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河北石家庄2019高中毕业班教学练习质量检测(一)-数学理(扫描版)

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河北石家庄 2019 高中毕业班教学练习质量检测(一)-数学理(扫

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2018 年石家庄市高三毕业班质量检测(一)

数学〔理科答案〕

【一】选择题:共 12 小题,每题 5 分,共 60 分. 1-5ABABC6-10DBCCB11-12DC 【二】填空题:本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分.

13.1514.315. (??, ?1] [8, ??) 16. 4n 2 ?
33
【三】解答题:
17.解:〔Ⅰ〕设等差数列?an?的公差为 d 、

由 a3 ? 2a7 , S4 ? 17 ,

得 ??a1 ? 2d ? 2(a1 ? 6d ) ,………………2 分

? ??4a1

?

4?3 2

d

? 17

解得 ??a1 ?

?

5 1


? an

?

?n 2

? 11 2

、……………5



??d ? ? 2

(Ⅱ)法一:

Sn

?

5n

?

n(n ?1) 2

? ??

?

1 2

? ??

?

?

1 4

? ??

n

?

21

2
?

2 ??

?

……………8
441. 16



?当 n 取10或11时, Sn 取最大值 27 1 、……………10 分 2

法二: 数列?an?的 a1 ? 0, 公差 d ? 0 ,

? 此等差数列 ?an ?是首项为正数的递减数列、

当n

? 11 时, an

?

11? n 2

?

0



因此当1 ? n ? 11且n ? N ? 时,有 an ? 0;

当 n ? 12且n ? N ? 时,有 an ? 0 、………………8 分 综上:当 n 取 10 或 11 时, S11 ? S10 ? 27 1 、
2

因此 Sn 取最大值 27 1 、………10 分 2

18.解:依题意, CD ? l , ?ACD ? 450 ,

在 ?ACD 中, ?CAD ? 1800 ? ?ACD ? ?ADC ? 600 ,

依照正弦定理 AD sin 45?

?

CD sin 60?

,∴ AD ? CD sin 45 sin 60

?

6 l ,……….4分 3

在 ?BCD 中, ?CBD ? 1800 ? ?BCD ? ?BDC ? 1350 , ?BCD ? 300

依照正弦定理BD= CD sin 30? ? 2 CD , BD ? CD sin 30 ? 2 l …………………….8

sin135? 2

sin135 2



又在 ?ABD 中, ?ADB ? ?ADC ? ?BDC ? 900

依照勾股定理有

AB ?

AD2 ? BD2 ?

2 ? 1CD =

42 …………………………10分 l

32

6

实际所需电线长度约为

1.2 AB ? 42 l ………………………….12 分 5
19.解:〔Ⅰ〕以 A 为原点,建立如下图的空间直角坐标系.

设 PA ? x ,





P( 0 , x 0 ?D, ) , ( E2 1 , 0 ?, C0 ) , 2
……………2 分
又 EF ? (? 1 , 0, x ), PD ? (?1, 0, ?x) 22

1?( 0F x,2 22

, 0), 2

( 1,

2, 0),

1

x2



EF ? PD ? ? 0 ? ? 0

2

2

因此 x ? 1 ,

当 PA 的长度为 1 时,EF⊥PD.………………5 分

〔Ⅱ〕法一:在 Rt ?PBC 中作 BN ? PC,?
BN?

3 ,CN ? 1 .

2

2

?CF=1?N 为 CF 中点。 ? 取CD中点M,连结MN MN//DF。

又?DF ? PC,?MN ? PC? ?MNB 为二面角 B-PC-D的平面角、…………9 分

在 ?MNB 中 BM ?

6 , MN ? 1 , BN ?

3,

2

2

2

?cos ?MNB =
?

3

3

?二面角 B-PC-D的余弦值为
?

3 .…………12 分

3

法二:如图建立空间直角坐标系 A-xyz,

那么 B〔 0, 2,0 〕P〔 0,0,1〕C〔 ?1, 2,0 〕D( ?1,0,0 )

那么 PB ? (0, 2,?1) , PC ? (?1, 2,?1) , PD ? (?1,0,?1)

设平面 PBC 的法向量 n1 ? (x, y, z)

? n1 ? PB ? 0 , n1 ? PC ? 0

? 2 y ? z ? 0,?x ? 2 y ? z ? 0 ,令 y ? 1,那么 n1 ? (0,1, 2) ,……………8 分

同理可得平面 PCD 的一个法向量 n2 ? (1, 0, ?1) ,………………10 分

那么二面角 B-PC-D的余弦值 cos

n1, n2

=
?

3 ,……………12 分

3

20.解:〔Ⅰ〕由甲射击数据表可知,总共射击 400 次,其中射击 7 环的频数为 40 次,8 环频数为 80 次,9 环频数为 120 次,10 环的频数为 160 次.



P?

X1

?

7?

?

40 400

?

0.1

P

?

X1

?

8?

?

80 400

?

0.2

P?

X1

?

9?

?

120 400

?

0.3

P?

X1

? 10?

?

160 400

?

0.4

因此,甲射击环数 X1 的分布列为

同理可计算

X1 7 8 9 10

乙射击环数 X 2 的分布列

X 2 7 8 9 10
0. 0. 0. 0.

