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第1讲 走进美妙的数学世界

时间:2011-10-31


新课标七年级数学竞赛讲座 第一讲 走进美妙的数学世界

从蛮荒时代的结绳计数到现代通讯和信息时代神奇的数学,人类任何时候都受到数学 的恩惠和影响,数学科学是人类长期以来研究数、量的关系和空间形式而形成的庞大科学 体系. 走进美妙的数学世界,我们将一起走进崭新的“代数”世界,不断扩充的数系、奇妙的 字母表示数、威力巨大的方程、不等式模型、运动变化的函数观念; 走进美妙的数学世界,我们将一起走进丰富的“图形”世界,拼剪、折叠、平移、旋转, 在操作与实验活动中,发现这些图形的奇妙的性质,用它们设计精美的图案; 走进美妙的数学世界,我们将畅游在无边的“数据”世界,从图表中获取信息,并选择 合适的图表来表达数据和信息; 走进美妙的数学世界,它将开阔我们的视野,它提醒我们有无形的灵魂,它改变我们的 思维方式,它涤尽我们的蒙昧与无知. 诺贝尔奖获得者、著名物理学家杨振宁说: “我赞美数学的优美和力量,它有战术的机 巧与灵活,又有战略上的雄才远虑,而且,奇迹的奇迹,它的一些美妙概念竟是支配物理世 界的基本结构. ” 例题 【例 1】 (1)我们平常用的数是十进制数,如 2639=2×103+6×102+3×10+9,表示十进 制的数要用 10 个数的数码(又叫数字):0,1,2,3,……9,在电子计算机中用的是二进制, 只要两个数码 0 和 1,如二进制中 101=1×22+0× 21+1 等于十进制的数 5,那么二进制中 .(浙江省金华市中考题) 的 1101 等于十进制的数 (2)探究数字“黑洞”“黑洞”原指非常奇怪的天体,它体积小,密度大.吸引力强, : 任何物体到了它那里都别想再“爬”出来,无独有偶,数字中也有类似的“黑洞” .满足某 种条件的所有数,通过一种运算,都能被它吸进去,无一能逃脱它的魔掌,譬如:任意找一 个 3 的倍数的数,先把这个数的每一个数位上的数字都立方.再相加。得到一个新数,然后 把这个新数的每一个数位上的数字再立方、求和…….重复运算下去,就能得到一个固定的 数 T= ,我们称之为数字“黑洞” (青岛市中考题) . 思路点拨 (1)从阅读中可知,无论何种进制的数都可表示与数位上的数字、进制值有 关联的和的形式;(2)从一个具体的数操作,发豌规律. 【例 2】 A、B、C、D、E、F 六个足球队进行单循环比赛,当比赛到某一天时.统计 出 A、B、C、D、E 五队已分别比赛了 5、4、3、2、l 场球,则还没有与 B 队比赛的球队是 ( ). (第 18 后江苏茁竞赛题) A.C 队 B.D 队 C.L,队 D.F 队 思路点拨 用算术或代数方法解,易陷入困境.用 6 个点表示 A、B、C、D、E、F 这 6 个足球队,若两队已经赛过一场,就在相应的两个点之间连一条线。这样用图来辅助解 题,形象而直观. 【例 3】校教具制造车间有等腰直角三角形、正方形、平行四边形三种废塑料板若干, 数学兴趣小组的同学利用其中 7 块,恰好拼成了一个矩形(如图①.后来,又用它们分别拼 出了 X、Y、Z 等字母模型(如图②,图③,图④),如果每块塑料板保持图①的标号不变, 请你参与: (1)将图②中每块塑料板对应的标号填上去; (2)图③中,只画出了标号 7 的塑料板位置,请你适当画线,找出其他 6 块塑料板,并填上 标号, (3)在图④中,请你适当画线,找出 7 块塑料板,并填上标号.
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(2002 年烟台市中考题) 思路点拨 动手实验、操作.从对图形分割人手. 链接 数与形,以及数和形的关联与转化, 这是数学研究的永恒主题,就解题而言,数 与形的恰当结合,常有助于问题的解决.

