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江苏省2014届高三数学5月模拟试卷(含答案)

时间:2015-03-22

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.把答案填在题中横线上. 1.已知集合 M ? {0, 2, 4}, N ? {x | x ? 2a, a ? M } ,则集合 M ? N ? ___▲__. 2.已知 0 ? a ? 2 ,复数 z 的实部为 a ,虚部为 1,则 z 的取值范围是___▲__. 3.抛物线 y2 = 8x 的焦点到双曲线 x2 y2 – = 1 的渐近线的距离为___▲__. 12 4

4.某学校有两个食堂,甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐,则他们在同一个食堂用 餐的概率为___▲__. 5.某校为了解高三同学暑假期间学习情况,抽查了 100
频率 /组距

名同学,统计他们每天平均学习时间,绘成频率分布直 方图(如图) .则这 100 名同学中学习时间在 6~8 小时 内的人数为___▲__.

x 0.14 0.12

0.05 0.04
2
x

4

6

8

10 12 小时

6.设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)= 2 +2x+m(m 为常数),则 f(1)= ___▲__. 7.如果执行右面的程序框图,那么输出的 S 为 ___▲__.
学 科网]

开始

8.设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不重合的平面, 给定下列四个命题,其中为真命题的序号是___▲__. ①
S=3,k=1

m ? n? a ?? ? ? ? m ? ? ;② ? ?? ? ? ; n ??? a ? ??

否 k<2010? 是
S ? 2? 2 S

m ??? m ??? ? ③ ? ? m // n ;④ n ? ? ? ? m // n n ?? ? ? // ? ? ?

输出s

k=k+1
结束

9.已知圆 C 的半径为 3,直径 AB 上一点 D 使 AB ? 3AD, E , F 为另一直径的两个端点,则

??? ?

??? ?

??? ? ???? DE ? DF ? ___▲__.
10.已知函数 f n ( x) ? ln x ? n ? 5 的零点为 an (其中 n ? 1,2,3? ) ,数列 ?an ? 的前 k 项的积 为 Tk (k ? 1, k ? N ) , . 则满足 Tk ? ak 的自然数 k 的值是___▲__.

1 南京清江花苑严老师

11.直线 y= 之和为

3 x ? 2 与圆心为 C 的圆 ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 3 交与 A、B 两点,则直线 AC 与 BC 的倾斜角 3
▲ .

12.在 ?ABC 中,已知 tan A tan C ? tan B tan C ? tan Atan B ,若 a, b, c 分别是角 A, B, C 所对的边,则 的最小值为___▲__.

c2 ab
?

13. 已知是 A、B、C 直线 l 上的三点, 向量 OA ,OB ,OC 满足:OA ? [ f ( x) ? ] ? OB ? ( x ? 1) ? OC ? 0 , 且对任意 x ?[1, ??), f (mx) ? mf ( x) ? 0 恒成立,则实数 m 的取值范围是___▲__. 14.若实数 a,b,c 满足 a≤b≤c 且 ab+bc+ca=0,abc=1,不等式|a+b|≥k|c|恒成立,则实数 k 的最大值为 ___▲____.
二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

??? ? ??? ? ??? ?

??? ?

? 1 ??? x

????

15. (本题满分 14 分)

??? ? ??? ? ? ??? ? 1 ??? 已知 O 为坐标原点, OA ? (2sin 2 x,1), OB ? (1, ?2 3sin x cos x ? 1) , f ( x) ? ? OA ? OB ? 1 . 2
(1)求 y ? f ( x) 的最小正周期; (2)将 f ( x) 图象上各点的纵坐标不变,横坐标扩大为原来的两倍,再将所得图象向左平移 后,所得图象对应的函数为 g ( x) ,且 ? ? ? π , 2π ? , ? ? ? 5? , ? π , ?6 3 ? ? 6 3 ? g (? ) ? 3 , g (? ) ? ? 4 ,求 cos 2(? ? ? ) ? 1 的值. 5 5 16. (本小题 14 分) 如图,在梯形 ABCD 中, AB / / CD , AD ? DC ? CB ? a , ?ABC ? 60o .平面 ACEF ? 平面 ABCD , 四边形 ACEF 是矩形, AE ? a ,点 M 在线段 EF 上. (1)求证: BC ? 平面 ACEF ; (2)当 FM 为何值时, AM / / 平面 BDE ?证明你的结论. M F C A
(第 16 题图)

?

