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高中数学习题课(三)课时作业新人教A版4教案

时间:2017-10-25


习题课(三)
一、选择题 1. 给出下列六个命题: ①两个向量相等, 则它们的起点相同、 终点相同; ②若|a|=|b|, → → → → 则 a=b; ③若AB=DC, 则四边形 ABCD 是平行四边形; ④平行四边形 ABCD 中, 一定有AB=DC; ⑤若 m=n,n=k,则 m=k;⑥若 a∥b,b∥c,则 a∥c. 其中不正确命题的个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案:C 解析:两个向量起点相同、终点相同,则两个向量相等;但两个向量相等,却不一定有 起点相同、 终点相同, 故①不正确;根据向量相等的定义, 要保证两向量相等, 不仅模相等, 而且方向相同,而②中方向不一定相同,故不正确;③也不正确,因为 A、B、C、D 可能落 在同一条直线上;零向量方向不确定,它与任一向量都平行,故⑥中,若 b=0,则 a 与 c 就不一定平行了,因此⑥也不正确. → → → 2.已知|AB|=10,|AC|=7,则|BC|的取值范围是( ) A.[3,17] B.(3,17) C.(3,10) D.[3,10] 答案:A → → 解析: 利用三角形两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边的性质及AB与AC共线时的 → → → → → → 情况求解.即|AB|-|AC|≤|BC|≤|AC|+|AB|,故 3≤|BC|≤17. 3.对于非零向量 a,b,下列说法不正确的是( ) A.若 a=b,则|a|=|b| B.若 a∥b,则 a=b 或 a=-b C.若 a⊥b,则 a?b=0 D.a∥b 与 a,b 共线是等价的 答案:B 解析:根据平面向量的概念和性质,可知 a∥b 只能保证 a 与 b 的方向相同或相反,但 模长不确定,因此 B 错误. 4.设向量 a,b 满足|a+b|= 10,|a-b|= 6,则 a?b=( ) A.1 B.2 C.3 D.5 答案:A 2 2 ? ?a +2a?b+b =10 ? 解析:将已知两式左右两边分别平方,得 2 ,两式相减并除以 4, 2 ?a -2a?b+b =6 ? 可得 a?b=1. 5.设 x,y∈R,向量 a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且 a⊥c,b∥c,则|a+b| 等于( ) A. 5 B. 10 C.2 5 D.10 答案:B 解析:∵a⊥c,∴2x-4=0,x=2,又 b∥c,∴2y+4=0,∴y=-2,∴a+b=(x+ 1,1+y)=(3,-1). ∴|a+b|= 10. α ?β 6.对于非零向量 α ,β ,定义一种向量积:α °β = .已知非零向量 a,b 的夹 β ?β
? ? ?π π ? 角 θ ∈? , ?,且 a°b,b°a 都在集合? ?4 2? ? ? ? ? n? ?n∈N?中,则 a°b=(

2?

? ?

)

