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2011年全国高中数学联赛四川省预赛试题及答案

时间:2012-02-16


2011 年全国高中数学联赛四川省预赛


一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 选择题( 1、双曲线



x2 y2 ? = 1 的左、右准线 l1、l2 将线段 F1F2 三等分(其中 F1 、 F2 分别为双 a 2 b2
) . D、 2 3

曲线的左、右焦点) ,则该双曲线的离心率 e 等于( A、

6 2

B、 3

C、

3 3 2

2、已知三次函数 f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d , ( a, b, c, d ∈ R ), 命题 p : y = f ( x ) 是 R 上的单调函数; 命题 q : y = f ( x ) 的图像与 x 轴恰有一个交点. 则 p 是 q 的( ). B、必要但不充分条件 D、既不充分也不必要条件

A、充分但不必要条件 C、充要条件

3、甲、乙、丙三人一起玩“剪刀、石头、布”的游戏.每一局甲、乙、丙同时出“剪 刀、石头、布”中的一种手势,且是相互独立的.设在一局中甲赢的人数为 ξ ,则随机变量

ξ 的数学期望 Eξ 的值为(
A、

). C、

1 3

B、

4 9

2 3

D、1 ). D、 3 3
F N A M D C B E

4、函数 f ( x ) = A、 3

x ? 5 + 24 ? 3 x 的最大值为(
B、3 C、 2 3

5、如图,边长为 2 的正方形 ABCD 和正方形 ABEF 所在的面成 60° 角,M、N 分别是线段 AC 和 BF 上的点,且 AM = FN ,则线段 MN 的 长的取值范围是( ).

1 A、 [ , 2] 2

B、 [1, 2]

C、 [ 2, 2]

D、 [ 3, 2]

6 、 设 数 列 {a n } 为 等 差 数 列 , 数 列 {bn } 满 足 : b1 = a1 , b2 = a 2 + a3 ,

b3 = a 4 + a 5 + a 6 ,…,若 lim
n →∞

bn = 2 ,则数列 {a n } 的公差 d 为( n3

).

1

A、

1 2

B、1

C、2

D、4

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 填空题( 7、已知实数 x 满足 | 2 x + 1 | + | 2 x ? 5 |= 6 ,则 x 的取值范围是



8、设平面内的两个非零向量 a 与 b 相互垂直,且 | b |= 1 ,则使得向量 a + mb 与

a + (1 ? m)b 互相垂直的所有实数 m 之和为

. .

9、记实数等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 S10 = 10, S30 = 70 ,则 S 40 =

10、设 x 为实数,定义 ?x ? 为不小于 x 的最小整数,例如 ?π ? = 4 , ?? π ? = ?3 .关于 实数 x 的方程 ?3 x + 1? = 2 x ?
n

1 的全部实根之和等于 2



11、已知 (1 + 3 ) = a n + bn 3 ,其中 a n , bn 为整数,则 lim

an = n → +∞ b n



12、 已知三棱锥 S-ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形, SA=SB=SC=AB=2, 且 设 S、 B、 四点均在以 O 为球心的某个球面上, A、 C 则点 O 到平面 ABC 的距离为 . 解答题( 三、解答题(每小题 20 分,共 80 分) 13、已知 m > 0 ,若函数 f ( x ) = x + 100 ? mx 的最大值为 g (m) ,求 g (m) 的最小值. 14、已知函数 f ( x ) = 2(sin 4 x + cos 4 x ) + m(sin x + cos x ) 4 在 x ∈ [0, 求实数 m 的值. 15、抛物线 y = x 2 与过点 P ( ?1, ?1) 的直线 l 交于 P 、 P2 两点. 1 (I)求直线 l 的斜率 k 的取值范围; (II) 求在线段 P P2 上满足条件 1

π
2

] 有最大值 5,

1 1 2 + = 的点 Q 的轨迹方程. PP PP2 PQ 1 9 4 a n ? × 3 n + m ,且 8 3

16、已知 m 为实数,数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,满足: S n =

an ≥

64 对任何的正整数 n 恒成立. 3 3k 3 ∑ S < 16 . k =1 k
n

求证:当 m 取到最大值时,对任何正整数 n 都有





2

1、B. 提示:由题意得 2c = 3 × 2、A.

