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高中数学思想方法总结

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龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 高中数学思想方法总结 作者:孟宪涛 来源:《知识文库》2016 年第 04 期 常言道:劈柴不照纹累死劈柴人。这就是告诉我们解决问题要找对方法。数学作为解决实 际问题的重要工具,包括的知识面比较广,如果我们不能系统地归纳、总结,学习起来就感到 紊乱。高中数学中有很多思想方法,在解题中我们经常用其中一种或多种方法结合来解题,下 面我把函数方程思想,函数方程思想,分类讨论的数学思想,化归与转化思想等四个常用的思 想方法进行总结,以便我们在教学中加以突出。 ㈠函数方程思想 函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处理变量或未知数之间的关系,从而解决问 题的一种思维方式,是很重要的数学思想。 ⒈函数思想:把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来,并研究这些量 间的相互制约关系,最后解决问题,这就是函数思想; ⒉应用函数思想解题,确立变量之间的函数关系是一关键步骤,大体可分为下面两个步 骤:⑴根据题意建立变量之间的函数关系式,把问题转化为相应的函数问题;⑵根据需要构造 函数,利用函数的相关知识解决问题;⑶方程思想:在某变化过程中,往往需要根据一些要 求,确定某些变量的值,这时常常列出这些变量的方程或(方程组),通过解方程(或方程 组)求出它们,这就是方程思想; ⒊函数与方程是两个有着密切联系的数学概念,它们之间相互渗透,很多方程的问题需要 用函数的知识和方法解决,很多函数的问题也需要用方程的方法的支援,函数与方程之间的辩 证关系,形成了函数方程思想。 ㈡数形结合 数形结合是中学数学中四种重要思想方法之一,对于所研究的代数问题,有时可研究其对 应几何的性质使问题得以解决(以形助数);或者对于所研究的几何问题,可借助于对应图形 的数量关系使问题得以解决(以数助形),这种解决问题的方法称之为数形结合。 ⒈数形结合与数形转化的目的是为了发挥形的生动性和直观性,发挥数的思路的规范性与 严密性,两者相辅相成,扬长避短。 ⒉恩格斯是这样来定义数学的:“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”。这 就是说:数形结合是数学的本质特征,宇宙间万事万物无不是数和形的和谐的统一。因此,数 学学习中突出数形结合思想正是充分把握住了数学的精髓和灵魂。 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn ⒊数形结合的本质是:几何图形的性质反映了数量关系,数量关系决定了几何图形的性 质。 ⒋华罗庚先生曾指出:“数缺性时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔裂分家 万事非。”数形结合作为一种数学思想方法的应用大致分为两种情形:或借助于数的精确性来 阐明形的某些属性,或者借助于形的几何直观性来阐明数之间的某种关系. ⒌把数作为手段的数形结合主要体现在解析几何中,历年高考的解答题都有关于这个方面 的考查(即用代数方法研究几何问题)。而以形为手段的数形结合在高考客观题中体现。 ⒍我们要抓住以下几点数形结合的解题要领: ⑴对于研究距离、角或面积的问题,可直接从几何图形入手进行求解即可; ⑵对于研究函数、方程或不等式(最值)的问题,可通过函数的图象求解(函数的零点, 顶点是关键点),作好知识的迁移与综合运用; ⑶对于以下类型的问题需要注意: 可分别通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单 位圆 x2+y2=1 上的点 及余弦定理进行转化达到解题目的。 ㈢分类讨论的数学思想 分类讨论是一种重要的数学思想方法,当问题的对象不能进行统一研究时,就需要对研究 的对象进行分类,然后对每一类分别研究,给出每一类的结果,最终综合各类结果得到整个问 题的解答。 ⒈有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决,引起分类讨论的原因大致可归 纳为如下几种: ⑴涉及的数学概念是分类讨论的; ⑵运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的; ⑶求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性; ⑷数学问题中含有参变量,这些参变量的不同取值导致不同的结果的; ⑸较复杂或非常规的数学问题,需要采取分类讨论的解题策略来解决的。 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn ⒉分类讨论是一种逻辑方法,在中学数学中有极广泛的应用。根据不同标准可以有不同的 分类方法,但分类必须从同一标准出发,做到不重复,不遗漏 ,包含各种情况,同时要有利 于问题研究。 ㈣化归与转化思想 所谓化归思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之 转化,进而达到解决的一种方法。一般总是将复杂的问题通过变化转化为简单的问题,将难解 问题通过变换转化为容易求解的问题,将未解决的问题转化为已解决的问题。 立体几何中常用的转化手段有: ⒈通过辅助平面转化为平面问题,把已知元素和未知元素聚集在一个平面内,实现点线、 线线、线面、面面位置关系的转化; ⒉平移和射影,通过平移或射影达到将立体几何问题转化为平面问题,化未知为已知的目 的; ⒊等积与割补; ⒋类比和联想; ⒌曲与直的转化; ⒍体积比,面积比,长度比的转化; ⒎解析几何本身的创建过程就是“数”与“形”之间互相转化的过程。解析几何把数学的主要 研究对象数量关系与几何图形联系起来,把代数与几何融合为一体。 总之,数学思想方法是解决数学问题的根本准则和方向指导,它有利于学生通过科学的方 法掌握知识,提升技能。随着教学实践的探索和发展,数学思想方法也会不断汲取新的营养, 这就要求高中数学教师必须与时俱进,不断更新教学理念、改进教学方法来努力培养更加优秀 的学生,追求完美的高效课堂。 (作者单位:河北泊头市第一中学)

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