?

? 个单位 6

E

D

B

17. (本小题 14 分)
2 南京清江花苑严老师

为配合国庆黄金周,促进旅游经济的发展,某火车站在调查中发现:开始售票前,已有 a 人在排队等 候购票.开始售票后,排队的人数平均每分钟增 b 人.假设每个窗口的售票速度为 c 人/分钟,且当开 放两个窗口时,25 分钟后恰好不会出现排队现象(即排队的人刚好购完) ;若同时开放三个窗口时, 则 15 分钟后恰好不会出现排队现象. (1)若要求售票 10 分钟后不会出现排队现象,则至少需要同时开几个窗口? (2)若 a=60,在只开一个窗口的情况下,试求第 n( n ? N * 且 n ? 118 )个购票者的等待时间 t n 关于 n 的函数,并求出第几个购票者的等待时间最长? (注:购票者的等待时间指从开即始排队(售票开始前到达的人,从售票开始计时)到开始购票 时止) 18. (本小题 16 分)

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 左 顶 点 为 A , 左 、 右 焦 点 分 别 为 F1 , F2 , 且 圆 C : a 2 b2 x2 ? y2 ? 3x ? 3 y ? 6 ? 0 过 A, F2 两点.
已知椭圆
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(1)求椭圆标准的方程; 2π (2)设直线 PF2 的倾斜角为 α,直线 PF1 的倾斜角为 β,当 β-α= 时, 3 证明:点 P 在一定圆上; (3)设椭圆的上顶点为 Q,证明: PQ ? PF1 + PF2 . 19. (本小题 16 分) 如果数列 ?an ? 满足:a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 0 且 a1 ? a2 ? a3 ? ?? an ? 1 n ≥ 3, n ? N * , 则称数列 ?an ? 为 n 阶“归化数列” . (1)若某 4 阶“归化数列” ?an ? 是等比数列,写出该数列的各项; (2)若某 11 阶“归化数列” ?an ? 是等差数列,求该数列的通项公式;

?

?

1 1 1 1 1 (3)若 ?an ? 为 n 阶“归化数列” ,求证: a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ≤ ? . 2 3 n 2 2n
20. (本小题 16 分)
2 已知二次函数 g(x)对任意实数 x 都满足 g ? x ? 1? ? g ?1 ? x ? ? x ? 2x ? 1 ,且 g ?1? ? ?1 .

令 f ( x) ? 2 g x ? 1 ? mx ? 3m2 ln x ? 9 (m ? R, x ? 0) . 2 4 (1)求 g(x)的表达式; (2)若函数 f ( x) 在 x ? [1, ??) 上的最小值为 0,求 m 的值; (3)记函数 H ( x) ? [ x( x ? a) ?1] ? [? x ? (a ?1) x ? a ?1] ,若函数 y ? H ( x) 有 5 个不同的零点,求
2 2

? ?

实数 a 的取值范围.
3 南京清江花苑严老师

附加题部分 21. 【选做题】在 A,B,C,D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. A.选修 4—1 几何证明选讲 圆的两弦 AB、CD 交于点 F,从 F 点引 BC 的平行线和直线 AD 交于 P,再从 P 引这个圆的切线,切点 是 Q. Q 求证:PF=PQ. D A F P C B

B.选修 4—2 矩阵与变换 已知矩阵 M ? ? (1)求矩阵 M; (2)求曲线 x 2 ? y 2 ? 1经过矩阵 M 所对应的变换得到曲线 C,求曲线 C 的方程.

? a 1? ? ?1? ? 的一个特征根为 ?1 ,属于它的一个特征向量 e1 ? ? ? . ? c 0? ? ?3 ?

C.选修 4—4 参数方程与极坐标 以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴.已知点 P 的直角坐标为(1,-5),点 M 的极坐 ? π 标为(4, ),若直线 l 过点 P,且倾斜角为 ,圆 C 以 M 为圆心、4 为半径. 2 3 (1)求直线 l 关于 t 的参数方程和圆 C 的极坐标方程; (2)试判定直线 l 和圆 C 的位置关系. D.选修 4—5 不等式证明选讲 已知实数 a, b, c, d 满足 a ? b ? c ? d ? 3 , a 2 ? 2b2 ? 3c 2 ? 6d 2 ? 5 ,求 a 的取值范围.

