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高中数学新人教A版必修5课时跟踪检测(一) 正弦定理

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课时跟踪检测(一) 正弦定理

层级一 学业水平达标

1.在△ABC 中,a=5,b=3,则 sin A∶sin B 的值是

()

5

3

A.3

B.5

3

5

C.7

D.7

解析:选 A 根据正弦定理得ssiinn AB=ab=53.

2.在△ABC 中,a=bsin A,则△ABC 一定是

() A.锐角三角形 C.钝角三角形

B.直角三角形 D.等腰三角形

解析:选 B 由题意有sina A=b=sinb B,则 sin B=1,

即角 B 为直角,故△ABC 是直角三角形.

3.在△ABC 中,若sina A=cocs C,则 C 的值为

() A.30° C.60°

B.45° D.90°

解析:选 B 由正弦定理得,sina A=sinc C=cocs C,

则 cos C=sin C,即 C=45°,故选 B.

4.在△ABC 中,a=3,b=5,sin A=13,则 sin B=

()

1

5

A.5

B.9

5 C. 3

D.1

解析:选 B 在△ABC 中,由正弦定理sina A=sinb B,

得 sin B=bsian A=5×3 31=59.

5.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 a= 3bsin A,则 sin B=( )

A. 3

3 B. 3

6 C. 3

D.-

6 3

解析:选 B 由正弦定理得 a=2Rsin A,b=2Rsin B,所以 sin A= 3sin Bsin A,故 sin

B=

3 3.

6.下列条件判断三角形解的情况,正确的是______(填序号). ①a=8,b=16,A=30°,有两解; ②b=18,c=20,B=60°,有一解; ③a=15,b=2,A=90°,无解; ④a=40,b=30,A=120°,有一解. 解析:①中 a=bsin A,有一解;②中 csin B<b<c,有两解;③中 A=90°且 a>b,有 一解;④中 a>b 且 A=120°,有一解.综上,④正确. 答案:④

7.在△ABC 中,若(sin A+sin B)(sin A-sin B)=sin2C,则△ABC 的形状是________. 解析:由已知得 sin2A-sin2B=sin2C,根据正弦定理知 sin A=2aR,sin B=2bR,sin C

=2cR,

所以??2aR??2-??2bR??2=??2cR??2,
即 a2-b2=c2,故 b2+c2=a2.所以△ABC 是直角三角形. 答案:直角三角形

8.在△ABC 中,若 A=105°,C=30°,b=1,则 c=________. 解析:由题意,知 B=180°-105°-30°=45°.由正弦定理,得 c=bssiinnBC=1×sinsin453°0°



2 2.

答案:

2 2

9.已知一个三角形的两个内角分别是 45°,60°,它们所夹边的长是 1,求最小边长.

解:设△ABC 中,A=45°,B=60°,

则 C=180°-(A+B)=75°.

因为 C>B>A,所以最小边为 a.

又因为 c=1,由正弦定理得,

a=cssiinnCA=1×sinsin754°5°= 3-1,

所以最小边长为 3-1.

10.在△ABC 中,已知 a=2 2,A=30°,B=45°,解三角形. 解:∵sina A=sinb B=sinc C,

∴b=assiinnAB=2 s2insi3n04°5°=2

2× 1

2 2 =4.

2

∴C=180°-(A+B)=180°-(30°+45°)=105°,

∴c=assiinnAC=2

s2isnin301°05°=2

2sin 75° 1

2

=4 2sin(30°+45°)=2+2 3. 层级二 应试能力达标

1.(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 sin B+sin A(sin

C-cos C)=0,a=2,c= 2,则 C=( )

π

π

A.12

B.6

π

π

C.4

D.3

解析:选 B 因为 sin B+sin A(sin C-cos C)=0,

所以 sin(A+C)+sin Asin C-sin Acos C=0,

所以 sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,整理得 sin C(sin A+cos A)=

0.因为 sin C≠0,

所以 sin A+cos A=0,所以 tan A=-1,

因为 A∈(0,π),所以 A=34π,由正弦定理得 sin C=c·sian A=

2× 2

2 2 =12,又

0<C<π4,

所以 C=π6.

2.已知 a,b,c 分别是△ABC 的内角 A,B,C 的对边,若△ABC 的周长为 4( 2+1),

且 sin B+sin C= 2sin A,则 a=( )

A. 2

B.2

C.4

D.2 2

解析:选 C 根据正弦定理,sin B+sin C= 2sin A 可化为 b+c= 2a,

∵△ABC 的周长为 4( 2+1),

∴??a+b+c=4? 2+1?, 解得 a=4.故选 C. ?b+c= 2a,

3.(2017·山东高考)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若△ABC 为锐角

三角形,且满足 sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是( )

A.a=2b

B.b=2a

C.A=2B

D.B=2A

解析:选 A 由题意可知 sin B+2sin Bcos C=sin Acos C+sin(A+C),即 2sin Bcos C

=sin Acos C,又 cos C≠0,故 2sin B=sin A,由正弦定理可知 a=2b.

4.如图,正方形 ABCD 的边长为 1,延长 BA 至 E,使 AE=1,

连接 EC,ED,则 sin∠CED=( )

3 10 A. 10

10 B. 10

5 C. 10

5 D. 15

解析:选 B 由题意得 EB=EA+AB=2,则在 Rt△EBC 中,EC= EB2+BC2= 4+1

= 5.在△EDC 中,∠EDC=∠EDA+∠ADC=π4+π2=34π,由正弦定理得ssiinn∠ ∠CEDEDC=DECC=

1= 5

55,

所以 sin∠CED=

55·sin∠EDC=

5 5 ·sin

34π=

10 10 .

5.在△ABC 中,A=60°,B=45°,a+b=12,则 a=________.

解析:因为sina A=sinb B,所以sina60°=sinb45°,

所以 23b= 22a,① 又因为 a+b=12,②

由①②可知 a=12(3- 6).

答案:12(3- 6) 6.在△ABC 中,若 A=120°,AB=5,BC=7,则 sin B=_______. 解析:由正弦定理,得siAnBC=siBnCA, 即 sin C=ABB·sCin A

=5sin7120°=5143. 可知 C 为锐角,∴cos C= 1-sin2C=1114. ∴sin B=sin(180°-120°-C)=sin(60°-C)

=sin 60°·cos C-cos 60°·sin C=3143.

答案:3143 7.已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 A-C=90°,a+c= 2b, 求 C. 解:由 A-C=90°,得 A 为钝角且 sin A=cos C,利用正弦定理,a+c= 2b 可变形为 sin A+sin C= 2sin B, 又∵sin A=cos C, ∴sin A+sin C=cos C+sin C= 2sin(C+45°)= 2sin B, 又 A,B,C 是△ABC 的内角, 故 C+45°=B 或(C+45°)+B=180°(舍去), 所以 A+B+C=(90°+C)+(C+45°)+C=180°. 所以 C=15°.

8.在△ABC 中,已知 c=10,ccooss AB=ba=43,求 a,b 及△ABC 的内切圆半径.

解:由正弦定理知ssiinn

BA=ba,∴ccooss

AB=ssiinn

B A.

即 sin Acos A=sin Bcos B,∴sin 2A=sin 2B.

又∵a≠b,∴2A=π-2B,即 A+B=π2.

∴△ABC 是直角三角形,且 C=90°,

??a2+b2=102, 由???ba=43

得 a=6,b=8.

故内切圆的半径为 r=a+2b-c=6+82-10=2.


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