2a 2 ,解得 e = 3 . c

3× 4 4 3× 4 4 3 ×1 1 = , P (ξ = 1) = = , P (ξ = 2) = = ,于 27 9 27 9 27 9 4 4 1 2 是 Eξ = × 0 + × 1 + × 2 = . 9 9 9 3
3、C. 提示: P (ξ = 0) = 4、C. 解法一 f ( x ) 的定义域为 5 ≤ x ≤ 8 ,由

f ′( x) =
解得 x =

1 2 x ?5

+

?3 2 24 ? 3 x

=

24 ? 3 x ? 3 x ? 5 2 x ? 5 ? 24 ? 3 x

= 0,

23 23 .因为 f (5) = 3 , f ( ) = 2 3 , f (8) = 3 ,于是 4 4 23 f ( x) max = f ( ) = 2 3 . 4

解法二 f ( x ) 的定义域为 5 ≤ x ≤ 8 ,

f 2 ( x ) = (1 ? x ? 5 + 3 ? 8 ? x ) 2 ≤ (1 + 3)( x ? 5 + 8 ? x ) = 12 ,
当且仅当

23 x?5 8? x ,即 x = 时, f ( x ) 取到最大值 2 3 . = 4 1 3
提示:过点 M 作 MH//BC 交 AB 于 H,则

5、B.

AM AH = , AC AB

F N A M D H

E

又 AM=FN, AC=FB, ∴

FN AH = , ∴NH//AF, ∴NH⊥AB, MH⊥AB, FB AB

B C

∴∠MHN=60°. 设 AH=x(0≤x≤2),则 MH=x, NH = 2 ? x ,所以

MN = x 2 + (2 ? x) 2 ? 2 x(2 ? x) cos 60° = 3x 2 ? 6 x + 4 = 3( x ? 1) 2 + 1 .
因此 1 ≤ MN ≤ 2 . 6、D. 提示:

bn = a n ( n ?1) + a n ( n ?1)
2 +1 2

+2

+ L + a n ( n ?1)
2

+n

n = [a n ( n ?1) + a n ( n ?1) ] +1 +n 2 2 2
n n(n ? 1) n(n ? 1) = [a1 + d + a1 + ( + n ? 1)d ] 2 2 2 n = (2a1 ? d + n 2 d ) 2
于是

3

lim
解得 d = 4 .

bn 1 2a ? d d = lim ( 1 2 + d ) = = 2 , 3 n →∞ n n →∞ 2 2 n

1 5 , ] . 提示:因为 | 2 x + 1 | + | 2 x ? 5 |≥| (2 x + 1) + (5 ? 2 x) |= 6 ,等号成立当 2 2 1 5 且仅当 ( 2 x + 1)( 2 x ? 5) ≤ 0 ,即 ? ≤ x ≤ 2 2
7、 [? 8、1. 提示:由于

0 = (a + mb) ? [a + (1 ? m)b] = a + a ? b + m(1 ? m)b =| a | 2 + m(1 ? m) ,
即 m ? m? | a | =0,所以由根与系数的关系知符合条件所有实数 m 之和为 1.
2 2

2

2

9、150. 提示:记 b1 = S10 , b2 = S 20 ? S10 , b3 = S30 ? S 20 , b4 = S 40 ? S30 . 设 q 为 {an } 的公比,则 b1 , b2 , b3 , b4 构成以 r = q 10 为公比的等比数列,于是

70 = S30 = b1 + b2 + b3 = b1 (1 + r + r 2 ) = 10(1 + r + r 2 )
即 r + r ? 6 = 0 ,解得 r = 2 或 r = ?3 (舍去) ,故 S 40 = 10(1 + r + r + r ) = 150 .
2

2

3

10、-4. 提示:设 2 x ? 程等价于 ?