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.如图,平面 ABDE ? 平面 ABC, ?ABC 是等腰直角三角形,AC =BC= 4,四边形 ABDE 是直角梯形, BD∥AE,BD ? BA, BD ?

1 AE ? 2 , O、M 分别为CE、AB 的中点, 2
E

求直线 CD 和平面 ODM 所成角的正弦值.

O D
南京清江花苑严老师 4

A M B

C

23.用 a, b, c, d 四个不同字母组成一个含 n ? 1 (n ? N *) 个字母的字符串,要求由 a 开始,相邻两个字母 不同. 例如 n ? 1 时,排出的字符串是 ab, ac, ad ; n ? 2 时排出的字符串是

aba, abc, abd , aca, acb, acd , ada, adb, adc ,……, 如图所 示.记这含 n ? 1 个字母的所有字符串中,排在最后一个的字母 仍是 a 的字符串的种数为 an .

b b c d n=1 c

a c d a b d a b c

3n ? 3(?1) n (n ? N* , n ? 1) ; (1)试用数学归纳法证明: an ? 4 (2)现从 a, b, c, d 四个字母组成的含 n ? 1(n ? N* , n ? 2) 个字母
的所有字符串中随机抽取一个字符串,字符串最后一个的字

a

a

2 1 母恰好是 a 的概率为 P ,求证: ? P ? . 9 3

d n=2

高考考前指导卷参考答案
1.解:{0,4} 由题意有, N ? {0, 4,8} ,∴ M ? N ? {0, 4} . 2.解: (1 ,5) 由题意有, z ?

a 2 ? 1 ,又 0 ? a ? 2 ,∴1 ? z ? 5 .

3.解:1 由题意有,抛物线 y2 = 8x 的焦点为(2,0) ,双曲线的渐近线方程中 x ? 3 y ? 0 ,∴焦点到渐近
| 2? 3?0| 1? 3 ?1.

线的距离为

4.解:

1 4

因甲、乙、丙三名学生在两个食堂中选一个用餐,共有 2 ? 2 ? 2 ? 8 种,又甲、乙、丙三名学

2 1 ? . 8 4 5.解:30 由直方图有,学习时间在 6~8 小时内的频率为 1 ? (0.04 ? 0.12 ? 0.14 ? 0.05) ? 2 ? 0.3 ,∴100 名
生在同一个食堂用餐有 2 种,∴所求概率为 同学中学习时间在 6~8 小时内的人数为 0.3 ? 100 ? 30 .

5 6.解:∵ f (0) ? 0 ,∴ 20 ? 2 ? 0 ? m ? 0 ,∴ m ? ?1 ,∴ f (?1) ? 2?1 ? 2 ? 1 ? ? , 2 5 故 f(1) ? ? f (?1) ? . 2

4 4 1 由流程图可得, k ? 1, S ? ; k ? 2, S ? ; k ? 3, S ? ?2 ; k ? 4, S ? 3 ;∴输出的 S 呈周期出 3 2 3 4 现,且周期为 4,因 2009 ? 502 ? 4 ? 1 ,故输出的 S ? . 3 8.解:②③ ①错误,m 与 ? 有可能斜交;②正确;③正确;④错误,m 与 n 可能异面.
7.解析:
5 南京清江花苑严老师

9.解析: ?8

???? ???? ??? ? ???? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ∵ DE ? DC ? CE, DF ? DC ? CF ,且 CF ? ?CE ,

E A D

∴ DE ?DF ? ( DC ? CE ) ? ( DC ? CE ) ? DC ? CE ,

???? ????

???? ??? ?

???? ??? ?

