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世纪金榜2016最新版数学文科 课时提升作业(十五) 3.1

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圆学子梦想 铸金字品牌

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课时提升作业(十五)
任意角和弧度制及任意角的三角函数 (25 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 35 分) 1.下列说法中,正确的是( A.小于 的角是锐角 B.第一象限的角不可能是负角 C.终边相同的两个角的差是 360°的整数倍 D.若α 是第一象限角,则 2α 是第二象限角 【解析】选 C.锐角的范围是(0,
? ? ),小于 的角还有 0 角和负角,它们都不是锐 2 2 ? 2

50 分)

)

角,所以 A 不正确;-300°角的终边就落在第一象限,所以 B 不正确;与角α终边 相同的角都可以写成α+k〃360°(k∈Z)的形式,其差显然是 360°的整数倍,所 以 C 正确;若α是第一象限的角,则 k〃360°<α<k〃360°+90°,所以 2k〃 360°<2α<2k〃360°+180°(k∈Z),所以 2α是第一象限或第二象限或终边在 y 轴非负半轴上的角,所以 D 不正确. 【误区警示】本题易因角的范围与象限角的概念不清而致误.锐角、小于 的角 是从范围而言的,而象限角是从终边的位置来说的 ,它们的概念不同 ,应对其正 确区分,否则极易出错. 2.已知角α 的终边落在 y 轴上,则下列说法正确的是(
-1-

? 2

)

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A.α =90°+k·360°,k∈Z C.sinα =1

B.α =90°+k·270°,k∈Z D.cosα =0

【解析】选 D.终边落在 y 轴上的角α可表示为α=90°+k〃180°,k∈Z,故 A,B 不正确;当α的终边落在 y 轴的正半轴上时,sinα=1,cosα=0,当α的终边落在 y 轴的负半轴上时,sinα=-1,cosα=0,故 C 不正确,D 正确. 3.在半径为 4 的圆中,150°的圆心角所对的弧长为( A.6 B.600 C. π
5 6

)

D.

10 π 3

【解析】选 D.150°的弧度数是

? 5 5 10 〓150= π,弧长 l=4〓 π= π. 180 6 6 3

4.(2015·成都模拟)若α 为第二象限角,则 A.0 B.2 C.-2

+

的值是 (

)

D.不存在 =1,tan α <0, =-1, 所以

【解析】选 A. α为第二象限角 , 则 sin α >0, + =0.

5.若点 P(sinθ cosθ ,cosθ )位于第二象限,则角θ 所在的象限是( A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限

)

【解题提示】根据三角函数值的符号判断角θ所在的象限. 【解析】选 D.由题意,得 ?
?sin?cos? ? 0, ?cos? ? 0,

所以 sinθ<0,cosθ>0,故θ是第四象限的角. 6.(2015·汉中模拟)已知角α 的终边经过点(3a-9,a+2),且 cosα ≤0,sinα >0, 则实数 a 的取值范围是( A.(-2,3] C.[-2,3) ) B.(-2,3) D.[-2,3]
-2-

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【解析】选 A.由 cosα≤0,sinα>0 可知,角α的终边落在第二象限内或 y 轴的 非负半轴上,所以有 ?
?3a ? 9 ? 0, 即-2<a≤3. ?a ? 2 ? 0,

即 a 的取值范围为-2<a≤3. 7.若角α 的终边在直线 y=-x 上,则角α 的取值集合为( A.{α |α =k·360°-45°,k∈Z} B.{α |α =k·2π + π ,k∈Z} C.{α |α =k·180°+ π ,k∈Z} D.{α |α =k·π - ,k∈Z} 【解析】选 D.角α的取值集合为 {α|α=2nπ+ π,n∈Z}∪{α|α=2nπ- ,n∈Z} ={α|α=(2n+1)π- ,n∈Z}∪ {α|α=2nπ- ,n∈Z}={α|α =kπ - ,k∈ Z}, 故选 D. 【误区警示】解答本题易误选 C.出错的原因是忽视了角度数与弧度数是不同的 单位,不能加减. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 8.-300°角的弧度数是 .
? 5 =- π. 180 3 ? 4 ? 4 ? 4 3 4 ? 4 ? 4 3 4 3 4

)

【解析】-300°角的弧度数是-300〓 答案:- π
5 3

9.(2015·大连模拟)点 P 是始边与 x 轴的正半轴重合,顶点在原点的角θ 的终边 上的一点,若|OP|=2,θ =60°,则点 P 的坐标是
y 2

.
x 2

【解析】设 P(x,y),由三角函数的定义,得 sin 60°= ,cos 60°= ,所以 x= 2cos 60°=1,y=2sin 60°= 3 ,故点 P 的坐标为(1,
-3-

3 ).

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答案:(1, 3 ) 10.已知角α 的终边经过点(1,-1),始边与 x 轴的正半轴重合,顶点在坐标原点, 则角α 的取值集合为 .