1 2k + 1 2k + 3 = k ∈ Z ,则 x = ,3x + 1 = k + 1 + ,于是原方 2 4 4

2k + 3 ? 2k + 3 ? ? = ?1 ,即 ? 2 < 4 ≤ ?1 , ? 4 ?

从而 ?

11 7 < k ≤ ? ,即 k = ?5或 ? 4 . 2 2 9 7 相应的 x 为 ? ,? .于是所有实根之和为 ? 4 . 4 4 3 . 提 示 : 由 条 件 (1 + 3 ) n = a n + bn 3 知 (1 ? 3 ) n = a n ? bn 3 , 于 是

11 、

1 1 a n = [(1 + 3 ) n + (1 ? 3 ) n ], bn = [(1 + 3 ) n ? (1 ? 3 ) n ] ,故 2 2 3

an (1 + 3 ) n + (1 ? 3 ) n lim = lim 3 × n → +∞ n → +∞ b (1 + 3 ) n ? (1 ? 3 ) n n
1? 1+ ( 1+ = lim 3 × n → +∞ 1? 1? ( 1+ 3 3 3 3 )n = 3. )
n

4

12、

3 . 提示:如图,因为 SA=SB=SC,所以 S 在平面 ABC 上的射 3

S

影是△ABC 的外心,即 AB 的中点 H,同理 O 点在平面 ABC 上的射影也是 △ABC 的外心 H,即在等边△SAB 中,求 OH 的长,其中 OA=OB=OS. 显然, OH =

O A H C B

1 1 3 3 SH = × 2 × = . 3 3 2 3

100 ? t 2 13、令 t = 100 ? mx ,则 x = ,所以 m y=
∴当 t =

m 100 m 100 ? t 2 1 + t = ? (t ? ) 2 + + . m m 2 m 4

m 100 m 100 m 时, y 有最大值 + ,即 g (m) = + .所以 2 m 4 m 4

g ( m) =

100 m 100 m + ≥2 × = 10 , m 4 m 4

等号当且仅当 m = 20 时成立,∴当 m = 20 时, g (m) 有最小值 10.

2 2 2 2 2 4 14、 f ( x ) = 2(sin x + cos x ) ? 4 sin x cos x + m(sin x + cos x )

= 2 ? (2 sin x cos x) 2 + m(sin x + cos x) 4
令 t = sin x + cos x =

2 sin( x +

π
4

) ∈ [1, 2 ] ,则 2 sin x cos x = t 2 ? 1 ,从而

f ( x) = 2 ? (t 2 ? 1) 2 + mt 4 = (m ? 1)t 4 + 2t 2 + 1
令 u = t 2 ∈ [1, 2] ,由题意知 g (u ) = ( m ? 1)u 2 + 2u + 1 在 u ∈ [1, 2] 有最大值 5. 当 m ? 1 = 0 时, g (u ) = 2u + 1 在 u = 2 时有最大值 5,故 m = 1 符合条件; 当 m ? 1 > 0 时, g (u ) max ≥ g ( 2) > 2 × 2 + 1 = 5 ,矛盾! 当 m ? 1 < 0 时, g (u ) < 2u + 1 ≤ 5 ,矛盾! 综上所述,所求的实数 m = 1 .
2 15、 (I)直线 l 的方程为 y + 1 = k ( x + 1) ,与抛物线方程 y = x 联立

5

得 ?

