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第29届全国中学生高中物理竞赛复赛试题及答案

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第 29 届全国中学生物理竞赛复赛试卷 本卷共 8 题,满分 160 分。 一、 (17 分)设有一湖水足够深的咸水湖,湖面宽阔而平静,初始时将一体积很小的匀质 正立方体物块在湖面上由静止开始释放,释放时物块的下底面和湖水表面恰好相接触。已知湖 水密度为 ? ;物块边长为,密度为 ? ' ,且 ? ' ? ? 。在只考虑物块受重力和液体浮力作用的情 况下,求物块从初始位置出发往返一次所需的时间。 解: 由 于 湖 面 足 够 宽 阔 而 物 块 体 积 很 小 ,所 以 湖 面 的 绝 对 高 度 在 物 块 运 动 过 程 中 始 终 保 持 不 变 ,因 此 ,可 选 湖 面 为 坐 标 原 点 并 以 竖 直 向 下 方 向 为 正 方 向 建 立 坐 标 系 ,以 下 简 称 系 . 设 物块下底面的坐标为,在物块未完全浸没入湖水时,其所受到的浮力为 ( x?b) (1) f b ? b2 x ? g 式中 g 为 重 力 加 速 度 .物 块 的 重 力 为 fg ? b3 ??g b3??a ? fg ? fb (2 ) (3 ) 设物块的加速 将 (1) 和 (2 ) 式 代 度为,根据牛顿第二定律有 入 (3) 式 得 a?? ? g ? ?? ? x ? b? ? ?b ? ? ? ? (4 ) 将 系 坐 标 原 点 向 下 移 动 ? ?b / ? 而 建 立 新 坐 标 系 , 简 称 ?? X ? x? b ? 式得 ?g a?? X ? ?b X 系. 新旧坐标的关系为 (5 ) 把 (5) 式 代 入 (4) (6) (6) 式 表 示 物 块 的 运 动 是 简 谐 振 动 . 若 X ? 0 , 则 a ?0, 对 应 于 物 块 的 平 衡 位 置 . 由 (5) 式 可 知 , 当物块处于平衡位置时,物块下底面在系中的坐标为 ?? (7 ) 物块运动 x0 ? b ? 方程在 X 系中可写为 X (t ) ? Acos ??t ? ? ? (8) (9 ) 利用 式中 ? 为 参考圆可将其振动速度表示为 V (t ) ? ? A?sin ??t ? ? ? 振动的圆频率 ?? ? g ?' b (10) 在 (8) 和 (9) 式 中 A 和 分 别 是 振 幅 和 初 相 位 ,由 初 始 条 件 决 定 . 在 物 块 刚 被 释 放 时 ,即 t ? 0 时 刻 有 x = 0 , 由 (5) 式 得 ?? (11) X (0) ? ? b ? (12) V (0) ? 0 由 (8) 至 (12 ) 式 可 求 得 ?? (13 ) ? ? ? A? b ? 1 (14) 将 (10) 、 (13 ) 和 (14 ) 式 分 别 代 人 (8 ) 和 (9 ) 式 得 X (t ) ? ?? b cos ??t ? ? ? ? (15) V (t ) ? ? ?? gb sin ??t ? ? ? ? (16) 由 (15) 式 可 知 , 物 块 再 次 返 回 到 初 始 位 置 时 恰 好 完 成 一 个 振 动 周 期 ; 但 物 块 的 运 动 始 终 由 (15) 表 示 是 有 条 件 的 , 那 就 是 在 运 动 过 程 中 物 块 始 终 没 有 完 全 浸 没 在 湖 水 中 . 若 物 块 从 某 时刻起全部浸没在湖水中,则湖水作用于物块的浮力变成恒力,物块此后的运动将不再是 简谐振动,物块再次返回到初始位置所需的时间也

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