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选修2-1空间中的向量-北师大版

时间:2018-05-09


立体几何中的向量方法-文科
教学目标:
知识与技能: 理解直线的方向向量与平面的法向量;能用向量方法解决直线与直线,直线与平面, 平面与平面的平行与垂直问题;能用向量方法解决直线与直线,直线与平面,平面与平面的 夹角的计算问题,了解向量方法在研究几何问题中的应用。 过程与方法: 使学生经历建系求解过程,体会向量方法在研究几何问题中的作用。通过解题,学生的 空间想象能力,推理论证能力和运算求解能力及化归与转化思想得到锻炼,从而提升了学生 的思维品质。 情感态度与价值观: 进一步发展学生空间想象能力和几何直观能力,同时让学生认识到向量是一种重要的数 学工具, “向量是躯体,运算是灵魂” , “没有运算的向量只能起到路标的作用” ,又树立了学 生学好立体几何的兴趣和信心。

教学重难点:
重点:通过空间向量知识解决一些复杂的立体几何中的位置与度量关系的问题; 难点:如何将几何中的问题转化为空间向量的知识解决;

教学过程:
一、导入 1. 情景导入(幻灯片展示):

设计意图:通过多媒体展示设计宏伟的建筑,飞架的桥梁,曲折的轨道,高大的工程机械…… 说明生活中都会遇到许多立体几何问题,这些问题都与空间向量有着密切的关系。吸引学生
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眼球,提高学习兴趣。 2.复习导入: 教师:如何用向量表示空间位置关系?请填写下列横线(幻灯片展示) 设直线 l,m 的方向向量分别为 a,b,平面α ,β 的法向量分别为 u,v,则 ①线线平行 线面平行 面面平行 ②线线垂直 线面垂直 面面垂直 学生分小组讨论,填写结果如下: 设直线 l,m 的方向向量分别为 a,b,平面α ,β 的法向量分别为 u,v 则 ①线线平行 l∥m?a∥b?a=kb,k∈R 线面平行 l∥α ?a⊥u?a·u=0 面面平行 α ∥β ?u∥v?u=kv,k∈R ②线线垂直 l⊥m?a⊥b?a·b=0 线面垂直 l⊥α ?a∥u?a=ku,k∈R 面面垂直 α ⊥β ?u⊥v?u·v=0 二、新课探究: 1.教师提问:如何求两条异面直线所成角? 设两条异面直线 a,b 的方向向量为 a, b ,其夹角为 θ ,则 cosφ =|cosθ |= a ? b
ab

; ; . ; ; ;

(其中 φ 为异面直线 a,b 所成的角). 2. 教师提问:如何求直线和平面所成的角? 学生:如图所示,设直线 l 的方向向量为 e ,平面 ? 的法向量为 n ,直线 l 与平面 ? 所 成的角为 φ ,两向量 e 与 n 的夹角为 θ ,

n?e
则有 sin φ=|cos θ|=

ne

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例题讲解: 例 1.四棱锥 PABCD 中,PD⊥平面 ABCD,PA 与平面 ABCD 所成的角为 60°.在四边形 ABCD 中, ∠ADC=∠DAB=90°,AB=4,CD=1,AD=2. (1)建立适当的坐标系,并写出点 B、P 的坐标; (2)求异面直线 PA 与 BC 所成的角的余弦值. 分析题意后建立如下所示坐标系:

例 2: (13 年河北衡水二模理科 19 题)
? A B C D 如图,在底面为直角梯形的四棱锥 P 中A , PD? 平 D ∥ B C , ? A B C ? 9 0 °

B C D, A C?4. B? 3, B 面A D?1, A
(Ⅰ)求证: B D? P C ; ( Ⅱ ) 求 直 线 AB 与 平 面 PDC 所 成 的 角 ;

(Ⅲ)设点 E 在棱 P C 上, P E ? ? P C ,若 DE ∥平面 PAB ,求 ? 的值. 教师:昨天我们已经把题目发到大家手上,根据例 1 的解题经验,大家再完善一下自己 的解题过程。有谁敢到黑板上来写?(给学生时间) 学生 4:我来。 (过程略) 教师:大家跟黑板上的解答对照一下,看看还有什么疑问吗?
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学生群体:没有。 教师:好,说明大家已经领悟了用向量法解立体几何问题的精髓。 【设计意图】 : 完善例 1 中未涉及的平行问题,直线与平面所成角的问题,同时检验学生对例 1 讲解过程的领悟能力,有利于培养学生综合运用知识解决问题的能力, ,化归与转化能 力。进一步提升空间想象能力,推理论证能力和运算求解能能力。 3 教师提问:如何用向量求点到平面的距离? 如图,设 AB 为平面 ? 的一条斜线段, n 为平面 ? 的法向量,则点 B 到平面 ? 的距离:

d= AB ? n
n

例 3..如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,棱长为 1,E 为 D1C1 的中点,求 B1 到面 A1BE 的距离. (图形要求学生自画,以提高学生的空间想象能力和分析问题的能力) 课堂达标:
(1).(2014·长春高三检测)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,BC=2,DD1=3, 则 AC 与 BD1 所成角的余弦值为( A.0 3 70 B. 70 3 70 C.- 70 ) D. 70 70

(2) (2017·全国卷二)在正四棱锥 S-ABCD 中,O 为顶点在底面内的投影,P 为侧棱 SD 的中 点,且 SO=OD,则直线 BC 与平面 PAC 的夹角是 A.30° B.45° C.60° ( ) D.75°

三、课堂小结:
用向量方法解决立体几何问题一般经历怎样的过程? 学生讨论后派代表发言:用空间向量解决立体几何问题的: “三部曲” : ⑴建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点,直线,平面,把

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立体几何问题转化为向量问题: ⑵通过向量运算, 研究点, 直线, 平面之间的位置关系以及他们之间距离和夹角等问题; ⑶把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 【设计意图】 : 目的使学生思考能明确认识“三步曲”各阶段的主要任务,并能简明地叙述出来,为对 本节后续内容的整体把握作准备。

四、作业布置:
1.课本 P121 第 2、6 题 2.选做题:已知四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形,E、F 分别是边 AB、AD 的中点,GC 垂直 于正方形 ABCD 所在的平面,且 GC=2,求点 B 到平面 EFG 的距离.

五、教后反思:
板书设计: 立体几何中的向量方法 一.幻灯片展示知识归纳整合 二.幻灯片展示生活中的立体几何 图片 三.例题展示 四.课堂小结,用向量解立体几何 问题的基本步骤

多 媒 体 展 例题展示 示区域

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