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双曲线及其标准方程教学设计

时间:2017-11-18


双曲线及其标准方程
一、学习目标:
【知识与技能】: 1、通过教学,使学生熟记双曲线的定义及其标准方程,并理解这一定义及其标准方程的 探索推导过程. 2、理解并熟记双曲线的焦点位置与两类标准方程之间的对应关系. 【过程与方法】: 通过“实验观察”、“思考探究”与“合作交流”等一系列数学活动,培养学生观察、 类比、 分析、 概括的能力以及逻辑思维的能力,使学生学会数学思考与推理,学会反思与感悟, 形成良好的数学观. 【情感、态度与价值观】: 通过实例的引入和剖析,让学生再一次感受到数学来源于实践又反作用于实践;生活 中处处有数学.

二、学情分析:
1、在学生已学习椭圆的定义及其标准方程和掌握“曲线的方程”与“方程的曲线”的 概念之后,学习双曲线定义及其标准方程,符合学生的认知规律,学生有能力学好本节内容; 2、 由于学生数学运算能力不强,分析问题、 解决问题的能力,逻辑推理能力,思维能力都 比较弱,所以在设计的时候往往要多作铺垫,扫清他们学习上的障碍,保护他们学习的积极性, 增强学习的主动性.

三、重点难点 :
教学重点:双曲线的定义、标准方程 教学难点:双曲线定义中关于绝对值,2a<2c 的理解

三、教学过程:
【导入】

1、 以平面截圆锥为模型,让学生认识双曲线,认识圆锥曲线; 2、 观察生活中的双曲线;
【设计意图:让学生对圆锥曲线整体有所把握,体会数学来源于生活.】 探究一 活动 1:类比椭圆的学习,思考: 研究双曲线,应该研究什么? 怎么研究? 从而掌握本节课的主线:实验、双曲线的定义、建系、求双曲线的标准方程; 活动二:数学实验:

(1)取一条拉链,拉开它的一部分, (2)在拉链拉开的两边上各取一点,分别固定在 点 F1,F2 上, (3)把笔尖放在拉头点 M 处,随着拉链逐渐拉开或者闭拢,笔尖所经过的点

就画出一条曲线。 (4)若拉链上被固定的两点互换,则出现什么情况?
学生活动:六人一组,进行实验,展示实验成果: 【设计意图:学生亲手操作,加深对双曲线的了解,培养小组合作精神.】

学生实验可能出现的情况: 画出双曲线的居多, 但还是有画出中垂线, 或者两条射线的可能, 学生展示, 小组同学解释, 为什么会出现这种情况? 【设计意图:让学生在“实验”、“思考”等活动中,自己发现问题、提出问题】 活动三:几何画板演示,得到双曲线的定义: 老师演示,学生思考:

引导学生结合实验分析,得出双曲线上的点满足的条件,给出双曲线的定义
双曲线: 平面内到两定点的距离的距离的差的绝对值等于定长 2a(小于两定点 F1F2 的距离)的 点的轨迹叫做双曲线。 两定点 F1F2 叫做双曲线的焦点 两点间 F1F2 的距离叫做焦距 在双曲线定义中,请同学们思考下面问题: 1:联想到椭圆的定义,你是否感到双曲线中的常数 2a 也需要某种限制?为什么? 2:若 2a=2c,则 M 点的轨迹又会是什么呢?又 2a>2c 呢? 强调:2a 大于|F1F2|时轨迹不存在 2a 等于|F1F2|时,时两条射线。 所以,轨迹为双曲线,必需限制 2a<2c,且 2a≠0.学生第一次修改定义.(2a<2c,非零常数) 【设计意图:,让学生体会双曲线上的点的运动规律,积累感性经验,通过实践思考,为进一步 上升到理论做准备.】 探究二 活动四:探究双曲线标准方程: 1、类比:类比椭圆标准方程的建立过程(用屏幕显示图形),让学生认真捉摸坐标系的位置特 点(力求使其方程形式最简单). 2、合作:师生合作共同推导双曲线的标准方程.(学生推导,然后教师归纳) 按下列四步骤进行:建系、设点、列式、化简从而得出了双曲线的标准方程. 双曲线标准方程:焦点在 x 轴上 (a>0,b>0) 3、 探究:在建立椭圆的标准方程时,选取不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程.那么 双曲线的标准方程还有哪些形式? 2 2 2 在 y 轴上 (a>0,b>0) 其中:c =a +b 活动五:归纳、总结

活动六:典例分析 例 1:已知双曲线的两个焦点分别为 F1(-5,0),F2(5,0),双曲线上的点 P 到 F1 、F2 距离差 的绝对值等于 6,求双曲线标准方程. 变式(1):已知双曲线的两个焦点分别为 F1(-5,0),F2(5,0),双曲线上的点 P 到 F1 、 F2 距离 差等于 6,求双曲线标准方程. 变式(2) :若两定点为|F1F2|=10 则轨迹方程如何? 感悟: ①求给定双曲线的标准方程的基本方法是:待定系数法. (若焦点不定,则要注意分类讨论的 思想.) 【设计意图:教学过程是师生互相交流、 共同参与的过程.数学通过交流,才能得以深入发展, 数学思想才能变得更加清晰】 活动七:小结 1.本节课学习的主要知识是什么? 2.本节课涉及到了哪些数学思想方法? 课后作业: 必做题: 课本 55 页练习 2,3 选做题: 课本 61 页习题 A 组 2


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