1

5 3 1 3 A. 或 B. 或 2 2 2 2 1 C.1 D. 2 答案:D a?b |a|?|b|cosθ |a|cosθ n b?a 解析:a°b = = = = ,n∈N①.同理可得 b°a = = 2 b?b |b| |b| 2 a?a |a|?|b|cosθ |b|cosθ m ?π π ? 2 = = ,m∈N②.再由 a 与 b 的夹角 θ ∈? , ?,可得 cos θ ∈ 2 |a| |a| 2 ?4 2? ?0,1?,①②两式相乘得 cos2θ =mn,m,n∈N,∴m=n=1,∴a°b=n=1,选 D. ? 2? 4 2 2 ? ? 二、填空题 → → → → → → 7.若向量OA=(1,-3),|OB|=|OA|,OA?OB=0,则|AB|=________. 答案:2 5 → 2 → → 2 → 2 → 2 → → → 解析:因为|AB| =|OB-OA| =|OB| +|OA| -2OA?OB=10+10-0=20,所以|AB|= 20=2 5. 8.已知向量 a,b 满足|a|=1,|b|= 3,a+b=( 3,1),则向量 a+b 与向量 a-b 的夹角是________. 2π 答案: 3 2 2 2 2 2 2 2 2 解析:因为|a-b| +|a+b| =2|a| +2|b| ,所以|a-b| =2|a| +2|b| -|a+b| =2 ?a-b???a+b? 1-3 1 +6-4=4,故|a-b|=2,因此 cos〈a-b,a+b〉= = =- , |a-b|?|a+b| 4 2 2π 故所求夹角是 . 3 9.设正三角形 ABC 的面积为 2,边 AB,AC 的中点分别为 D,E,M 为线段 DE 上的动点, → → →2 则MB?MC+BC 的最小值为________. 5 3 答案: 2 2 3 2 解析:设正三角形 ABC 的边长为 2a,因为正三角形 ABC 的面积为 2,所以 a = .设 3 → → → → → → → → → → → → MD=x(0≤x≤a),则 ME=a-x,MB?MC+BC2=(MD+DB)?(ME+EC)+BC2=MD?ME+MD?EC → → → → →2 2 2 2 +DB?ME+DB?EC+BC =-x(a-x)+xacos120°+(a-x)acos120°+a cos60°+4a =x a a 15 2 5 3 → → →2 ?a?2 2 2 -ax+4a ,当 x= 时,MB?MC+BC 取得最小值? ? -a? +4a = a = . 2 2 4 2 ?2? 三、解答题 10.已知|a|=4,|b|=8,a 与 b 的夹角是 120°. (1)求 a?b 及|a+b|的值; (2)当 k 为何值时,(a+2b)⊥(ka-b)? 解:(1)a?b=|a||b|cos120°=-16, 2 |a+b|= ?a+b? 2 2 = a +b +2a?b =4 3. 2 2 (2)由题意,知(a+2b)?(ka-b)=ka +(2k-1)a?b-2b =0, 即 16k-16(2k-1)-2?64=0,解得 k=-7. → → → 11.如图,在△OAB 中,P 为线段 AB 上一点,且OP=xOA+yOB.
2

→ → (1)若AP=PB,求 x,y 的值; → → → → → → → → (2)若AP=3PB,|OA|=4,|OB|=2,且OA与OB的夹角为 60°,求OP?AB的值. → → → 1→ 1→ 解:(1)若AP=PB,则OP= OA+ OB, 2 2 1 故 x=y= . 2 → → → 1→ 3→ (2)若AP=3PB,则OP= OA+ OB, 4 4 1 3 → → ? → →? → → OP?AB=? OA+ OB??(OB-OA) 4 ? ?4 1→2 1→ → 3→2 =- OA - OA?OB+ OB 4 2 4 1 2 1 3 2 =- ?4 - ?4?2?cos60°+ ?2 4 2 4 =-3.

能力提升

12.已知 A(1,0),B(5,-2),C(8,4),D(4,6),那么四边形 ABCD 为( ) A.正方形 B.菱形 C.梯形 D.矩形 答案:D → → 解析:AB=(4,-2),BC=(3,6). → → → → AB?BC=4?3+(-2)?6=0,故AB⊥BC. → → → 又DC=(4,-2),故 AB=DC. → → → → 又|AB|= 20=2 5,|BC|= 45=3 5,故|AB|≠|BC|,所以,四边形 ABCD 为矩形. 13.在平面直角坐标系中,已知三点 A(4,0),B(t,2),C(6,t),t∈R,O 为坐标原点. (1)若△ABC 是直角三角形,求 t 的值; → (2)若四边形 ABCD 是平行四边形,求|OD|的最小值. → → → 解:(1)由题意得AB=(t-4,2),AC=(2,t),BC=(6-t,t-2), → → 若∠A=90°,则AB?AC=0,即 2(t-4)+2t=0,∴t=2; → → 若∠B=90°,则AB?BC=0,即(t-4)(6-t)+2(t-2)=0, ∴t=6±2 2; → → 若∠C=90°,则AC?BC=0,即 2(6-t)+t(t-2)=0,无解, ∴满足条件的 t 的值为 2 或 6±2 2. → → (2)若四边形 ABCD 是平行四边形,则AD=BC,设点 D 的坐标为(x,y), ? ?x=10-t 即(x-4,y)=(6-t,t-2),∴? ,即 D(10-t,t-2), ?y=t-2 ?

3

→ 2 2 ∴|OD|= ?10-t? +?t-2? 2 = 2t -24t+104, → ∴当 t=6 时,|OD|取得最小值 4 2.

4


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