???? 2 ??? ?2

???? ???? ??? ? ???? ???? ???? AB ? 3 AD | AD | ? 2 | DC | ? 1 又 ,∴ ,∴ ,故 DE ? DF ? ?8 .
10.解: 10 由题设知,an ? en?5 ,∴ Tk ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ? e?4? ( ?3) ??? k ?5 ? e 或 k ? 1 (舍去) . 11.解:如图, ?1 ? ? ? 30 , ?2 ? 30? ? ? ? ? ,
?
k ( k ? 9) 2

C

B

F ,∴ e
k ( k ? 9) 2

? e k ? 5 得,k ? 10

由圆的性质可知 ?1 ? ? 2 , ?? ? 30? ? 30? ? ? ? ? , 故? ? ? ?

4 ?. 3

B A D D

C D

12.解:

2 由 tan A tan C ? tan B tan C ? tan A tan B 得 sin A sin B cos C ? sin A sin C cos B ? sin B sin C cos A , 3
2

a 2 ? b2 ? c 2 ? c 2 ,化简得 即 sin Asin B cos C ? sin C sin( A ? B) ? sin C ,由正、余弦定理有, ab ? 2ab
3c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab ,∴
13.解: (??, ?1)

2 c2 2 c2 ? ,即 的最小值为 . 3 ab 3 ab

因为 A、B、C 三点共线,所以 f ( x) ?

1 1 ? (1 ? x) ? 1 ? f ( x ) ? x ? , x x

∴f(x)为增函数且 m≠0, 若 m>0 时,由复合函数的单调性可知 f(mx)和 mf(x)均为增函数,此时不符合题意.

1 m 1 1 1 ? mx ? ? 0 ? 2mx ? (m ? ) ? ? 0 ? 1 ? 2 ? 2 x 2 , mx x m x m 1 2 2 因为 y ? 2 x 在 x ? [1, ??) 上的最小值为 2,所以 1+ 2 ? 2 ,即 m >1,解得 m<-1. m 1 1 1 1 2 14.解:由题知 ab= ? , a ? b ? ? 2 ,a,b 是方程 t ? 2 t ? ? 0 两个小于等于 c(隐含 c >0)的两 c c c c 1 1 3 个根,只需 ? ≥0 即可, c ≤ ,所以 k≤ 3 ,即 k≤4 4 c
若 m<0 时,有 mx ? 15.解: (1)由题设有, f ( x) ? ? sin 2 x ? 3 sin x cos x ?
?

1 2
(3 分) (5 分)

cos 2 x ? 3 sin 2 x 1 ? ? ? sin(2 x ? ) , 2 2 6

∴函数 y ? f ( x) 的最小正周期为

2? ?? . 2

6 南京清江花苑严老师

? (2)由题设有 g ( x) ? sin( x ? ) ,又 g (? ) ? 3 , g ( ? ) ? ? 4 , 5 5 3 即 sin ? ? π ? 3 , sin ? ? π ? ? 4 , 3 5 3 5

?

?

π π π π 因为 ? ? ? π , 2π ? , ? ? ? 5? , ? π , 所以 ? ? ? ? , π ? , ? ? ? ? , 0 , ?6 3 ? ? 6 3 3 ? 2 3 2 ? ? ? ?
∴ cos ? ? π ? ? 4 , cos ? ? π ? 3 . 3 5 3 5

?

?

?

?

?

(7 分)

∴ sin ?? ? ? ? ? sin ? ? ? π ? ? ? π ? ? 3 3 ? ? ? π π ? sin ? ? cos ? ? ? cos ? ? π sin ? ? π 3 3 3 3 ? 3?3? ?4 ? ?4 ?? 7 , 5 5 5 5 25

?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?

?

?

?

?

?

(9 分)

?

? ?
2

?
(11 分) (14 分)

所以 cos 2(? ? ? ) ? 1 ? ?2sin 2 (? ? ? ) ? ?2 ? ? 7 25

98 . ? ? ? ? 625

16.解析: (1)由题意知, ABCD 为等腰梯形,且 AB ? 2a , AC ? 3a , 所以 AC ? BC , 又平面 ACEF ? 平面 ABCD ,平面 ACEF ? 平面 ABCD ? AC , 所以 BC ? 平面 ACEF . ???????6 分

3 a , AM / / 平面 BDE . ???????8 分 3 在梯形 ABCD 中,设 AC ? BD ? N ,连结 EN ,则 CN : NA ? 1: 2 , E 3 M a , EF ? AC ? 3a , 因为 FM ? 3 F 所以 EM ? AN ,又 EM / / AN , 所以四边形 EMAN 为平行四边形,????11 分 C 所以 AM / / NE , D 又 NE ? 平面 BDE , AM ? 平面 BDE , N 所以 AM / / 平面 BDE . ???????14 分 A
(2)当 FM ?
(第 16 题图)

B

17.解: (1)设需同时开 x 个窗口,
?a ? 25b ? 50c (1) ? 则根据题意有, ?a ? 15b ? 45c (2) ?a ? 10b ? 10cx (3) ?