【解题提示】先由角α的终边经过点(1,-1)在[0,2π)或(-2π,0]内确定一个角, 再加上 2kπ(k∈Z). 【解析】 如图,由图易知,在[0,2π)内,α= π,所以角α 的取值集合为{α|α= π+2kπ,k∈Z}. 答案:{α|α= π+2kπ,k∈Z} 【一题多解】你还知道本题的其他解法吗?本题还可进行 如下解答:由图易知,在[-2π,0)内,α=- ,所以角α的 取值集合还可表示为{α|α=- +2kπ,k∈Z}. 答案: {α|α=- +2kπ,k∈Z}
? 4 ? 4 ? 4 7 4 7 4 7 4

(20 分钟 1.(5 分)(2015·龙岩模拟)下列各选项中正确的是( A.sin 300°>0 C.tan ( ?
22 ?) >0 3

40 分) )

B.cos(-305°)<0 D.sin 10<0

【解析】选 D.300°=360°-60°,则 300°是第四象限角;-305°=-360°+55°, 则-305°是第一象限角;因为7 2 22 2 22 π=-8π+ π,所以- π是第二象限角;因为 3 3 3

3π<10< π,所以 10 是第三象限角.故 sin 300°<0,cos(-305°)>0, tan ( ?
22 ?) <0,sin 10<0,选 D. 3

2.(5 分)圆弧长度等于圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为 ( A. B. C.3
-4-

)

D.

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【解析】 选 D.设圆半径为 R,则其内接正三角形的边长为 数为 = .

R,于是圆心角的弧度

3.(5 分 )(2015 ·铜陵模拟 ) 已知 α =-2 015 ° , 则与角 α 终边相同的最小正角 为 ,最大负角为 .

【解题提示】写出与α终边相同的角的集合,确定最小正角和最大负角. 【解析】α可以写成 -6 〓 360 ° +145 °的形式 , 则与α终边相同的角可以写成 k〃360°+145°(k∈Z)的形式.当 k=0 时,可得与角α终边相同的最小正角为 145°,当 k=-1 时,可得最大负角为-215°. 答案:145° -215°

4.(12 分)角α 的终边上的点 P 与 A(a,b)关于 x 轴对称(a≠0,b≠0),角β 的终边 上的点 Q 与 A 关于直线 y=x 对称,求
sin? tan? 1 ? ? 的值. cos? tan? cos?sin?

【解析】由题意得 P(a,-b),Q(b,a),所以 sinα= = ? ,sinβ= cosβ= 所以
b a ?b
2 2

?b a 2 ? b2

,cosα=

a a 2 ? b2

,tanα

b a

a a 2 ? b2

,
a b

,tanβ= ,

sin? tan? 1 b2 a 2 ? b2 ? ? ? ?1 ? 2 ? ? 0. cos? tan? cos?sin? a a2
3 x.求 sinα 6

【加固训练】已知角α 终边经过点 P(x,- 2 )(x≠0),且 cosα = +
1 的值. tan ?

【解析】 因为 P(x,-

2 )(x≠0),所以点 P 到原点的距离 r= x 2 ? 2 ,又 cosα=

3 x, 6

-5-

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所以 cosα=

x x2 ? 2

?

3 x. 6

因为 x≠0,所以 x=〒 10 ,所以 r= 2 3 . 当 x= 10 时,P 点坐标为( 10 ,- 2 ), 由三角函数的定义,有 sinα= ? 所以 sinα+
6 1 , ? ? 5, 6 tan?

1 6 6 5? 6 ?? ? 5?? ; tan? 6 6 1 6 5? 6 ? . tan? 6

当 x=- 10 时,同理可求得 sinα+

5.(13 分)(能力挑战题)如图所示,动点 P,Q 从点 A(4,0) 出发沿圆周运动,点 P 按逆时针方向每秒钟转 弧度, 点 Q 按顺时针方向每秒钟转 弧度,求 P,Q 第一次相遇 时所用的时间、相遇点的坐标及 P,Q 点各自走过的弧 长. 【解析】设 P,Q 第一次相遇时所用的时间是 t, 则 t〃 +t〃|- |=2π.所以 t=4(秒),即第一次相遇的时间为 4 秒.设第一次相 遇 点 为 C, 第 一 次 相 遇 时 P 点 已 运 动 到 终 边 在
? 3 4 16 P 点走过的弧长为 ? 4 ? ?, 3 3 2 8 Q 点走过的弧长为 ? 4 ? ?. 3 3 ? 3 ? 4? 〃 4= 的位置,则 3 3 ? 3 ? 6 ? 6 ? 3

xC=-cos 〃4=-2,yC=-sin 〃4=- 2 3 .所以 C 点的坐标为(-2,- 2 3 ).

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-6-


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