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三角函数、解三角形精品复习知识点

时间:2013-12-16


编制人:李超

审核人:冯王琳

日期:2013-10-15

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【三角函数考纲知识梳理】 一、任意角和弧度制及任意角的三角函数 1、任意角 (1)角概念的推广 ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角; ②按终边位置不同分为象限角和轴线角。 (2)终边相同的角 终边与角α 相同的角可写成α +k·360o(k∈Z)。 (3)象限角及其集合表示 象限角 第一象限角的集合 象限角的集合表示

1 1 设扇形的弧长为 l ,圆心角大小为α (rad),半径为 r。又 l =rα ,则扇形的面积为 S= 2 l r= 2 r2α
3、任意角的三角函数 三角函数 定义 正弦 y 叫做α 的正弦,记作 sinα 各象限 符号 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 口诀 终边相同角三角函 数值(k∈Z)(公式 一) 三角函数线 + + sin(α +k·2π )=sinα 余弦 x 叫做α 的余弦,记作 cosα + + cos(α +k·2π )=cosα 正切 y/x 叫做α 的正切,记 作 tanα + + tan(α +k·2π )=tanα 设α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么

? {α |2kπ <α <2kπ + 2 ,k∈Z}
? {α |2kπ + 2 <α <2kπ + ? ,k∈Z}
3? {α |2kπ + ? <α <2kπ + 2 ,k∈Z} 3? {α |2kπ + 2 <α <2kπ +2 ? ,k∈Z}

一全正,二正弦,三正切,四余弦

第二象限角的集合

第三象限角的集合

第四象限角的集合

? 注:终边在 x 轴上的角的集合为{α |α =kπ , k∈Z };终边在 y 轴上的角的集合为{α |α =kπ + 2 , k∈Z };
k? 终边在坐标轴上的角的集合为{α |α = 2 , k∈Z }
2、弧度制 (1)1 弧度的角 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角,用符号 rad 表示。 (2)角α 的弧度数 如果半径为 r 的圆的圆心角α 所对弧的长为 l ,那么角α 的弧度数的绝对值是|α |= l /r. (3)角度与弧度的换算 ①10=π /180rad;②1rad=(180/π )0. (4)弧长、扇形面积的公式

有向线段 MP 为正弦 线

有向线段 AT 为正切线 有向线段 OM 为余弦线

注:根据三角函数的定义,y=sinx 在各象限的符号与此象限点的纵坐标符号相同;y=cosx 在各象限的符 号与此象限点的横坐标符号相同;y=tanx 在各象限的符号与此象限点的纵坐标与横坐标商的符号相同。 4、同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin2α +cos2α =1;

sin ? ? tan ? (2)商数关系: cos ?
二、三角函数的诱导公式 1、下列各角的终边与角α 的终边的关系 角 2kπ +α (k∈Z) π +α -α

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日期:2013-10-15

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图示

与α 角终边的关系

相同

关于原点对称

关于 x 轴对称



π -α

? 2 -α

? 2 +α

称不变,符号看象限是指把α 看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号。 三、三角函数的图象与性质 1、周期函数 (1)周期函数的定义 对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有 f(x+T)=f(x),那么函 数 f(x)就叫做周期函数。非零常数 T 叫做这个函数的周期。 (2)最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期。

T 注:如果函数 y=f(x)的周期是 T,则函数 y=f(ω x)周期是 | ? | ,而不是 ? 。
2、正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数 y=sinx y=cosx y=tanx

T

图示

与α 角终边的关系

关于 y 轴对称

关于直线 y=x 对称 图象

2、六组诱导公式 组数 角 正弦 余弦 正切 一 2kπ +α (k∈Z) sinα cosα tanα 二 π +α -sinα - cosα tanα 三 -α -sinα cosα - tanα 四 π -α sinα - cosα - tanα 五 六

? 2 -α
cosα sinα

? 2 +α
cosα -sinα 值域 x 定义域 x∈R {y|-1≤y≤1} x∈R {y|-1≤y≤1} ∈ R 且

x?
R

?
2

? k? , k ? Z

口诀

函数名不变 符号看象限

函数名改变 符号看象限

单调性

注:诱导公式可概括为

的各三角函数值的化简公式。记忆规律是:奇变偶不变,符号看象

限。其中的奇、偶是指

的奇数倍和偶数倍,则函数名称变为相应的余名函数;若是偶数倍,则函数名

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后求出 x 的值。 3、函数 y=sinx 的图象经变换得到 y=Asin(ω x+φ )的图象的步骤 最值 无最值

奇偶性 对称中 心 对称性 对称轴 周期

奇 (kπ ,0),k∈Z





? (kπ + 2 ,0),k∈Z
x= kπ ,k∈Z 2π

k? ( 2 ,0),k∈Z
无 π 五、两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式

? x= kπ + 2 ,k∈Z


注:y=sinx 与 y=cosx 的对称轴方程中的 x 都是它们取得最大值或最小值时相应的 x,对称中心的横坐标 都是它们的零点。 四、函数 y=Asin(ω x+φ )的图象及三角函数模型的简单应用 1、简谐运动的有关概念 简谐运动图象的解析 式 y=Asin( ω x+ φ ) ( A>0, ω >0 ) x ∈ [0.+∞) 振幅 A 周期 频率 相位 初相 φ

2?
T= ?

f ?

1 ? ? T 2?

Ω x+φ

2、用五点法画 y=Asin(ω x+φ )一个周期内的简图 用五点法画 y=Asin(ω x+φ )一个周期内的简图时,要找五个关键点,如表所示 ω x+φ 0

x y=Asin( ω x+ φ)

?

? ?

? 2 ? ?? 2 ?
A

π

? ?? ?
0

3? 2 3? ?? 2

2、二倍角的正弦、余弦、正切公式 2π

2? ? ?

.

?

?
0

0

-A

? 3? 注:在上表的三行中,找五个点时,首先确定第一行的数据,即先使ω x+φ =0, 2 ,π , 2 ,2π 然

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2 tan 1 ? tan
sinα =

?
2 ?

2

1 ? tan 2 2, 1 ? tan
cosα =

?
2 2

? 3、用 sinα ,cosα 表示 tan 2

2 ?

? sin ? 1 ? cos ? ? sin ? tan 2 = 1 ? cos ?

3、形如 asinα +bcosα 的化简

a
asinα +bcosα = a ? b sin(α +β ).其中 cosβ =
2 2

b
2 2

a ? b ,sinβ = a ? b 2
2

六、简单的三角恒等变换

? ? ? 1、用 cosα 表示 sin2 2 ,cos2 2 ,tan2 2 ? 1 ? cos ? 2 sin2 2 = ;
? 1 ? cos ? 2 cos2 2 = ;

? 1 ? cos ? tan2 2 = 1 ? cos ?
注:上述三组公式从左到右起到一个扩角降幂的作用;从右到左起到一个缩角升幂的作用。

? ? ? 2、用 cosα 表示 sin 2 ,cos 2 ,tan 2
1 ? cos ? ? ? 2 sin 2 = 1 ? cos ? ? ? 2 cos 2 = 1 ? cos ? ? ? 1 ? cos ? tan 2 =

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