(3 分)

由(1) (2)得, c ? 2b, a ? 7b 代入(3)得, 75b ? 10b ? 20bx , ∴ x ? 4.25 ,即至少同时开 5 个窗口才能满足要求. (2)由 a ? 60 得, b ? 0.8, c ? 1.6 ,设第 n 个人的等待时间为 t n ,则由题意有, 当 n ? 60(n ? N * ) 时, tn ?

(6 分)

n ?1 ; 1.6

(8 分)

当 60 ? n ? 118(n ? N * ) 时,设第 n 个人是售票开始后第 t 分钟来排队的, 则 n ? 60 ? 0.8t ,此时已有 1.6t 人购到票离开队伍,即实际排队的人数为 n ? 1.6t ,
7 南京清江花苑严老师

∴ tn ?

(n ? 1.6t ) ? 1 119 ? n , ? 1.6 1.6
(n ? 60, n ? N * )

?n ?1 , ? ? 1.6 综上, t n 关于 n 的函数为 tn ? ? ?119 ? n , ? ? 1.6


(60 ? n ? 118, n ? N * )

(11 分)

∵当 n ? 60 时, (tn )max ?

60 ? 1 ? 36.875 分钟, 1.6

119 ? 60 ? 36.25 分钟, 1.6 ∴第 60 个购票者的等待时间最长.
当 60 ? n ? 118 时, (tn )max ?

(14 分)

18.解: (1)圆 x2 ? y 2 ? 3x ? 3 y ? 6 ? 0 与 x 轴交点坐标为 A(?2 3,0) , F2 ( 3,0) , 故 a ? 2 3, c ? 3 ,所以 b ? 3 ,∴椭圆方程是:

x2 y 2 ? ?1. 12 9

(4 分)

(2)设点 P(x,y) ,因为 F1 (- 3,0) , F2 ( 3,0) , 设点 P(x,y) ,则 k PF1 =tanβ= y y , k =tanα= , x+ 3 PF2 x- 3 (6 分)

2π 因为 β-α= ,所以 tan(β-α)=- 3. 3 tanβ-tanα -2 3y 因为 tan(β-α)= = 2 2 , 1+tanαtanβ x +y -3 -2 3y 所以 2 2 =- 3.化简得 x2+y2-2y=3. x +y -3 所以点 P 在定圆 x2+y2-2y=3 上. (9 分) 2 2 2 2 2 2 2 2 (3)∵PQ =x +(y-3) =x +y -6y+9,因为 x +y =3+2y,所以 PQ =12-4y. 又 PF12=(x+ 3)2+y2=2y+6+2 3x,PF22=(x- 3)2+y2=2y+6-2 3x, ∴2P F1×P F2=2 4(y+3)2-12x2=4 (y+3)2-3x2, 因为 3x2=9-3y2+6y,所以 2 P F1×P F2=4 4y2, 2π 2π ∵β=α+ > ,又点 P 在定圆 x2+y2-2y=3 上,∴y<0, 3 3 所以 2 P F1×P F2=-8y, 从而(P F1+P F2)2=PF12+2 P F1×P F2+PF22=4y+12-8y=12-4y=PQ2. 所以 PQ=PF1+PF2. (16 分) (14 分) (12 分)

19.解: (1)设 a1 , a2 , a3 , a4 成公比为 q 的等比数列,显然 q ? 1 ,则由 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 0 ,

a1 1 ? q 4 1 得 ? 0 ,解得 q ? ?1,由 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 1得 4 a1 ? 1 ,解得 a1 ? ? , 4 1? q
所以数列

?

?

