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2012-2013学年度第一学期期末考试试卷 高二 数学 文科(含参考答案)

时间:2013-02-26


2012-2013 学年度第一学期期末考试试卷 高二 数学 文科(含参考答案)
a ?1

10.函数 f ( x) ? x2 ? 2ln x 的单调减区间是( A. (0,1] B. [1, ??)

) D. [?1, 0) 及 (0,1]

C. (??, ?1] 及 (0,1]

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.计算机执行下面的程序段后,输出的结果是( ) A. 1,3
2

B. 4,1

C. 0, 0 )
1 ) 4a

D. 6, 0

2.抛物线 y ? ax 的焦点坐标为( A. (
1 , 0) 4a a B. ( , 0) 4

b?3 a ? a?b b ? a ?b

x2 x2 2 11.若椭圆 ? y ? 1(m ? 1) 与双曲线 ? y 2 ? 1(n ? 0) 有相同的焦点 F1 , F2 , P 是两曲线的一个交点, m n

则 ?F1PF2 的面积是(

) C. 1 ) D. 2

a PRINT a , b D. (0, ) 4 1 3.设双曲线的焦点在 x 轴上,两条渐近线为 y ? ? x ,则该双曲线的离心率等于( ) 2

C. (0,

A. 4 B. 3 12.下列命题中的假命题是(

A.“ b2 ? ac ” 是“ a, b, c 成等比数列”的充要条件
2 B. 命题“ ?x0 ? R, x0 ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x2 ? 1 ? 0 ”

A. 5

B.

5

C.

5 2

D.

5 4

C. “若 a ? b ,则 ac2 ? bc 2 ”的否命题 D. 若命题“ ? p ”和“ p ? q ”均为真,则命题 q 为真 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.公共汽车站每 5 分钟有一辆汽车通过,乘客到达汽车站的任一 时刻是等可能的,则乘客候车不超过 3 分钟的概率是
3 5

INPUT x IF x ? 0 THEN

4.在学校举行的一次歌咏比赛中,已知七位评委为某班的节目评定分数的茎叶图如右,图中左边为 十位数,右边为个位数,去掉一个最高分和一个最低分,所剩数据的平均数和方差分别为( ) A. 84, 4.84 B. 84,1.6 C. 85,1.6 D. 85, 4 ) D. y ? x ? 4

y ? ?x ?1
ELSE IF x ? 0 THEN

5.曲线 y ? 4 x ? x3 在点 (?1, ?3) 处的切线方程是( A. y ? 7 x ? 2 B. y ? 7 x ? 4 C. y ? x ? 2

y?0
ELSE

14.周长为 20cm 的矩形,绕一边旋转成一个圆柱,则圆柱体积的
1000 最大值为 27?

6.在 11111(2),110(5) ,45(8) ,40 这四个各种进制数中,最 频率 小的数是( ) 组距 A. 11111(2) B. 110(5) C. 45(8) D. 40 7.为了了解某校学生的体重情况,抽取了一个样本,将所 得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如右图) ,已 0.0375 知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1:2:3,第 2 小组的频数为 12,则抽取的学生人数为( ) 0.0125 A. 46 B. 48 C. 50 D. 60 50 55 60 65 70 75 8.从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球,那么 互斥而不对立的两个事件是( ) A. 至少有一个黑球与都是黑球 B. 至少有一个黑球与都是红球 C. 至少有一个黑球与至少有一个红球 D. 恰有一个黑球与恰有两个黑球

y ? x ?1
END IF END IF PRINT y END (第 15 题图)

?? x ? 1 , x ? 0 ? 15.读下面程序,该程序所表示的函数是 y ? ?0 ,x ?0 ?x ?1 , x ? 0 ?
体重

x2 y2 ? ? 1 ,给出下面四个命题: 16.对于曲线 C : 4 ? k k ?1

①曲线 C 不可能表示椭圆;②当 1 ? k ? 4 时,曲线 C 表示椭圆; ③若曲线 C 表示双曲线,则 k ? 1 或 k ? 4 ;④若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 1 ? k ? 其中所有正确命题的序号为 ③④
5 2