? y = x2 ? y + 1 = k ( x + 1)

, 消 去 y 得 x = k ( x + 1) ? 1 , 即 x ? kx ? ( k ? 1) = 0 , 由
2 2

? = (?k )2 + 4(k ? 1) > 0 ,解得 k > ?2 + 2 2 或 k < ?2 ? 2 2 .
(II) Q 点坐标为 ( x, y ) ,P 点坐标为 ( x1 , y1 ) ,P2 点坐标为 ( x2 , y2 ) , x1 + x2 = k , 设 则 1

x1 ? x2 = ?(k ? 1) .
又 P 、 P2 、 Q 都 在 直 线 l 上 , 所 以 有 y + 1 = k ( x + 1) , y1 + 1 = k ( x1 + 1) , 1

y2 + 1 = k ( x2 + 1) ,由

1 1 2 + = 得 PP PP2 PQ 1
1 + 1 ( x2 + 1) + ( y2 + 1)
2 2

( x1 + 1) + ( y1 + 1)
2

2

=

2 ( x + 1) + ( y + 1)
2 2



化简得

1 1 2 + = | x1 + 1| | x2 + 1| | x + 1|
又因此

( x1 + 1)( x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1 = ?(k ? 1) + k + 1 = 2 > 0 ,
点 Q 在线段 P P2 上,所以 x1 + 1, x2 + 1, x + 1 同号.则 1

1 1 2 + = . x1 + 1 x2 + 1 x + 1
因此

x=2

x1 x2 + x1 + x2 + 1 2?k ?1 = , x1 + x2 + 2 k +2
2?k 3k ? 2 + 1) ? 1 = , k +2 k +2



y = k ( x + 1) ? 1 = k ? ( 3



2 ? 2x ?2 2 ? 2x x +1 由①得 k = 代入②得 y = = 1 ? 2 x ,即 2 x ? y + 1 = 0 . 2 ? 2x x +1 +2 x +1 4 又 因 为 k > ?2 + 2 2 或 k < ?2 ? 2 2 , 所 以 x = ?1 的 取 值 范 围 是 k +2

? 2 ? 1 < x < 2 ? 1 且 x ≠ ?1 , 因 此 点 Q 的 轨 迹 方 程 是 2 x ? y + 1 = 0
( ? 2 ?1 < x <

2 ? 1 且 x ≠ ?1 ) .
6

16、当 n = 1 时,由 a1 = 当 n ≥ 1 时,

9 a1 ? 4 + m 得 a1 = 8(4 ? m) . 8 Sn = S n+1 9 4 an ? × 3n + m , 8 3 9 4 = a n +1 ? × 3 n +1 + m , 8 3

所以

a n+1 =


9 9 8 a n +1 ? a n ? × 3 n , 8 8 3 64 n ×3 , 3

a n+1 = 9a n +
所以

32 n+1 32 × 3 = 9( a n + × 3 n ) , 9 9 32 32 a n + × 3 n = (a1 + ) × 9 n ?1 , 9 3 8 32 即 an = (16 ? 3m) × 9 n ? × 3 n . 27 9 8 32 64 由条件知, (16 ? 3m) × 9 n ? × 3 n ≥ 对任何正整数 n 恒成立,即 27 9 3 8 64 1 32 1 (16 ? 3m) ≥ × + × n 27 3 9n 9 3 对任何正整数 n 恒成立, 64 1 32 1 64 1 32 1 96 由于 × n + × n 在 n = 1 时取最大值 × + × = . 3 9 9 3 3 9 9 3 27 8 96 4 于是 (16 ? 3m) ≥ ,解得 m ≤ . 27 27 3 4 由上式知道 m 的最大值为 . 3 4 当 m = 时, 3 32 n 32 n an = ×9 ? ×3 , 9 9 a n+1 +
于是

Sn =

9 32 n 32 n 4 4 ( × 9 ? × 3 ) ? × 3n + 8 9 9 3 3

4 = [3 × (3n ) 2 ? 4 × 3n + 1] 3 4 = (3n +1 ? 1)(3n ? 1) 3
所以

7

3k 3 n 3k = ∑ k +1 ∑ S 4 k =1 (3 ? 1)(3k ? 1) k =1 k
n

=

3 n 1 1 ∑ ( 3k ? 1 ? 3k +1 ? 1) 8 k =1

3 1 1 = ( ? n+1 ) 8 3 ?1 3 ?1 3 1 3 < × = 8 2 16

8


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