1 1 1 1 1 1 1 1 , ? , , ? 或 ? , , ? , 为所求四阶―归化数列‖;…… ………………………4 分 4 4 4 4 4 4 4 4

(2)设等差数列 a1 , a2 , a3 ,?, a11 的公差为 d ,由 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a11 ? 0 ,
8 南京清江花苑严老师

所以 11a1 ?

11?10d ? 0 ,所以 a1 ? 5d ? 0 ,即 a6 ? 0 ,………………………………………6 分 2

当 d ? 0 时,与归化数列的条件相矛盾,

1 1 1 当 d ? 0 时,由 a1 ? a2 ? ? ? a5 ? ? , a6 ? 0 ,所以 d ? , a1 ? ? , 2 30 6
所以 an ? ? ?

1 6

n ?1 n ? 6 ? (n ? N ? , n ≤11). …………………………………………………8 分 30 30

当 d ? 0 时,由 a1 ? a2 ? ? ? a5 ? 所以 an ?

1 , a6 ? 0 ,所以 d ? ? 1 , a1 ? 1 , 2 30 6

1 n ?1 n?6 ? ?? (n∈N*,n≤11) , 6 30 30
d ?0

? n?6 ? ? 30 所以 an ? ? ?? n ? 6 ? ? 30

(n∈N*,n≤11) ,…………………………………………………10 分
d ?0

(3)由已知可知,必有 ai>0,也必有 aj<0(i,j∈{1,2,…,n,且 i≠j). 设 ai1 , ai2 ,?, ail 为诸 ai 中所有大于 0 的数, a j1 , a j2 ,?, a jm 为诸 ai 中所有小于 0 的数. 1 1 由已知得 X= ai1+ai2+…+ail= ,Y= aj1+aj2+…+ajm=- . 2 2 所以 a1 ?
l a m a l 1 1 1 m 1 1 a 2 ? ? ? a n ? ? i ? ? j ≤ ? ai ? ? a j ? ? .……………16 分 n k ?1 2 2n 2 n k ?1 ik k ?1 jk k ?1
k k k k

20.解: (1)设 g ? x ? ? ax 2 ? bx ? c ,于是 g ? x ? 1? ? g ?1 ? x ? ? 2a ? x ? 1? ? 2c ? 2 ? x ? 1? ? 2,
2 2

?a ? 1, ? 2 又 g ?1? ? ?1 ,则 b ? ? 1 .所以 g ? x ? ? 1 x 2 ? 1 x ? 1 . 所以 ? 2 2 2 ? ?c ? ?1.

(4 分)

(2) f ( x) ? 2 g x ? 1 ? mx ? 3m2 ln x ? 9 ? x2 ? mx ? 3m2 ln x 2 4

? ?

3m2 2x2 ? mx ? 3m2 (2x ? 3m)( x ? m) . ? ? x x x 3m 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ? (舍) , x ?m. 2
则 f ?( x) ? 2x ? m ? ①当 m >1 时,

(5 分)

x
f ?( x) f ( x)

1

(1,??m )

m
0
2m2 ? 3m2 ln m

(m,??? ?)

1? m

+ ↗



∴当 x ? m 时, fmin ( x) ? 2m2 ? 3m2 ln m .
9 南京清江花苑严老师

令 2m2 ? 3m2 ln m ? 0 ,得 m ? e 3 . ②当 0 ? m ≤ 1 时, f ?( x) ≥0 在 x ? [1, ??) 上恒成立,
f ( x) 在 x ?[1, ??) 上为增函数,当 x ? 1 时, f min ( x) ? 1 ? m .

2

(7 分)

令 m ? 1 ? 0 ,得 m ? ?1 (舍) . 综上所述,所求 m 为 m ? e 3 . (3)记 h1 ( x) ? x( x ? a) 2 , h2 ( x) ? ? x2 ? (a ?1) x ? a , 则据题意有 h1 ( x) ? 1 ? 0 有 3 个不同的实根, h2 ( x) ? 1 ? 0 有 2 个不同的实根, 且这 5 个实根两两不相等. (ⅰ) h2 ( x) ? 1 ? 0 有 2 个不同的实根,只需满足 g (
2