9.若一动圆与圆 x2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 外切,同时与圆 x2 ? y 2 ? 6x ? 91 ? 0 内切,则动圆圆心的轨迹为 ( ) A. 椭圆 B. 双曲线一支 C.抛物线 D. 圆

三。解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分)

17.(本题满分 10 分)已知两个非零实数 a , b ,且 a ? b 求证: 解:必要性“ ?”
? 1 1 1 1 b?a ? ? ? ?0? ?0 a b a b ab 而a ? b

1 1 ? 成立的充要条件是 ab ? 0 a b

20.(本题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? xekx (k ? 0) (1)求曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程 (2)讨论函数 f ( x) 的单调性。 解:由 f ( x) ? xekx (k ? 0) 得 f '( x) ? ekx ? x? kx ? ? ekx (1 ? kx) e k 切线的斜率为 f '(0) ? e0 ? 1, f (0) ? 0 所以切线方程为 y ? 0 ? 1? x ? 0) ( 即
y?x

充分性“ ?”
b?a 1 1 ? ab ? 0, a ? b ? ?0? ? ?0 ab a b 1 1 ? ? a b

?b ? a ? 0 ? ab ? 0

综上所述

1 1 ? 成立的充要条件是 ab ? 0 a b

18.(本题满分 12 分)求以 (1, ?1) 为中点的抛物线 y 2 ? 8x 的弦所在直线的方程。 解:设弦所在直线与抛物线交点为 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) 则 x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 ? ?2 并且有
? y12 ? 8 x1 ? ? 2 ? y2 ? 8 x2 ? ① ②

(2)令 f '( x) ? ekx (1 ? kx) ? 0 即 1 ? kx ? 0 ,

kx ? ?1

① ? ②得: ( y1 ? y2 ) ( y1? y2 )? 8 ( 1? x2 )?2 (y1 ? y2 ) ? 8 x1 ? x2 ) 即 x (
y1 ? y2 ? ?4 x1 ? x2
( 故直线 AB 的方程为 y ? 1 ? ? 4 x ? 1 ) y ? ?4 x ? 3 即
9 16

1 ?1 当 k ? 0 时, x ? ? , f ( x) 的单调增区间为 ( , ?? ) k k 1 ?1 当 k ? 0 时, x ? ? , f ( x) 的单调增区间为 ( ??, ] k k

令 f '( x) ? ekx (1 ? kx) ? 0 即 1 ? kx ? 0 ,

kx ? ?1

所以直线 AB 的斜率为 k ?
? y ? ?4 x ? 3 由? 2 得 y ? 8x ?

1 6 2 ? 3x ? ? x 2 9

0 所以

x1 ? x 2 ? 2, x ? x ? 1 2
139 2

所以弦 AB 的长为

| AB |? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 ? x2 ] ?

19.(本题满分 12 分)某地为了建立幸福指标体系,决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由 职业三个群体的相关人员中,抽取若干个人组成研究小组,有关数据见下表(单位:人) (1)求研究小组的总人数; 相关人员数 抽取人数 (2)若从研究小组的公务员和教师中随机选取 2 人 x 公务员 32 撰写研究报告,求其中恰有 1 人来自公务员的概率 y 教师 48 4 4 解: (1) x ? 32 ? ? 2, y ? 48 ? ? 3 自由职业 64 4 64 64 研究小组总人数为 2 ? 3 ? 4 ? 9 (2)研究小组中公务员和教师总共有 5 人,分别记为 a, b,1, 2,3, 其中 a , b 表示公务员,1, 2,3 表示教 师,那从中抽取 2 人包含有 10 个基本事件分别为: a1, a2, a3, b1, b2, b3, ab,12,13, 23 其中恰好;有一 人来自公务员包含 6 个基本事件: a1, a 2, a3, b1, b2, b3, 所以所求概率为
6 3 ? 10 5

