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2.3.1直线和平面垂直判定

时间:2018-04-06


2.3.1 直 线 与 平 面 垂 直的判定 a
b

思 考 ?

一条直线 与一个平面垂直 的意义是什么?
A

C C1

α

B
B1

(一)直线与平面垂直的定义
如果一条直线 l和一个平面内的任意一条 直线都垂直,我们就说直线 l 和平面 α互相垂直.

记作l ⊥α
l叫做α的垂线,

α叫做 l的垂面,

l

l与α的交点P叫做垂足

α

P

思考:
1.如果一条直线 l 和一个平面内的无数条直线 都垂直,则直线 l和平面 α互相垂直( 错误 )

2.b是平面α内任一直线,a⊥α,则a⊥b (性质定理)

容易发现,当且仅当折痕AD是BC边上的高 时,AD所在直线与桌面所在平面α垂直。
A A

a
B D C

B

D

C

(1)有人说,折痕AD所在直线与桌面所在平 面α上的一条直线垂直,就可以判断AD垂直平 面α,你同意他的说法吗?

(2)折痕AD⊥BC,翻折之后垂直关系不变,即 AD ⊥ CD,AD ⊥ BD,由此你能得到什么结论?

判定定理
如果一条直线和一个平面内的两条相交

直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.
m ? a ? ? n ? a ? ? m ? n ? B? ? l ? a l ? m ? ? l ? n ? ?
l

m
B

n

α α

例1、有一根旗杆AB高8m,它的顶端A挂有一条

长10m的绳子,拉紧绳子并把它的下端放
在地面上的两点(和旗杆脚不在同一条 直线上)C、D,如果这两点都和旗杆脚B的
A

距离是6m,那么旗杆就和地面垂直,为什么?

a

C

B

D

解 : 如图 , 旗杆 PO ? 8 m , 两绳长 PA ? PB ? 10 m OA ? OB ? 6 m ? A , O , B 三点不共线 ? A , O , B 三点确定平面 又 ? PO
2

a
2 2

? OA

2

? PA , PO

? OB

2

? PB

2

? OP ? OA , OP ? OB ? OA ? OB ? O ? OP ? a 因此 , 旗杆 OP 与地面垂直 .
a
A O

P

B

练习题
2 .如图 , 在三棱锥 求证 VB ? AC V ? ABC 中 , VA ? VC , AB ? BC

V

A

.

D

C

B

例2、求证:如果两条平行直线中的一条垂直 于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面
a b

a

m ,

n

a

?? b

a ? a

? b ? a

证明 : 在平面 a 内作两条相交直线 因为直线

m , n. 定义知

a ? a , 根据直线与平面垂直的 a ? m,a ? n

又因为 b ? a ,

所以

b ? m,b ? n ,

又 m ? a , n ? a , m , n 是两条相交直线 所以 b ? a

例2 在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面 ABC,AB⊥BC,PA=AB,D为PB的中点, 求证:AD⊥PC.
P D C

A B

1、直线与平面垂直的定义 2、直线与平面垂直的判定与性质
? ? n ? a ? ? m ? n ? B? ? l ? a ? l ? m ? ? l ? n ? m ? a

(1)

(2)a ? a , b ? a ? a ? a

a ?? (3)

b

, a ? a

?

b ? a

练习题
1 、如果平面外的一条直线上有两点到这个平面的 距离相等,则这条直线和平面的位置关系是( C )

A.平行

B.相交

C.平行或相交

2、在空间,下列命题 (1)平行于同一直线的两条直线互相平行; (2)垂直于同一直线的两条直线互相平行; (3)平行于同一平面的两条直线互相平行; (4)垂直于同一平面的两条直线互相平行。 正确的是( B) A.(1)(3)(4) B.(1)(4) C.(1) D.四个命题都正确。

补充例题
如图,PA ? 圆O所在平面,AB 是圆O的直径,C是圆周上一点,那 末,图中有几个直角三角形?
P

分析:问题的焦点是三角
形PBC是不是直角三角形?
PA BC
BC PC

A

O

B

? ? 平面 ABC C ? ? ? ? PA ? BC ? ? ? 平面 ABC ? ? PA ? AC ? A ? ? 平面 PAC ? ? ? BC ? PC ? ? PBC 是直角三角形 ? 平面 PAC ?

AC ? BC

故共有四个直角三角形 故共有四个直角三角形

练习题
1 .已知 : a ? ? = CD, EA ? a , EB ? ? . 求证 : CD ? AB .
E A
a

D

B
?

C

探究:
2.过?ABC 所在平面a外一点P, 作PO ? a , 垂足 为O, 连接PA, PB, PC. 1).若PA ? PB ? PC , ?C ? 90 , 则O是AB边的 __ 点. 2).若PA ? PB ? PC , 则O是?ABC 的 _____ 心. 3).若PA ? PB, PB ? PC , PC ? PA, 则O是?ABC 的 _____ 心.
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