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2018_2019高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.3空间向量基本定理3.1.4空间向量的坐标表示学案苏教版选修2_

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3.1.3 空间向量基本定理 3.1.4 空间向量的坐标表示 学习目标 1.理解空间向量基本定理,并能用基本定理解决一些几何问题.2.理解正交基底、 基向量及向量的线性组合的概念.3.掌握空间向量的坐标表示,能在适当的坐标系中写出向量 的坐标. 知识点一 空间向量基本定理 思考 只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底吗? 答案 不一定,只需三个向量不共面,就可作为空间向量的一组基底,不需要两两垂直. 梳理 空间向量基本定理 (1)定理内容: ①条件:三个向量 e1,e2,e3 不共面. ②结论:对空间中任一向量 p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使 p=xe1+ye2+ze3. (2)基底: 定义 在空间向量基本定理中,e1,e2,e3 是空间不共面的三个向量,则把{e1, e2,e3}称为空间的一个基底,e1,e2,e3 叫做基向量 如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直, 那么这个基底叫做正 交基底.特别地,当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时,称这 个基底为单位正交基底,通常用{i,j,k}表示 正交基底与单 位正交基底 (3)推论: ①条件:O,A,B,C 是不共面的四点. → → → → ②结论:对空间中任意一点 P,都存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得OP=xOA+yOB+zOC. 知识点二 空间向量的坐标表示 → 思考 若向量AB=(x1,y1,z1),则点 B 的坐标一定为(x1,y1,z1)吗? → 答案 不一定.由向量的坐标表示知,若向量AB的起点 A 与原点重合,则 B 点的坐标为(x1, y1,z1),若向量AB的起点 A 不与原点重合,则 B 点的坐标就不为(x1,y1,z1). 梳理 (1)空间向量的坐标表示: ①向量 a 的坐标:在空间直角坐标系 O-xyz 中,分别取与 x 轴、y 轴、z 轴方向相同的单位 向量 i,j,k 作为基向量,对于空间任意一个向量 a,根据空间向量基本定理,存在唯一的有 → 1 序实数组(x,y,z),使 a=xi+yj+zk,有序实数组(x,y,z)叫做向量 a 在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐标,记作 a=(x,y,z). → → ②向量OA的坐标:在空间直角坐标系 O-xyz 中,对于空间任意一点 A(x,y,z),向量OA是确 → 定的,即OA=(x,y,z). (2)空间中有向线段的坐标表示: 设 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), → → → ①坐标表示:AB=OB-OA=(x2-x1,y2-y1,z2-z1). ②语言叙述:空间向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标. (3)空间向量的加减法和数乘的坐标表示: 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则: 运算 加法 减法 数乘 表示方法 a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3) a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3) λ a=(λ a1,λ a2,λ a3)(λ ∈R) (4)空间向量平行的坐标表示: 若 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),且 a≠0,则 a∥b?b1=λ a1,b2=λ a2,b3=λ a3(λ ∈ R). 1.若{a,b,c}为空间的一个基底,则{-a,b,2c}也可构成空间的一个基底.(√) → 2.若向量AP的坐标为(x,y,z),则点 P 的坐标也为(x,y,z).(×) → 3.在空间直角坐标系 O-xyz 中向量AB的坐标就是 B 点坐标减去 A 点坐标.(√) 类型一 空间向量基本定理及应用 命题角度1 空间基底的概念 例 1 → → → 已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底,且OA=e1+2e2-e3,OB=-3e1+e2+2e3,OC=e1 6 → → → +e2- e3,试判断{OA,OB,OC}能否作为空间的一个基底. 7 → → → 解 假设OA,OB,OC共面, 由向量共面的充要条件知存在实数 x,y, 2 → → → 使OA=xOB+yOC成立. → 所以OA=e1+2e2-e3 6 ? ? =x(-3e1+e2+2e3)+y?e1+e2- e3? 7 ? ? 6 ? ? =(-3x+y)e1+(x+y)e2+?2x- y?e3. 7 ? ? -3x+y=1, ? ?x+y=2, 得? 6 ? ?2x-7y=-1, 1 x= , ? ? 4 解得? 7 y= . ? ? 4 → → → 故OA,OB,OC共面,不可以构成空间的一个基底. 反思与感悟 基底判断的基本思路及方法 (1)基本思路:判断三个空间向量是否共面,若共面,则不能构成基底;若不共面,则能构成 基底. (2)方法:①如果向量中存在零向量,则不能作为基底;如果存在一个向量可以用另外的向量 线性表示,则不能构成基底. ②假设 a=λ b+μ c,运用空间向量基本定理,建立 λ ,μ 的方程组,若有解,则共面,不 能作为基底;若无解,则不共面,能作为基底. 跟踪训练 1 以下四个命题中正确的是________.(填序号) ①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示; ②若{a,b,c}为空间的一个基底,则 a,b,c 全不是零向量; ③如果向量 a,b 与任何向量都不能构成空间的一个基底,则一定有 a 与 b 共线; ④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底. 答案 ②③ 解析 因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示,故①不正确;②正 确;由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以与另外一个向量构成基底,故③正 确;空间向量基底是由三个不共面的向量组成的,故④不正确. 3 命题角度2 空间向量基本定理的应用 例 2 如图,在空间四边形 OABC 中,点 D 是边 BC 的中点,点 G,H 分别是△ABC,△OBC 的重 → → → → → 心,设OA=a,OB=b,OC=c,试用向量 a

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