1 ?1 当 k ? 0 时, x ? ? , f ( x) 的单调减区间为 ( ??, ] k k 1 ?1 当 k ? 0 时, x ? ? , f ( x) 的单调减区间为 ( , ?? ) k k 综上所述 1 ?1 ?1 当 k ? 0 时, x ? ? , f ( x) 的单调增区间为 ( , ?? ) ,单调减区间为 ( ??, ] k k k 1 ?1 ?1 当 k ? 0 时, x ? ? , f ( x) 的单调增区间为 ( ??, ] ,单调减区间为 ( , ?? ) k k k 21. (本题满分 12 分) 2 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 是 R 上的奇函数,且在 x ? 1 时取得极小值 ? 3

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)对任意 x1 , x2 ?[?1,1] ,证明: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 解:因为 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 是 R 上的奇函数 所以有 f ( x) ? ? f (? x) 是 R 上的奇函数 即: ax3 ? bx2 ? cx ? d ? ?(?ax3 ? bx2 ? cx ? d )
4 3

即: ax3 ? bx2 ? cx ? d ? ax3 ? bx 2 ? cx ? d 由于对于任意的 x ? R 上式都成立,所以有 b ? ?b, d ? ?d 故 b ? 0, d ? 0 所以 f ( x) ? ax ? cx
3

所以双曲线的标准方程可设为
a2 3 ? c 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

由题意可知

x?

f '( x) ? 3ax2 ? c
因为 f ( x) ? ax3 ? cx 在 x ? 1 时取得极小值 ?
2 3

椭圆 所以

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 (?2 3,0),(2 3,0) 而双曲线与椭圆有相同的焦点 25 13
1 c ? 2 3 a2 ? 3 所以 b2 ? c2 ? a2 ? 2 ?3 ?9 ,

? f '(1) ? 3a ? c ? 0 ? 所以有 ? 2 ? f (1) ? a ? c ? ? 3 ?
1 所以 f ( x) ? x 3 ? x 3

1 ? ?a ? 解得 : ? 3 ?c ? ?1 ?

故所求双曲线的方程为

x2 y 2 ? ?1 3 9

??? ? ??? ? (2)设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) 则 OA ? ( x1, y1 ), OB ? ( x2 , y2 )
因为点 A, B 在直线 l : y ? kx ? 3 上,所以有 y1 ? kx1 ? 3, y2 ? kx2 ? 3

(2)由(1)可知 f '( x) ? x2 ?1 当 x ?[?1,1] 时 f '( x) ? x2 ?1 ? 0 ,所以 f ( x) 在 [?1,1] 上为减函数
2 2 ? f ( x) ? 3 3 2 2 2 2 而 x1 , x2 ?[?1,1] ,所以 ? ? f ( x1 ) ? , ? ? f ( x2 ) ? 3 3 3 3 2 2 2 2 所以 ? ? f ( x1 ) ? , ? ? ? f ( x2 ) ? 3 3 3 3 4 4 所以 ? ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 3 3 4 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 即 3 22. (本题满分 12 分)

??? ??? ? ? 因为 OA ? OB 所以 OA ? OB 即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0
将 y1 , y2 代入得 x1 x2 ? (kx1 ? 3)(kx2 ? 3) ? 0 即 (1 ? k 2 ) x1x2 ? 3k ( x1 ? x2 ) ? 9 ? 0 ①

所以

f ( 1 ) f (x ? f ?( 1 )即 ? )

?

? y ? kx ? 3 x2 1 2 2 ? ? (k x ? 6kx ? 9) ? 1 即 由 ? x2 y2 得 3 9 ? ?1 ? ?3 9
6k ?18 , x1 x2 ? 2 3? k 3? k2 ?18 6k ? 3k ?9 ? 0 代入①有 (1 ? k 2 ) 2 3? k 3? k2 x1 ? x2 ?

(3 ? k 2 ) x2 ? 6kx ?18 ? 0

化简得 k 2 ? 2k ? 3 ? 0
x2 y 2 3 ? 1 有共同的焦点 ,且与椭圆 ? 25 13 2

已知双曲线的中心在坐标原点 O,一条准线方程为 x ? (1)求此双曲线的方程;

解得

k ? 1或k ? ?3

(2)设直线 l : y ? kx ? 3 与双曲线交与 A,B 两点,且 OA ? OB ,求 k 的值。 解: (1)因为双曲线的中心在坐标原点,并且一条准线方程为 x ?
3 2


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