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2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第九章第6课时课后达标检测

时间:2014-07-09


[基础达标] 一、选择题 1.(2014· 福建三明质量检测)已知集合 M={x|-2≤x≤8},N={x|x2-3x+2≤0},在集 合 M 中任取一个元素 x,则“x∈M∩N”的概率是( ) 1 A. 10 3 C. 10 2-1 1 为 = . 8+2 10 2.(2014· 河南郑州市质量预测)一数学兴趣小组利用几何概型的相关知识做实验计算圆 周率,他们向一个边长为 1 米的正方形区域均匀撒豆,测得正方形区域有豆 5 120 颗,正方 形的内切圆区域有豆 4 009 颗,则他们所测得的圆周率为(保留三位有效数字)( ) A.3.13 B.3.14 C.3.15 D.3.16 1 π·( )2 2 4 009 解析:选 A.根据几何概型的定义有 = ,得π≈3.13. 1 5 120 3.(2012· 高考辽宁卷)在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形,邻边长分别 等于线段 AC,CB 的长,则该矩形面积大于 20 cm2 的概率为( ) 1 A. 6 2 C. 3 1 B. 3 4 D. 5 1 B. 6 1 D. 2

解析:选 A.因为 N={x|x2-3x+2≤0}=[1,2],所以 M∩N=[1,2],所以所求的概率

解析:选 C.设|AC|=x cm,0<x<12,则|CB|=(12-x) cm,要使矩形面积大于 20 cm2, 10-2 2 只要 x(12-x)>20,则 x2-12x+20<0,2<x<10,所以所求概率为 P= = . 12 3

4.(2014· 襄阳市高三调研)如图,大正方形的面积是 13,四个全等的直角三角形围成一 个小正方形, 直角三角形的较短边长为 2.向大正方形内投一飞镖, 则飞镖落在小正方形内的 概率为( ) 1 A. 13 3 C. 13 2 B. 13 4 D. 13

解析:选 A.由勾股定理得,直角三角形的较长边长为 13-22=3,所以小正方形的边

长为 3-2=1,故飞镖落在小正方形内的概率为 P=

1×1 1 = .故选 A. 13 13 )

5.在区间[0,1]上任取两个数 a,b,则函数 f(x)=x2+ax+b2 无零点的概率为( 1 A. 2 3 C. 4 解析:选 C. 2 B. 3 1 D. 4

要使该函数无零点,只需 a2-4b2<0,即(a+2b)(a-2b)<0. ∵a,b∈[0,1],a+2b>0, ∴a-2b<0. 0≤a≤1 ? ? 作出?0≤b≤1 的可行域,易得该函数无零点的概率为 ? ?a-2b<0 1 1 1- ×1× 2 2 3 P= = . 4 1×1 二、填空题 ︵ 6.点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点.若在该圆周上随机取一点 B,则劣弧AB的 长度小于 1 的概率为________. ︵ 解析:设事件 M 为“劣弧AB的长度小于 1”,则满足事件 M 的点 B 可以在定点 A 的两 2 侧与定点 A 构成的弧长小于 1 的弧上随机取一点,由几何概型的概率公式,得 P(M)= . 3 2 答案: 3 7.(2014· 宜昌市一中高三模拟)在长为 10 cm 的线段 AB 上任取一点 C,并以线段 AC 为 边作正方形,这个正方形的面积介于 25 cm2 与 49 cm2 之间的概率为________. 解析: 因为以线段 AC 为边的正方形的面积介于 25 cm2 与 49 cm2 之间, 所以线段 AC 的 长介于 5 cm 与 7 cm 之间.满足条件的 C 点对应的线段长 2 cm,而线段 AB 总长为 10 cm, 2 1 故正方形的面积介于 25 cm2 与 49 cm2 之间的概率为 P= = . 10 5 1 答案: 5 8.正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1,在正方体内随机取点 M,则使四棱锥 MABCD

1 的体积小于 的概率为________. 6 1 1 解析:正方体 ABCDA1B1C1D1 中,设 MABCD 的高为 h,则 ×S 四边形 ABCD×h= . 3 6 1 又 S 四边形 ABCD=1,∴h= . 2 1 1 若体积小于 ,则 h< , 6 2 即点 M 在正方体的下半部分, 1 V 2 正方体 1 ∴P= = . V正方体 2 1 答案: 2 三、解答题 9.在铸铁过程中,经常出现铸件里面混入气泡的情况,但是如果在加工过程中气泡不 暴露在表面,对产品就不会造成影响,否则产品就会不合格.在一个棱长为 4 cm 的正方体 铸件中不小心混入一个半径为 0.1 cm 的球形气泡,在加工这个铸件的过程中,如果将铸件 去掉 0.5 cm 的厚度后产品外皮没有麻眼(即没有露出气泡),产品就合格,问产品合格的概率 是多少? 解:记产品合格为事件 A,试验的全部结果所构成的区域是棱长为 4 cm 的正方体.由 条件可以发现要使产品合格, 球心距离正方体表面要大于 0.6 cm, 所以球心必须在正方体内 的一个棱长为 2.8 cm 的正方体内部才符合题意,所以构成事件 A 的区域是棱长为 2.8 cm 的 2.83 正方体,这样产品合格的概率 P(A)= 3 =0.343. 4 x+2y-3≤0, ? ? 10.设 x∈[0,3],y∈[0,4],求点 M(x,y)落在不等式组:?x≥0, 所表示的 ? ?y≥0 平面区域内的概率. 解:

? ? ? ?0≤x≤3? ? ?内,属于几何概型,该 依条件可知,点 M 均匀地分布在平面区域?(x,y)|? ? ?0≤y≤4? ? ? ?

