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第40届俄罗斯数学奥林匹克

时间:2015-03-22


3 8

中 等 数 学



届 俄 罗 斯 数 学 奥林 匹克 十




年级



中图 分类号

文 献标 识 码



文章编号





是 否存在 正 实 数

使得 不 等 式



证 明 无论 开 始时 牌是 如 何 分 布 的 两人 均


可 商量 好

个 对策 使 得 经 过 有 限 步 后 总 有






恒 成立



失 去 自 己 所有的 牌


别 佳和 瓦 萨 在



的 方格 棋盘 上 玩


游戏 开始 时 除 了




个 角 上 的格 为 黑 色 以 外 所


咏 每 冬 合 巧

有的格均 为 白 色 在黑 格 中 有


个 车






别佳



不 存在

开 始 两 人 轮 流将 车 沿 水 平 或 垂 直 方 向 移 动 若 干

格 车 经 过 和 到达 的 格 立 即 变 为 黑 色 车 不 能 经 过


时 不等式对




了 士 不 叙





和 到 达 黑格 当 某 人无 法 按 规 则 移 动 车 时 此 人 失


时 令




则 原不 等 式 变 为

败 游戏 结 束 问 谁有 必 胜 策 略




有理数
的 最小 周 期 均 为



的 十 进 制 展 开 均 是 最小 周 期 为


的 循 环 小数 已 知



十进制 展开 小数

转 化为前面 的 情 形
从而 不 存 在 正 实 数


求 正整 数


的最 小 可 能值

同 十年 级 第

别 佳 有 必 胜策 略
的任 意正 因数

若对 于 正 整 数


均有

别 佳的 策 略 每 步 操 作 均 将 车 沿 垂 直 方 向 移


则称

为 好数
的顶点







求所有好数


动 到 尽 可 能 远 的 方格 下 面 说明 这


过 四 面体


的球 厂 与棱


策 略可 使 其 获 胜
白 格组 成


分别交 于点 七
的 外接 球 厂 的 交






与 四面体


若某 时 刻 车 所 在 位 置 与 它 位 于 由
的同







个 圆 位于 设毛 足


个 平行

个连 通 区 域 里 则 称 该 时 刻 的


白格为



于底 点七


的平 面上 记 为




分别 为

达 的



关于
、 、





中 点 的 对称 点 证

容 易 看 出 每 当 别 佳 操 作 完 时 可 达 方 格组 成
, ,

明 人

六 点 共球

不 多 于两 个 的 矩 形 其 中 每 个 矩 形 的 行数 大 于 列


初 始 时 刻 黑 板 上 写 有 两 个 多 项式

数 车位 于第




行 或 最后



行 且 与 每 个可 达 方 格


组 成 的 矩 形 的某 个 角 水 平 相 邻 接 下 来 无 论 瓦 萨

若 黑 板 上 有 多 项式
上写上
±



幻 则 可 在黑板


如 何操 作 只 能 沿 水 平 方 向






别佳均 可 以继 续

操作
注意到












同时乘 以





经 过有 限 次 操 作 后 黑 板 上 能 否 出 现 多 项 式

的 幂 可 使 其 小 数部 分 同 时 变 为 纯 循 环 小 数 因

为 某 个 正 整数
两 人玩纸 牌 游 戏




此 假 设 其 均 为 纯循 环 小 数





共有


张 纸牌 其 中 任



因为



个 有理 数 的 小数 部分 是周 期 为
、 上 、



意两 张 之 间 均 定 义 了 大 小 关 系 这 种 关 系 不


定有传递性


補 时 将 肺 牌任 意分 細 擦 每 人 摞 每 轮 两 人各 自 翻 开 自 己 最 上 面 的 张 较 大 牌 方 吃掉 较 小 方 的 牌并将 这 两 张 牌 放 到
, ,


纯 循 环小 数 当 且 仅 当 其 可 与 成



上 廿



的 形式 所以 设








己 那摞 牌的最下 面

这 两 张 牌 的 顺序

由 自 己



2 0

1

4

年第
由 由






均是 酬

因此





不能 为
的 循 环 小 数 相减 得

对 于 多项 式






设存 在


满足



±









是周 期 为

的 循 环 小数 故




由于

不为


的 倍数



否则



的 周期

注意到 多项式 ? 处 的导数均为







长度为

故 不为



的 某个 素 因 数 的

倍数



于 是 黑 板 上 出 现 的 任 意 多 项 式在


处的





的 倍数 从 而




导 数为
旦当








接下来 给 出 取




的 例子

从而





不可能出 现 张 牌 分 为 分 别 属 于 两人 的 两 摞 每



设将
注意 到










的 最小周 期
的 最小周 期

摞 中 牌 从上 到 下 为 有 序 排 列 其 中


摞 可 以为空




集 共有


种 方法





接 下来 造



若 经过
顶点
为 好数
因为




个顶点 的 有 向 图 次操 作 从 状 态 可 以 变 到 则从


个具有







有有 向 边 定义其 中




摞 牌为 空 集 的

状态 纏 麵 点 为


觀点 其 巾


蘭 中只有

张 的 状态对 应 的 顶 点 为

类 顶 点 其他 顶 点 为 类 顶点 类顶







所以







类顶 点
每个
出 度为


类和 每个

类 的顶点 的 出 度为



类 的 顶点 的 人 度 为

若有 奇 合数

为 好 数 不 妨设






点 的 人度 为


中含

为 初 始状 态 从
, ,

出 发 的 所 有 有 向 边上

的 顶点 集 合记 为

于是 原 问题 等价 于集 合
中无

类顶 点 若 集 合

类 顶 点 考 虑集


力《




音数



合 故
矛盾

中 所 有 顶 点形 成 的 子 图


则图

中 每 个顶


点的出度为

每 个 顶 点 的 人度 不 大 于 类顶 点
摞 牌有

于出

只 需 证明

度 之 和 应该 等 于 入 度 之 和 因 此 所 有 顶 点 的 人 度




均等于

即 每个顶 点 均 为









应 的状 态 中 第




张 从顶 点

发 出 的有 向 边 以 设 为 球 尸 的 球心 与 四 面 体
的 球心 的 连 线
因 为平 面


为 终点 则

状态 下第
张的那


外接球 厂



摞 牌分别 有

张 记其 中

个顶点 为 、 平面



所以



类 似地 可 找 到 顶 点




使得 顶 点
摞牌有







丄平面
于是 直 线
的外 心 的 距离 相 同


有 向 边 状态


对应 的 第








如 此 下 去得 到

使 得 状态


对 应 的第





从而 球


的 球心 到 点
厂 的 幂相 等

牌只 有



张 即 集合


类顶 点


矛盾 提供


即 人召



关 于球

李伟 固


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