(9 分)

a ?1 ) ? 1 ? a ? 1或a ? ?3 ; 2

2 2 (ⅱ) h1 ( x) ? 1 ? 0 有 3 个不同的实根,因 h1? ( x) ? 3 x ? 4ax ? a ? (3 x ? a )( x ? a ) ,

令 h1? ( x) ? 0 ,得 x ? a 或

a , 3

1? 当

a ? a 即 a ? 0 时, h1 ( x) 在 x ? a 处取得极大值,而 h1 (a) ? 0 ,不符合题意,舍; 3 a 2? 当 ? a 即 a ? 0 时,不符合题意,舍; 3 a a 3? 当 ? a 即 a ? 0 时, h1 ( x) 在 x ? 处取得极大值, 3 3

a 33 2 33 2 33 2 ;所以 a ? ;因为(ⅰ) (ⅱ)要同时满足,故 a ? . (12 分) h1 ( ) ? 1 ? a ? 3 2 2 2
下证:这 5 个实根两两不相等, 即证:不存在 x0 使得 h1 ( x0 ) ?1 ? 0 和 h2 ( x0 ) ?1 ? 0 同时成立; 若存在 x0 使得 h1 ( x0 ) ? h2 ( x0 ) ? 1 ,
2 2 由 h1 ( x0 ) ? h2 ( x0 ) ,即 x ( ) ? ? x0 ? (a ?1) x0 ? a , 0 x0 ? a

得 (x0 ? a) ( x0 ? ax0 ? x0 ? 1) ? 0 ,
2

当 x0 ? a 时, f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? 0 ,不符合,舍去; 当 x0 ? a 时,既有 x0 ? ax0 ? x0 ? 1 ? 0
2

①; ②;
10

又由 g ( x0 ) ? 1 ,即 ? x0 ? (a ?1) x0 ? a ? 1
2

南京清江花苑严老师

联立①②式,可得 a ? 0 ; 而当 a ? 0 时, H ( x) ? ( x3 ?1)(? x2 ? x ?1) ? 0 没有 5 个不同的零点,故舍去, 所以这 5 个实根两两不相等. 综上,当 a ?

33 2 时,函数 y ? H ( x) 有 5 个不同的零点. 2

(16 分)

21.A 证明:因为 A,B,C,D 四点共圆,所以 ?ADF=?ABC. 因为 PF∥BC,所以 ?AFP=?ABC.所以 ?AFP=?FQP. 又因为 ?APF=?FPA, 所以△APF∽△FPQ. (5 分) PF PD 所以 = .所以 PF2=PA?PD. PA PF 因为 PQ 与圆相切,所以 PQ2=PA?PD. 所以 PF2=PQ2.所以 PF=PQ. (10 分) 21.B 解: (1)由题知, ?

? a 1 ? ? 1 ? = ? 1 ? ,即 ?a ? 3 ? ?1 , ? ? ? ?? ? ? ? c 0 ? ? ?3 ? ? ?3 ? ? c ? 3
(5 分)

?a ? 2 ?? ?c ? 3 ? x? ? y?

∴M= ?

? 2 1? . ? ? 3 0?

(2)设 ? ? 是变换后图像上任一点,与之对应的变换前的点是 ? ? , y

? x0 ? ?
0

?

x ? x? y ? ? x0 ? ? x ? ?2 x0 ? y0 ? x ? 0 2 6 则 M ? ? ? ? ? ,也就是 ? ,即 ? , ?3 y0 ? y ?y ? 1 y ? y0 ? ? y ? 0 ? ? 3

?

1

1

(7 分)

代入 x 2 ? y 2 ? 1得, 9 x2 ? 6 xy ? 5 y 2 ? 36 .

(10 分)

1 ? x ?1? t ? 2 ? ( t 为参数) 21.C 解: (1)直线 l 的参数方程为 ? , (3 分) ? y ? ?5 ? 3 t ? ? 2 圆 C 的极坐标方程为 ? ? 8sin ? . (5 分) π (2)因为 M(4, )对应的直角坐标为(0,4) , 2

直线 l 的普通方程为 3x ? y ? 5 ? 3 ? 0 , ∴圆心到直线 l 的距离 d ? 所以直线 l 与圆 C 相离.
|0?4?5? 3| 3 ?1 ? 9? 3 ?5, 2

(10 分) (3 分) (6 分)

1 1 1 21.D 解:由柯西不等式,得 (2b2 ? 3c2 ? 6d 2 )( ? ? ) ≥ (b ? c ? d )2 , 2 3 6
即 2b2 ? 3c2 ? 6d 2 ≥ ?b ? c ? d ? .由条件,得 5 ? a2 ≥ ?3 ? a ? ,
2 2

11 南京清江花苑严老师

解得 1 ≤ a ≤ 2 ,当且仅当

2b 1 2

?