【例 4】 根据图①和图②回答问题:

(1)1997 年与 2000 年相比,产值比重减少最多的是哪个产业? (2)假定 2000 年光机电一体化的产值是 1997 年的 2 倍,那么 2000 年高新技 术产业工业总产值比 1997 年增长率是多少? (3)2000 年与 1997 年相比高新技术产业生产值总额增加最多的是哪个产业? (2003 年中央国家机关公务员录用考试行政职业能力倾向试卷试题) 思路点拨 从给定的扇形统计图表中获取信息, 须注意的是扇形统计图表示的是某一部 分占总体的百分比(或称某一部分的比重),因此,需要引入字母表示某种产值的具体数额, 【例 5】 一个四位数,这个四位数与它的各位数字之和是 1999,求这个四位数,并说明理 由. (重庆市竞赛题) 思路点拨 设所求的四位数为 abcd ,由题意可得关于 a 、 b 、 c 、 d 的一个等式,运用 估算、讨论、枚举等方法,分别求出 a 、 b 、 c 、 d 的值. 注:解与整数相关的问题,常常要用到“估算”这种重要方法.运用估算是在解决问题的 过程中,合理运用缩放、近似等方法简化计算的一种算法,运用估算往往能使我们更迅速地 接近正确目标. 链接 阅读是人们吸取知识的主要手段和认识世界的重要途径. 现代及未来社会要求人们具有 的阅读能力已不再只是语文阅读能力, 而是一种以语文阅读能力为基础, 包括外语阅读能力、 数学阅读能力、科技阅读能力在内的综合阅读能力. 读数学书,要边读书边思考.对于概念,要抓住关键词句推敲,从概念间的相互联系 中去掌握概念;对于公式、法则、性质等,要思考结论的准确意思、公式成立的条件、适用 的范围;对于例题,要自己先动手做一做, 再与书上的解答对照,找出知识上的缺陷、错误, 并从中总结适用知识的规律.

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学力训练 1.观察下列顺序排列的等式: 9×0 十 1=1,9×1+2=11, 9×2+3=21, 9×3+4=31, 9× 4+5=4l, 猜想:第年 n 个等式应为 . (2003 年北京市中考题) 2.如图,是用火柴棍摆出的一系列三角形图案,按这种方式摆下去,当每边上摆 20 (即 n=20)时,需要的火柴棍总数为 根. (河北省中考题)

3. 世界杯中, 中国男足与巴西、 土耳其、 哥斯达黎加队同分在 C 组。赛前,50 名球迷就 C 组哪支球队将以小组第二名进入十六强进 仃猜测,统计结果则图,认为中国队将以小组第二名的身份进入十六强的人数占的百分比 .( “希望杯”邀请赛试题) 为 4.自然数 a 、 b 、 c 、 d 、e 都大于 1,其乘积 abcde = 2000 ,则其和 a + b + c + d + e 的 最大值为 ,最小值为 . 3, 9 所得的余数都为 l, a 的最小值是 则 5. 若一个正整数 a 被 2, …, 这八个自然数除, a 的一般表达式为为 . 6.3 个质数 p 、 q 、 r 满足 p + q = r ,且 p < q ,那么 p 等于( ). ,

A.2 B.3 C7 D.13 (第 18 后江苏省竞赛题) 7.如果有 2003 名学生排成一列,按 1,2,3,4,3,2,l,2,3,4,3,2,…的规律报数, 那么第 2003 名学生所报的数是( ). A. 1 B.2 C.3 D.4 8.如图,有两张形状、大小完全相同的直角三角形纸片(同一个直 角三角形的两条直角边不相等),把两个三角形相等的边靠在 一起(两张纸片不重叠),可以拼出若干种图形,其中,形状不同 的四边形有( ). A.3 种 B.4 种 C.5 种 D.6 种 9.下面四个图形每个均由六个相同的小正方形组成,折叠后能围成正方体的是( ).