平面区域的图形为如图中矩形 OABC 围成的区域,面积为 S=3×4=12.而所求事件构成的 x+2y-3≤0? ? ? ? ? ? 平面区域为?(x,y)|?x≥0 ?,其图形如图中的三角形 OAD(阴影部分).又直线 x ? ? ? ? ?y≥0 ?

3 1 +2y-3=0 与 x 轴、y 轴的交点分别为 A(3,0)、D(0, ),则三角形 OAD 的面积为 S1= × 2 2 3 9 3× = . 2 4 9 S1 4 3 故所求事件的概率为 P= = = . S 12 16 [能力提升] 一、选择题 1.(2014· 湖北省黄冈中学高三模拟考试)在游乐场,有一种游戏是向一个画满均匀方格 的桌面上投硬币,若硬币恰落在任何一个方格内不与方格线重叠,即可获奖.已知硬币的直 1 径为 2(单位:cm),若游客获奖的概率不超过 ,则方格边长最长为( 9 )

A.3 B.4 C.5 D.6 解析:选 A.设方格边长为 x,以一个方格为单位计算,则要使硬币恰落在任何一个方格 内不与方格线重叠,需满足硬币的中心落在距离每条边的 1 cm 之外的位置,故由几何概型 (x-2)2 1 得 ≤ ,解得 x≤3.故方格边长最长为 3 cm. x2 9 2.(2014· 河北石家庄质检)在圆的一条直径上,任取一点作与该直径垂直的弦,则其弦 长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为( ) 1 A. 4 1 C. 2 解析:选 C. 1 B. 3 D. 3 2

如图,设圆的半径为 r,圆心为 O,AB 为圆的一条直径,CD 为垂直于 AB 的一条弦, r 垂足为 M,若 CD 为圆内接正三角形的一条边,则 O 到 CD 的距离为 .设 EF 为与 CD 平行 2 r 且到圆心 O 距离为 的弦,交直径 AB 于点 N,所以当过 AB 上的点且垂直于 AB 的弦的长度 2 r 1 超过 CD 时,该点在线段 MN 上移动,所以所求概率 P= = . 2r 2 二、填空题 3.在区间[0,1]上随意选择两个实数 x,y,则使 x2+y2≤1 成立的概率为________. 解析:设 D 为直线 x=0,x=1,y=0,y=1 围成的正方形区域,而由 x2+y2≤1,即

1 π×12 4 x2+y2≤1(x≥0, y≥0)知 d 为单位圆在第一象限内部分(四分之一个圆), 故所求概率为 1×1 π = . 4 π 答案: 4 4.小波通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机地往单位圆内投掷一点,若此点到 1 1 圆心的距离大于 ,则周末去看电影;若此点到圆心的距离小于 ,则去打篮球;否则,在家 2 4 看书,则小波周末不在家看书的概率为________. 解析:∵去看电影的概率 1 π×12-π×( )2 2 3 P1= = , 4 π×12 1 π×( )2 4 1 去打篮球的概率 P2= = , 16 π×12 3 1 13 ∴不在家看书的概率为 P= + = . 4 16 16 13 答案: 16 三、解答题 5.已知集合 A=[-2,2],B=[-1,1],设 M={(x,y)|x∈A,y∈B},在集合 M 内随 机取出一个元素(x,y). (1)求以(x,y)为坐标的点落在圆 x2+y2=1 内的概率; (2)求以(x,y)为坐标的点到直线 x+y=0 的距离不大于 解:(1)集合 M 内的点形成的区域面积 S=8. 因 x2+y2=1 的面积 S1=π, S1 π 故所求概率为 P1= = . S 8 2 的概率. 2

(2)由题意

|x+y| 2 ≤ ,即-1≤x+y≤1,形成的区域如图中阴影部分,面积 S2=4,所 2 2

S2 1 求概率为 P= = . S 2 6.(选做题)设 AB=6,在线段 AB 上任取两点(端点 A、B 除外),将线段 AB 分成了三条 线段. (1)若分成的三条线段的长度均为正整数,求这三条线段可以构成三角形的概率;

(2)若分成的三条线段的长度均为正实数,求这三条线段可以构成三角形的概率. 解:(1)若分成的三条线段的长度均为正整数,则三条线段的长度所有可能情况是 1,1, 4;1,2,3;2,2,2,共 3 种情况,其中只有三条线段长为 2,2,2 时,能构成三角形, 1 故构成三角形的概率为 P= . 3 (2)设其中两条线段长度分别为 x,y,则第三条线段长度为 6-x-y,故全部试验结果所 构成的区域为

0<x<6 0<x<6 ? ? ? ? ?0<y<6 ,即?0<y<6 , ? ? ?0<6-x-y<6 ?0<x+y<6 所表示的平面区域为△OAB. 若三条线段 x,y,6-x-y 能构成三角形, x+y>6-x-y ? ? 则还要满足?x+6-x-y>y, ? ?y+6-x-y>x x+y>3 ? ? 即?0<x<3 , ? ?0<y<3 所表示的平面区域为△DEF, S△DEF 1 由几何概型知,所求概率为 P= = . S△AOB 4


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