3c 1 3

?

6d 1 6

时等号成立,

1 1 2 1 代入 b ? 1, c ? , d ? 时, amax ? 2 ; b ? 1, c ? , d ? 时, amin ? 1 , 3 6 3 3 所以, a 的取值范围是 [1, 2] .

(8 分) (10 分)

22.解:∵ DB ? BA ,又∵面 ABDE ? 面 ABC ,面 ABDE ? 面 ABC ? AB , DB ? 面ABDE , ∴ DB ? 面ABC ,∵BD∥AE,∴ EA ? 面ABC , (2 分) 如图所示,以 C 为原点,分别以 CA,CB 为 x,y 轴,以过点 C 且与平面 ABC 垂直的直线为 z 轴,建 立空间直角坐标系, z E ∵ AC ? BC ? 4 , ∴设各点坐标为 C (0, 0, 0) , A(4, 0, 0) , B(0, 4, 0) , D(0, 4, 2) , E (4, 0, 4) , 则 O(2, 0, 2) , M (2, 2, 0) , CD ? (0, 4, 2) ,

??? ?

O

D ???? 设平面 ODM 的法向量 n ? ( x, y, z ) ,则由 n ? OD ???? ? x A ??2 x ? 4 y ? 0, 且 n ? MD 可得 ? M ??2 x ? 2 y ? 2 z ? 0, 令 x ? 2 ,则 y ? 1 , z ?1,∴ n ? (2, 1, 1) , (7 分) B y 设直线 CD 和平面 ODM 所成角为 ? ,则 ??? ? ??? ? n ? CD (2, 1, 1) ? (0, 4, 2) 6 30 ??? ? ? , sin ? ? cos ? n, CD ? ? ? ? | n || CD | | (2, 1, 1) || (0, 4, 2) | 6 ? 2 5 10 ∴直线 CD 和平面 ODM 所成角的正弦值为

???? ???? ? OD ? (?2, 4, 0) , MD ? (?2, 2, 2) ,

C

30 . 10

(10 分)

23.解(1)证明: (ⅰ)当 n ? 1 时,因为 a1 ? 0 , (ⅱ)假设 n ? k 时,等式正确,即 ak ?

3 ? 3(?1) ? 0 ,所以等式正确. (2 分) 4

3k ? 3(?1) k (k ? N* , k ? 1) , 4
k

那么, n ? k ? 1 时,因为 ak ?1 ? 3 ? ak ? 3 ?
k

3k ? 3(?1)k 4 ? 3k ? 3k ? 3(?1)k 3k ?1 ? 3(?1)k ?1 ? ? , 4 4 4

这说明 n ? k ? 1 时等式仍正确. 据(ⅰ) , (ⅱ)可知, an ?

3n ? 3(?1) n (n ? N* , n ? 1) 正确. 4

(5 分)

(2)易知 P ?

1 3n ? 3(?1)n 1 3(?1)n ? ? [1 ? ], 4 3n 4 3n

①当 n 为奇数( n ? 3 )时, P ?

1 3 1 3 2 (1 ? n ) ,因为 3n ? 27 ,所以 P ? (1 ? ) ? , 4 3 4 27 9 1 3 1 2 1 又 P ? (1 ? n ) ? ,所以 ? P ? ; (7 分) 4 3 4 9 4
12

南京清江花苑严老师

②当 n 为偶数 (n ? 2) 时,P ?

1 3 1 3 1 1 3 1 n (1 ? n ) , (? ) ? 因为 3 ? 9 , 所以 P ? (1 ? ) ? , 又P ? 1 , 4 3 4 9 3 4 3n 4

1 1 ?P? . 4 3 2 1 综上所述, ? P ? . 9 3
所以

(10 分)

13 南京清江花苑严老师


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