…………………………………

PP

0. 1
2

0. 2
1

0. 3
2

0. 4
5

4



E ? X1 ? ? 9, D ? X1 ? ? 1; E ? X 2 ? ? 9, D ? X 2 ? ? 1.4
…………………………………………………………6 分 甲乙两人射击环数均值相等,甲射击环数方差比乙射击环数方差小,因此甲乙射击的平均 水平没有差别,但甲发挥比乙稳定.………………8 分

〔Ⅱ〕甲在一次射击成绩优秀的概率 P ? 0.3 ? 0.4 ? 0.7

甲在 3 次目标射击中至少有 2 次成绩优秀的概率为:
C32 ? 0.72 ? 0.3 ? C33 ? 0.73 ? 0.784…………………………12 分

21.解:〔Ⅰ〕由椭圆方程 x2 a2

?

y2 b2


? 1(a ? b ? 0)

M、N

的坐标为

y
AN
P

M (a, 0) , N (0,b) , 那 么 MN ? (?a, b) , 又 由 ?x ? ?c

,得

?

? x2 ?? a2

?

y2 b2

?1

P(?c, b2 ) a

F1 A1

R

E

M

x

B

由 MN ? ?OP(? ? 0) 得 b ? c ……………….2 分

椭圆的离心率为 2 .…………….4 分 2

〔 Ⅱ 〕 设 A( x1, y1), B( x2, y2 ) , 由 kA1R ? k BR 得 ? y1 ? y2

,又

x1 ? 5 x2 ? 5



k AE

? kBE得

? y1

2c 5

?

x1

?

? y2

2c 5

?

x2

那么
5?

x2

?

? y2

?

x2

?

2c 5

,因此 20c ? 2

5x1x2 ? (2c ? 5

5)( x1 ? x2 ) 、…………8 分

5 ? x1

y1

2c 5

?

x1

设直线

AB

:

y

?

k(x

?

2c 5

)

,那么由

? ? ? ??

x2 ? 2 y2 ? 2c2 y ? k(x ? 2c )
5



(1 ? 2k 2 )x2

? 8k 2c

x?

(8k 2

? 10)c2

?


0

5

5

x1 ? x2 ?

8k 2c 5(1 ? 2k 2 )



x1x2

?

(8k 2 ? 10)c2 5(1 ? 2k 2 )

、…………10



代入得
2?

(8k 2

? 10)c2

?

20c

?

(2c

?

5

5) ?

8k 2c

、解得 c ? 5

5(1 ? 2k 2 )

5(1 ? 2k 2 )

因此椭圆方程为 x2 y2 、…………12 分 ? ?1
10 5

22、解:〔Ⅰ〕函数

f

(x)

定义域为 (0, ??) ,

f

'( x)

?

?

x?a x2



f '(1) ? 0 ,即 a ? ?1 、…………2 分

经检验, a ? ?1 符合题意.………………….4 分

〔Ⅱ〕设
g(x) ?

f

(x) ? 3x ? 5 ?

a

,那么当 x ? ln x ? 3x ? 5

? 0 时, g(x) ? 0 恒成立、

x

g(1) ? a ? 2 ? 0 ,因此 a ? 2 、…………6 分

g

'( x)

?

3x2

?x x2

?

a

、方程

g

'( x)

?

0

有一负根

x1

和一正根

x2

.

x1

?

0

?

x2

、其中

x1

不在函

数定义域内、

g(x) 在 (0, x2 ) 上是减函数,在 (x2 , ??) 上是增函数、即 g(x) 在定义域上的最小值为

g(x2 ) 、………8 分

依题意

g(x2 ) ? 0

、即

g(x2 ) ?

a x2

? ln x2

? 3x2 ? 5 ? 0

、又

3x22 ? x2 ? a ? 0

,因此

a x2

,因为
? 3x2 ?1

a x2

?0



x2

?1 3

。因此

g(x2 ) ? 3x2 ?1? ln x2 ? 3x2 ? 5 ? 0

,即

6x2 ? 6 ? ln x2 ? 0 ,…………10 分

令 h(x) ? 6x ? 6 ? ln x ,那么 h'(x) ? 6x ?1 x
当 x ? (1 , ??) 时,h' (x) ? 0 ,因此 h(x) 是增函数。因此 6x2 ? 6 ? ln x2 ? 0 的解集为[1,??) 3
因此 a ? 3x22 ? x2 ? 2 、 即 a 的取值范围是[2, ??) 、…………12 分 解法二: f (x) ? 5 ? 3x ,即 a ? x ln x ? 3x2 ? 5x 设 g(x) ? x ln x ? 3x2 ? 5x ,那么, g ' (x) ? ln x ? 6x ? 6 设 h(x) ? g ' (x) ,那么 h' (x) ? 1? 6x , h(1) ? g ' (1) ? 0
x 当 x ? (1,??) 时, h' (x) ? 0 , h(x) ? g ' (x) 是减函数 ?h(x) ? 0 ,即 g(x) 是减函数, g(x) ? g(1) ? 2 .……………8 分 当 x ? (0,1) 时,先证 ln x ? x ?1, 设 F (x) ? ln x ? (x ?1) , F ' (x) ? 1? x ? 0 ,
x F (x) 是增函数且 F (1) ? 0 , F (x) ? 0 ,即 ln x ? x ?1, 当 x ? (0,1) 时, g(x) ? x ln x ? 3x2 ? 5x ? x(x ?1) ? 3x2 ? 5x ? ?2(x ?1)2 ? 2 ? 2 g(x) 的最大值为 2, 即 a 的取值范围是[2, ??) 、………………12 分


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