10.设“●”“▲”“曰”表示三种不同的物体,用天平比较 、 、 它们质量的大小,两次情况如图所示,那么●、▲、■这 三种物体按质量从大到小的顺序排列应为( ). A.■、●、▲ B.■、▲、●、 C.▲、●、■ D.▲、■、● (江西省中考题) │
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11.用一个两位数去除 2003,余数是 8,这样的两位数有 个,其中最大的两位数 . 是 12.如果 a、b 是任意 2 个不等于零的数,定义运算※如下(其余符号意义如常):

a※b =

a2 ,那么[1※(2※3)] 一[(1※2)※3]的值是 b



13.如图,把一个面积为 1 的正方形等分成两个面积为的矩形,接着把面积为 成两个面积为 去 . 试

1 的矩形分 2

1 1 1 的矩形,再把面积为 的矩形等分成两个面积为 的矩形,如此进行下 4 4 8
利 用 图 形 揭 示 的 规 律 . 计 算 :

1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + = 2 4 8 16 32 64 128 256

(南宁市中考题) 14.观察下图,三棱柱有 5 个面 6 个顶点 9 条棱,四棱柱有 6 个面 8 个顶点 12 条棱, 五棱柱有 7 个面 10 个顶点 15 条棱……由此可推测 n 棱柱有(n+2)个面 个顶点 条棱.

15.某专卖店在统计 2003 年第一季度的销售额时发现,二月份比一月份增加 10%,三月份 比二月份减少 10%,那么三月份比一月份( ). A.增加 10% B.减少 10% C.不增不减 D.减少 1% (河南省中考题) 16.三进位制数 201 可用十进位制数表示为 2×32+0×31+1=2×9+0+1=19; 现有三进 二进位制数 1011 可用十进位制数表示为 1×23+0×22+1×2+1=8+0+2+1=11. 位制数 a =221,二进位制数=10111,则 a 与 b 的大小关系为( ). A. a > b B. a = b C.a<b n 不能确定 (重庆市竞赛题) 17.某学生骑白行车上学,开始以某一速度匀速行进,中途由于自行车发生故障,停下修车 耽误了几分钟.为了按时到校,他加快了速度,但仍然保持匀速行进,结果准时到校.他骑 自行车行进的路程 s 与行进的时间 t 的关系有如下四种示意图,其中正确的是( ).

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18.把 14 个棱长为 1 的正方体,在地面上堆叠成如图所示的立体, 然后将露出的表面部分 染成红色,那么红色部分的面积为 ( ). A. 21 B. 24 C. 33 D. 37 19.如图,有两个正方形的花坛,准备把每个花坛都分成形状相同 的四块,种不同的花草.下面左边的两个图案是设计示例,请 你在右边的两个正方形中再设计两个不同的图案.

20.根据图 a 和图 b 回答问题:

(1)1998 年我国国内生产总值比 1995 年大约增加了多少? (2)1998 年我国财政支出规模(财政支出/国内生产总值)大约是多少? (3)已知 1999 年国内生产总值为 8.5 万亿元,在这几年中国内生产总值增长最快的是哪一 年度? (中央国家机关公务员录用考试行政职业能力倾向试卷试题) 21.有一批影碟机(VCD>原售价:800 元, ,台.甲商场用如下办法促销: 购买台数 每台价格 1~5 台 760 元 6—10 台 720 元 11—15 台 680 元 16~20 台 640 元 20 台以上 600 元

乙商场用如下办法促销:每次购买 1~8 台,每台打九折;每次购买 9~16 台,每台打 八五折;每次购买 17~24 台,每台打八折;每次购买 24 台以上,每台打七五折; (1)请仿照甲商场的促销列表,列出到乙商场购买 VCD 的购买台数与每台价格的对照表; (2)现在有 A、B、C 三个单位,A 单位要买 10 台 VCD,B 单位要买 16 台 VCD,C 单位 要买 20 台 VCD.问他们到哪家商场购买花费较少? (第 14 届“希望杯”邀请赛试题) 22.如图是一张“3× 5”(表示边长分别为 3 和 5)的长方形,现要把它分成若干张边长为 整数的长方形(包括正方形)纸片,并要求分得的任何两张纸片都不完全相同. (1)能否分成 5 张满足上述条件的纸片? (2)能否分成 6 张满足上述条件的纸片? 若能分,用“a×b”的形式分别表示出各张纸片的边长,并画出分割的示意图;若不能分, 请说明理由.(江苏省竞赛题)

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