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椭圆的定义域标准方程

时间:2014-06-19


椭圆及其标准方程(第1课时)

贵州省遵义市习水县第一中学

袁嗣林

【教学及培养目标】

双基:理解椭圆的定义,明确焦点、焦距的概念,掌握椭圆的标准方程的推导及椭圆 的标准方程;进一步学习类比、数形结合的数学思想方法,理解坐标法及其应用.

能力:通过让学生积极参与,亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程,体验坐标法 在处理几何问题中的优越性;在探索椭圆标准方程过程中,培养分析和概括能力.

【教材处理的建议】

重点:椭圆的定义和椭圆的标准方程.

难点:椭圆标准方程的推导与化简.

【教学技巧与辅助手段】

运用多媒体(ppt)和实物投影仪等辅助教学.

【教学探究过程】

一、创设问题情景、引出概念

首先用多媒体演示“神舟六号”飞船绕地球旋转运行的画面,并描绘出运行轨迹图.

探究一 “神舟七号”飞船绕地球旋转的轨迹是什么图形?(椭圆)

此外老师可以指出,在生活中,除椭圆外,还有抛物线、双曲线等例子.

再运用多媒体演示一个平面截圆锥的各种情形, 向学生介绍“圆锥曲线”这个名称的来 历.

教师指出:椭圆在实际生活中是很常见的,学习椭圆的有关知识也是十分必要的.

(说明:本环节由实际例子引入,让学生形成椭圆的感性认识,感受数学的应用价值,明 白生活实践中有许多数学问题, 数学来源于实践, 同时培养学生学会用数学的眼光去观察周 围事物的能力. )

二、引导学生探究尝试、归纳提炼形成概念

引导: 曲线可以看作适合某种条件的点的集合或轨迹, 那么椭圆是满足什么条件的点的 轨迹呢?要想知道椭圆是满足什么条件的点的轨迹,首先要知道椭圆的几何特征.

学生实验:按课本上介绍的方法,学生用一块纸板,两个图钉,一根无弹性的细绳尝试 画椭圆.

让学生自己动手画图,同桌相互切磋,探讨研究. (提醒学生:作图过程中要注意观察 椭圆的几何特征,即椭圆上的点要满足怎样的几何条件?)

(说明:按学生的认识规律与心理特征,设置一系列递进的问题,让学生动手实践,在实 验中引导学生自己观察椭圆上的点满足的几何条件,从而认识椭圆概念. )

启发、归纳出椭圆的定义:

平面内与两个定点 F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆, 这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距

引导学生找定义的关键处:

①平面曲线;

②任意一点到两个定点的距离的和等于常数;

③常数大于|F1F2|.

(说明:实验中发现椭圆的几何特征,可以挖掘出椭圆定义的内涵,使得学生对椭圆的 定义留下深刻印象. )

三、椭圆标准方程的推导

由老师带学生回忆圆的方程的建立过程,归纳求曲线方程的一般步骤:建系 列出方程 化简方程.建系一般应遵循简单、优化的原则.

设点

(说明:温故而知新,类比圆的方程的建立过程,归纳出求曲线方程的一般步骤,为下 一步学习做好铺垫. )

探究二 怎样建立坐标系,才能使求出的椭圆方程最为简单?

(说明:正确选取坐标系是建立曲线方程的关键之一,结合建立坐标系的一般原则── 利用曲线的几何特征,特别是对称性,可以使曲线方程简单化.可以从“对称美”、“简洁 美”等角度作一定的点拨,最后让学生选择合理的坐标系. )

经学生讨论易得如下方案:

1.建系.取过焦点

的直线为 轴,线段

的垂直平分线为

轴,建立坐标系.

2.设点.设

为椭圆上的任意一点,椭圆的焦距是 距离之和等于 ( ).



).则

.又设 M 与

3.列式.依据椭圆的定义,有









教师启发:这个方程形式复杂,应该化简.化简的目的是去掉根式,可两边平方.但这 里有两个根式,如何平方更简捷?

引导学生得出:应该用移项平方,再移项再平方的方法.

(说明:在解决解析几何问题中,熟练运用代数变形技巧是十分重要的,学生常因运算能 力不强而功亏一篑.在此应抓住机会加强运算技能的训练. )

4.化简.通过移项, 两次平方后得到:



两边同除以

,得

. (※)

由椭圆的定义可知,

,即



思考:观察上图,能从中找出表示 .令

的线段吗?由图可知, ,那么(※)

就是

. (



此即为椭圆的标准方程.它所表示椭圆的焦点在 轴上,焦点是 坐标原点的椭圆方程.

,中心在

探究三:如果椭圆的焦点 F1,F2在 y 轴上,线段 F1F2的垂直平分线为 x 轴,a,b,c 意义同上,椭圆的方程形式又如何?

学生讨论、 交流, 合情猜想可得, 焦点变成

,只要将方程

中的 方程.

调换,即可得



) ,它所表示的是焦点在

轴上的椭圆标准

要求学生课后推导验证.

(说明:发挥学生的直觉思维,类比得到焦点在

轴上的椭圆的标准方程. )

引导学生注意理解以下几点:

① 在椭圆的两种标准方程中,都有

的要求;

② 在椭圆的两种标准方程中, 由于 一个坐标轴上;

, 所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪

③ 椭圆的三个参数 大小不确定.

之间的关系是

,其中

四、研究例题、形成技能

例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是 F1(0,-4),F2(0,4) ,椭圆上一点 P 到两焦点的 距离之和等于10,求它的标准方程.

(先让学生分析解题思路. 强调从定义、 标准方程等基础知识出发考虑问题的重要性. )

解:因为椭圆的焦点在

轴上,所以设它的标准方程为



因为2a=10,2c=8,所以 a=5,b=4.

所以,b2=a2-c2=52-42=9.

所以所求椭圆标准方程为



例2 已知椭圆的两个焦点坐标分别是 F1(-2,0)和 F2(2, 0) ,过点 P0( 求它的标准方程.

,

) ,

(先让学生分析解题思路.除了强调从定义、标准方程等基础知识出发考虑问题的重 要性外,还要注意引导学生分析本例与例1的不同点. )

解:因为椭圆的焦点在 轴上,所以设它的标准方程为

由椭圆的定义知,





所以,

.又



所以,



所以所求标准方程为



另法:因为



所以可设所求方程 椭圆方程.

.将点 P0(

,

)的坐标代入可求出 ,从而求出

(说明:由两个例题可以总结椭圆方程有两种求法:其一由定义求出 与 ,根据条件

写出方程;其二是由 a,b,c 的关系和椭圆标准方程,由点在椭圆上的条件,用待定系数的 办法得出方程.可以达到渗透求轨迹的常用方法的目的.另外要注意求方程的基本步骤. )

五、课堂形成性练习,即时反馈

1.写出适合下列条件的椭圆的标准方程:

(1)a=4,b=3,焦点在 x 轴;

(2)a=5,c=2,焦点在 y 轴上.

2.椭圆 周长为.

的焦距是,焦点坐标为;若 CD 为过左焦点

的弦,则



六、知识整理,形成系统(由学生归纳)

1.椭圆的定义(注意几何特征和三个条件) .

2.推导椭圆的标准方程(注意焦点的位置与方程形式的关系,直接法求轨迹方程) .

3.求椭圆方程的方法(待定系数法求轨迹方程) .

七、布置作业,巩固提高

1.课本 P40.1-3.

2. 小组合作自编题 (总题数4个, 可以填空、 选择或解答题. 要求说明编题的基本思路) .

3.探索题:上网查询有关椭圆的几何作法,对不同的作法作比较,并研究交流其作法 根据.


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