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2.2.3直线与平面平行的性质1

时间:2018-06-02


2.2.3直线与平面平行的性质

复习提问
直线与平面有什么样的位置关系?
1.直线在平面内——有无数个公共点; 2.直线与平面相交——有且只有一个公共点; 3.直线与平面平行——没有公共点。

?

a

a

a

?

?

直线和平面平行的判定定理
如果平面外的一条直线和平面内的一条 直线平行,那么这条直线和这个平面平行.
a ??? ? b ? ? ? ? a // ? a // b ? ?
a
b

?

注意:1、定理三个条件缺一不可。
2、简记:线线平行,则线面平行。 3、定理告诉我们: 要证线面平行,得在面内找一条线,使线线平行。

4. 线面平行的判定定理解决了线面平行 的条件;反之,在直线与平面平行的条 件下,会得到什么结论?

问题讨论
1. 若直线l∥平面α,则直线l与平面α内
的直线的位置关系有哪几种可能?

l

?

b

a

2. 若直线l ∥平面α,则在平面α内与l 平行的直线有多少条?这些与l平行的直 线的位置关系如何?

l
α

3. 若直线l∥平面α,过直线l 作平面β使 它与平面α相交,设α∩β=m,则l与m的位置 关系如何?为什么?
β
l

α

m

4. 试用文字语言将上述原理表述成 一个命题.

直线与平面平行的性质定理:
如果一条直线和一个平面平行,则过这条直线的 任一平面和此平面的交线与这条直线平行.

?

a

?

b

? ? a ? ? ? ? a // b ? ? ? ? ? b?

a // ?

作用:线面平行=>线线平行

上述命题反映了直线和平面平行的一个 性质,其内容可简述为“线面平行则线 线平行”.

线∥面

线∥线

已知 : a // ? , a ? ? , ? ? ? ? b 求证:a // b

证明: ? ? ? ? b,? b ? ? 又 a / /? ? a与b无公共点 又 a ? ?,b ? ? ? a / /b

例1. 判断下列命题是否正确? (1) 若直线l 平行于平面α内的无数条直 线,则l∥α.

(×)
α

l
l / /? , 或者l ? ?

(2) 设a、b为直线,α为平面,若a∥b,且 b在α 内,则a∥α .
a

(×)

α

b

a / /? , 或者a ? ?

(3)若直线l∥平面α,则l与平面α内的 任意直线都不相交. (√)
(4) 设a、b为异面直线,过直线a且与 直线b平行的平面有且只有一个.
b

(√)

a

二、选择题:
1.如果一条直线和一个平面平行,则这条直线( D )
A 只和这个平面内一条直线平行; B 只和这个平面内两条相交直线不相交; C 和这个平面内的任意直线都平行; D 和这个平面内的任意直线都不相交。

2.直线a ∥平面α,平面α内有n条互相平行的直 线,那么这n条直线和直线a( C ) (A) 全平行; (B)全异面; (C)全平行或全异面; (D)不全平行或不全异面。

3.直线a ∥平面α,平面α内有n条交于一点的直 线,那么这n条直线和直线a 平行的 ( B ) (A)至少有一条; (B)至多有一条; (C)有且只有一条;(D)不可能有。

三、填空题:
4.已知:E为正方体ABCD—A1B1C1D1的棱DD1的中点, 则BD1与过A、C、E的平面的位置关系是_________. 答案:平行 5.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,和平面A1DB平行的 侧面对角线有_______. 答案:D1C、B1C、D1B1

定理应用
例3:有一块木料如图,已知棱BC平行于面A′C′. (1)要经过木料表面A′B′C′D′ 内的一点P和棱BC将木料锯开,应怎样画线? (2)所画的线和面AC有什么关系?

解:(1)如图,在平面 A?C ?内,过点P作直线EF,使 EF// B?C ?,并分别交棱 A?B ?, C ?D于点E,F.连接 ? BE,CF.则EF,BE,CF就是应画的线. ,平面 BC ? 与平面A?C ? ? 交于 B?C ? ,所以,BC// B?C .由(1)知,EF // B ?C ? , 所以EF//BC,因此
(2)因为棱BC平行于平面 A?C ?

EF//BC EF不在平面AC内 BC在平面AC内

EF // 平面AC

∴BE,CF显然都与平面AC相交.

例4、已知平面外的两条平行直线中的一条平行于 这个平面,求证;另外一条也平行于这个平面。

如图,已知直线 a,b,平面 ? ,且 a / /b, a / /? 直线a,b都在平面 ? 外 b / /? 求证: 证明:过直线a做平面 ? ,使 平面? , ? 相交,交于直线c.
a / /c 由 a / /? 线面平行可得:
由 a / /b, a / / c ,可得 b / / c

β a c

b

α

b / /? 由此可见:

思考:
已知:如图, ? ? ? ? CD,? ? ? ? EF, ? ? ? ? AB, AB // ? . 求证:CD // EF.
证明:AB//平面 ?
A B

AB//β
?∩β= CD AB//平面? AB? ? ? ∩ ? = EF 于是,CD//EF。

AB//CD,

D

F

?
AB//EF

?

?
E

C

反思~领悟:
1.应用线面平行的性质定理的关键是: 过已知直线作一个平面。 2.应用定理的要决:“见到线面平行, 先过这条直线作一个平面找交线, 则直线与交线平行。”如果再需要 过已知点,这个平面是确定的。
3.利用该定理可解决直线间的平行问题。

小结
直线与平面平行的性质定理:

如果一条直线和一个平面平行,则过这条直线的任一 平面和此平面的交线与这条直线平行.
?

a
b

?

? ? a ? ? ? ? a // b ? ? ? ? b? ?

a // ?

作用:线面平行=>线线平行
反映了直线和平面平行的一个性质,其内容可简述为“线面平行则线线平行”.


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