 xe x ? x ? 2 ,由于 e x ? 0 ,所以 x ? 0 不是方程的解, 2 所以原方程等价于 e x ? ? 1 ? 0 , x 令 h( x ) ? e x ?
2 2 ? 1 ,因为 h?( x) ? e x ? 2 ? 0 对于 x ? ? ??,0 ? x x

5分

? 0, ?? ? 恒成立,
6分

所以 h( x) 在 ? ??,0 ? 和 ? 0, ?? ? 内是单调增函数,

1 又 h(1) ? e ? 3 ? 0 , h(2) ? e2 ? 2 ? 0 , h(?3) ? e ?3 ? ? 0 , h(?2) ? e?2 ? 0 ,所以方程 f ( x) ? x ? 2 有且只有两 3

2? 和 ? ?3, ? 2? 上, 个实数根,且分别在区间 ?1,
所以整数 t 的所有值为 ??3,1? . (3) f ?( x) ? (2ax ? 1)e x ? (ax 2 ? x)e x ? [ax 2 ? (2a ? 1) x ? 1]e x ,
x

7分 8分 9分

①当 a ? 0 时, f ?( x) ? ( x ? 1)e , f ?( x) ≥ 0 在 [?1, 1] 上恒成立,当且仅当 x ? ?1 时取等号,故 a ? 0 符合要 求; 10 分

②当 a ? 0 时,令 g ( x) ? ax 2 ? (2a ? 1) x ? 1 ,因为 ? ? (2a ? 1) 2 ? 4a ? 4a 2 ? 1 ? 0 , 所以 g ( x) ? 0 有两个不相等的实数根 x1 , x2 ,不妨设 x1 ? x2 ,因此 f ( x) 有极大值又有极小值. 若 a ? 0 ,因为 g (?1) ? g (0) ? ?a ? 0 ,所以 f ( x) 在 (?1, 1) 内有极值点,

1? 上不单调. 故 f ( x) 在 ? ?1,
若 a ? 0 ,可知 x1 ? 0 ? x2 ,

11 分

? g (1) ≥ 0, ?3a ? 2 ≥ 0, 因为 g ( x) 的图象开口向下, 要使 f ( x) 在 [?1, 因为 g (0) ? 1 ? 0 , 必须满足 ? 即? 1] 上单调, ? g (?1) ≥ 0. ??a ≥ 0. 2 所以 ? ≤ a ? 0 . 3
? 2 ? 综上可知, a 的取值范围是 ? ? , 0 ? . ? 3 ?

12 分

21、解:(1)设椭圆 C1 方程为: 所以直线 AB 方程为:

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) , a 2 b2
x y ? ? 1 ??????????????????1 分 ?a b

∴ F1 (?1, 0) 到直线 AB 距离为 d ?

| b ? ab | a 2 ? b2

?

7 b ? a 2 ? b 2 ? 7(a ? 1) 2 ?? 2 分 7

又 b 2 ? a 2 ? 1 ,解得: a ? 2 , b ? 3 ??????????????????4 分 故:椭圆 C1 方程为:

x2 y 2 ? ? 1 .??????????????????? 5 分 4 3

x2 y 2 ? ? 1 ????????????6 分 (2) 椭圆 C1 的 3 倍相似椭圆 C2 的方程为: 12 9
设 Q 、 R 、 P 、 S 各点坐标依次为 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) 、 ( x3 , y3 ) 、 ( x4 , y4 )

将 y ? kx ? b 代人椭圆 C1 方程,得: (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kbx ? 4b 2 ? 12 ? 0 ∴ ?1 ? (8kb) 2 ? 4(3 ? 4k 2 )(4b 2 ? 12) ? 48(4k 2 ? 3 ? b 2 ) ? 0 此时: x1 ? x2 ? ? (*)????7 分

4b 2 ? 12 8kb , x x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
2

4 3(4k 2 ? 3 ? b 2 ) ??????????8 分 ?| x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? 3 ? 4k 2
将 y ? kx ? b 代人椭圆 C2 方程,得: (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kbx ? 4b 2 ? 36 ? 0 ∴ x3 ? x4 ? ?

4 3(12k 2 ? 9 ? b 2 ) 4b 2 ? 36 8kb , ????9 分 x x ? ? | x ? x | ? 3 4 3 4 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
???10 分

∴ x1 ? x2 ? x3 ? x4 ,可得线段 PS 、 QR 中点相同,所以 | PQ |?| RS |

由 PS ? RS ? 2QS ? PQ ? QR ,所以 | PS |? 3 | QR | ,可得: | x3 ? x4 |? 3 | x1 ? x2 | ∴

4 3(12k 2 ? 9 ? b 2 ) 4 3(4k 2 ? 3 ? b 2 ) ? 12k 2 ? 9 ? 4b 2 (满足(*)式). ??11 分 ? 3? 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k

故:动点 E (k , b) 的轨迹方程为

4b 2 4k 2 ? ? 1 . ??????????????12 分 9 3

22. (本小题满分 10 分) 【选修 4—1:几何证明选讲】 (1)证明:∵AD 是两圆的公切线, ∴AD2=DE×DG,AD2=DF×DH, ∴DE×DG= DF×DH, ∴

DE DF , ? DH DG

又∵∠EDF=∠HDG, ∴△DEF∽△DHG。?????????4 分 (2)连结 O1 A,O2A,∵AD 是两圆的公切线, ∴O1A⊥AD,O2A⊥AD, ∴O1O2 共线, ∵AD 和 BC 是⊙O1 和⊙O2 公切线,DG 平分∠ADB, DH 平分∠ADC, ∴DG⊥DH,∴AD2= O1A×O2A,?????????8 分 设⊙O1 和⊙O2 的半径分别为 9x 和 16x,则 AD=12x, ∵AD2=DE×DG,AD2=DF×DH, ∴144x2=DE(DE+18x) ,144x2=DF(DF+32x)

A

C

DE 3 ∴DE=6x,DF=4x,∴ ? 。?????????10 分 DF 2

O

23.解:(1)如图,设圆 C 上任意一点 A ? ? , ? ? , 则?AOC ? ? ? 由余弦定理得: 4+? 2 -4 cos ? ? 作图………….5 分 (2)在直角坐标系中,点 C 的坐标为 1, 3

?
3



?
3

? ? ?2 分
? ?

? ?

??

? =4 3?

∴ 圆 C 的极坐标方程 ? =4 cos ? ? ?

??

? ?4 分 3?

?

?

,可设圆 C 上任意一点 P 1 ? 2 cos ? , 3 ? 2sin ? ………….7 分

?

?

又令 M ? x, y ? 由 Q 5, ? 3 , M 是线段 PQ 的中点

?

?

6 ? 2 cos ? ? x? ? ? x ? 3 ? cos ? ? 2 ∴M 的参数方程为: ? ?? ? y ? sin ? ? y ? 2sin ? ? ? 2
2

??为参数 ?

………….9 分

∴点 M 的轨迹的普通方程为: ? x ? 3? ? y 2 ? 1 ………….10 分


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