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2015年浙江省杭州市高三理科一模数学试卷

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2015 年浙江省杭州市高三理科一模数学试卷 一、选择题(共 8 小题;共 40 分) 1. 若 A. . ,则 B. . 若 C. )如图所示,则此几何体的体积是 C. . D. 2. 设实数 , 满足不等式组 A. B. ,则 的最大值为 D. 3. 若某几何体的三视图(单位: A. 4. 设 ,则“ A. 充分不必要条件 C. 充要条件 5. 设函数 立的是 A. C. 6. 设 则 A. 7. 设 为双曲线 为锐角 B. ”是“ ”的 C. B. 必要不充分条件 D. D. 既不充分也不必要条件 ( 为自然对数的底数).若 B. D. 的外心(三角形外接圆圆心), .若 , 且 ,则下列结论一定不成 B. C. 的右焦点,过点 ,则双曲线 C. 为周期的奇函数,当 的取值范围是 B. 时, 且斜率为 D. 的直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 , 两点,若 A. 8. 已知函数 在区间 A. C. 或 B. 是以 上有 的离心率 等于 D. .若函数 个零点,则实数 D. < 或 第 1 页(共 9 页) 二、填空题(共 7 小题;共 35 分) 9. 已知函数 单调递减区间为 10. 设函数 成立,则 11. 设圆 截圆 12. 设函数 所得的弦长与 ,则当 的取值范围为 . ,则圆 无关,则 时,函数 的圆心轨迹方程是 . 的最大值等于 ,则 ,则 的取值范围是 交于 , 两点(点 . .设点 . 到直线 的距离 ,若 是函数 . . 在第 ;若直线 . ,则 ;若当 时, 恒 ,则该函数的最小正周期为 ,最小值为 , 的所有零点中的最大值,且 13. 设实数 , 为等差数列 的首项和公差.若 ,过点 中,其中 的距离分别为 , ,则 14. 已知抛物线 四象限), 为坐标原点,且 15. 在长方体 和到平面 的直线 与抛物线 ,则直线 的斜率 是正方形, 的取值范围是 三、解答题(共 5 小题;共 65 分) 16. 在 中,内角 , , 所对的边分别为 , , ,已知 的大小; ,求 在平面 的周长 的取值范围. 是矩形, 上的投影为 . ,将 沿着对角线 翻折,得到 , . (1)求角 (2)若 17. 已知四边形 设顶点 (1)若点 ①求证: ②若 (2)当 恰好落在边 平面 , 时,若点 上, ; .当 取到最小值时,求 的值. 的 恰好落在 的内部(不包括边界),求二面角 余弦值的取值范围. 18. 在直角坐标系 . (1)求点 的轨迹 的方程 中,设点 , , 为 的外心.已知 , 第 2 页(共 9 页) (2)设经过 直线 的直线交轨迹 上异于点 与 , ,直线 , 与直线 , 交于点 , ,点 , 是 ,问 的任意一点.若直线 的斜率分别为 是否存在实数 ,使得 19. 设数列 的前 项和为 ,若 ,若存在,求 的值;若不存在,说明理由. . (1)求数列 (2)求证: 20. 已知实数 (1)若函数 (2)对于函数 的通项公式; . ,函数 在区间 ,若存在区间 . 上存在最小值,求 ,使 . 的取值范围; ,求 的 取值范围,并写出满足条件的所有区间 第 3 页(共 9 页) 答案 第一部分 1. B 2. C 【解析】作出不等式对应的平面区域, 由 直线 值为 3. B 但 若 即 解得 即 即“ 5. C 6. A 4. A ,得 ,平移直线 的截距最大,此时 最大.由 . ,由图象可知当直线 得 即 经过点 时, ,此时 的最大 【解析】若 , ,则 , 或 成立, ”是“ , ,则 ,满足 , 不成立, , (舍去), ”的充分不必要条件. 的中点 ,连接 , . 【解析】如图所示,取 则 因为满足 所以 所以 所以 所以 , , , , , . . 所以 , , 三点共线, 第 4 页(共 9 页) 所以 解得 7. D 程为 . . 【解析】设 , , , , , , , , ,则过双曲线 的右焦点 作斜率为 的直线方 而双曲线的渐近线方程是 由 由 得 得 又 即 则 8. D 所以 因为 所以 即 且当 所以当 即 解得 第二部分 9. , , ,则 ,则 . 【解析】由题意知, ,即 是定义在 也是函数 时, 时, 或 或 . 是函数 上且以 的零点, 上的零点个数为 , , 恒成立,且 在 有一解, ,且 在区间 是定义在 的零点, 为周期的周期函数, ,则 , 上的奇函数, 因为函数 【解析】由解析式易得周期 解得单调递减区间为 10. , ,最小值为 . ,令 , 【解析】由解析式易得 又当 时, . 恒成立,则 ,故 恒成立, . 据均值不等式得 第 5 页(共 9 页) 11. , ,由圆的方程可得 消去 的距离与 ,解得 . 可得圆心的轨迹方程为 上, 【解析】设圆心坐标为 .若弦长与 无关,则圆心到直线 无关,因为圆心在直线 故当两直线平行时弦长即为定值,即 12. 13. 【解析】由等差数列的定义可得 根据均值不等式知,当 时, , , 当 时, 综上可得, 14. 【解析】设直线 可得 15. 【解析】根据题意设 过点 作 ,易证 . , 平面 ,直线 . ,联立可得 . ,代入 ,所以 , , 由等积法可得 在 所以 中利用等积法可得 , 第 6 页(共 9 页) 因为 ,由二次函数知识可得 . 第三部分 16. (1) 根据倍角公式: 所以 因为 (2) 因为 所以根据正弦定理: 所以 因为 所以 因为 ,所以 在平面 , . 上的射影为 ,点 恰好落在边 上, ,所以 , , ,所以 , ,得 , , , ,所以 . , ,得 ,即 , 17. (1) ①因为点 所以 平面 又 所以 所以 又因为 所以 ②作矩形 因为

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