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高中数学

时间:2018-06-29


圆的方程题型总结
一、基础知识
1.圆的方程 圆的标准方程为___________________;圆心_________,半径________. 圆 的 一 般 方 程 为 ___________ __________. 二元二次方程 Ax2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 表示圆的条件为: (1)_______ _______; 2.直线和圆的位置关系: 直线 Ax ? By ? C ? 0 ,圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ,圆心到直线的距离为 d. 则: (1)d=_________________; (2)当______________时,直线与圆相离; 当______________时,直线与圆相切; 当______________时,直线与圆相交; (3)弦长公式:____________________. 3. 两圆的位置关系
2 2 圆 C1 : ( x - a1 ) + ( y - b1 ) = r1 ; 圆 C2 : ( x - a2 ) + ( y - b2 ) = r2 2 2 2 2

_________

____ ; 圆 心 ________

,半径

(2) _______

__ .

则有:两圆相离 ? __________________; 外切 ? __________________; 相交 ? __________________________; 内含 ? _______________________. 内切 ? _________________;

二、题型总结:
(一)圆的方程 ☆1. x ? y ? 3x ? y ?1 ? 0 的圆心坐标
2 2
2 2

,半径

. )

☆☆2.点( 2a, a ? 1 )在圆 x +y -2y-4=0 的内部,则 a 的取值范围是(

用心

爱心

专心

1

1 1 D.- < a <1 5 5 2 2 2 2 ☆ ☆ 3 . 若 方 程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0( D ? E ? 4F ? 0) 所 表 示 的 曲 线 关 于 直 线 y ? x 对称,必有( )
A.-1< a <1 B. 0< a <1 C.–1< a < A. E ? F B. D ? F C. D ? E D. D, E, F 两两不相等 ) D.第四象限

☆☆☆4.圆 x 2 ? y 2 ? ax ? 2ay ? 2a 2 ? 3a ? 0 的圆心在( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

☆5.若直线 3x - 4y + 12 = 0 与两坐标轴交点为 A,B,则以线段 AB 为直径的圆的方程是 ( ) A. x + y + 4x - 3y = 0 C. x + y + 4x - 3y - 4 = 0
2 2 2 2

B. x + y - 4x - 3y = 0 D. x + y - 4x - 3y + 8 = 0
2 2

2

2

☆☆6.过圆 x2 ? y 2 ? 4 外一点 P ? 4, 2? 作圆的两条切线,切点为 A, B ,则 ?ABP 的外接圆 方程是( )
2 2

A. (x ? 4) +(y ? 2) =4 C. (x ? 4) +(y ? 2) =5
2 2

B.

x2 +(y ? 2)2 =4
2 2

D. (x ? 2) +(y ? 1) =5 )

☆7.过点 A(1, - 1) , B (- 1,1) 且圆心在直线 x + y - 2 = 0 上的圆的方程( A. C.

( x - 3) + ( y + 1) = 4 ( x - 1) + ( y - 1) = 1
2 2
2 2

2

2

B. ( x + 3) + ( y - 1) = 4 D.

2

2

( x + 1) + ( y + 1) = 1

2

2

☆☆8.圆 x ? y ? 2x ? 6 y ? 9 ? 0 关于直线 2 x ? y ? 5 ? 0 对称的圆的方程是 ( )
2 2

A. ( x ? 7) ? ( y ? 1) ? 1
2 2

B. ( x ? 7) ? ( y ? 2) ? 1
2 2 2 2

C. ( x ? 6) ? ( y ? 2) ? 1 D. ( x ? 6) ? ( y ? 2) ? 1 ☆9.已知△ABC 的三个项点坐标分别是 A(4,1) ,B(6,-3) ,C(-3,0) ,求△ABC 外 接圆的方程.

用心

爱心

专心

2

☆10.求经过点 A(2,-1),和直线 x ? y ? 1 相切,且圆心在直线 y ? ?2 x 上的圆的方程.

2.求轨迹方程 ☆ 11. 圆 x2 ? y 2 ? 4 y ?12 ? 0 上的动点 Q ,定点 A?8, 0? ,线段 AQ 的中点轨迹方程 ________________ . ☆☆☆12.方程 ?x ? y ? 1? x 2 ? y 2 ? 4 ? 0 所表示的图形是( A.一条直线及一个圆 B.两个点 )

C.一条射线及一个圆 D.两条射线及一个圆 ☆☆13.已知动点 M 到点 A(2,0)的距离是它到点 B(8,0)的距离的一半, 求: (1)动点 M 的轨迹方程; (2)若 N 为线段 AM 的中点,试求点 N 的轨迹.

用心

爱心

专心

3

3.直线与圆的位置关系
2 ☆14.圆 ( x - 1) + y = 1 的圆心到直线 y = 2

3 x 的距离是( 3
D.



A.

1 2

B.

3 2

C. 1

3

☆ ☆ 15. 过 点 (2, 1 ) 的 直 线 中 , 被 x2 + y2 - 2x + 4y = 0 截 得 弦 长 最 长 的 直 线 方 程 为 ( ) A. 3x - y - 5 = 0 C. x + 3y - 3 = 0 B. 3x + y - 7 = 0 D. x - 3y + 1 = 0

( ? 2, 0) ☆☆16.已知直线 l 过点 ,当直线 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 x 有两个交点时,其斜率 k 的
取值范围是( ) B.(? 2,2) C.( ?

2 2) A.(? 2 2,

2 2 , ) 4 4
)

D.( ? , )

1 1 8 8

☆17.圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 在点 P(1, 3) 处的切线方程为( A. x ? 3 y ? 2 ? 0 C. x ? 3 y ? 4 ? 0
2 2

B. x ? 3 y ? 4 ? 0 D. x ? 3 y ? 2 ? 0 )

☆☆18. 过点 P (2, 1) 作圆 C: x +y -ax+2ay+2a+1=0 的切线有两条, 则 a 取值范围是 ( A.a>-3 B.a<-3

2 2 D.-3<a<- 或 a>2 5 5 2 2 ☆☆19.直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 与圆 ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 9 交于 E、F 两点,则 ?EOF (O
C.-3<a<- 为原点)的面积为( A. ) B.

3 2

3 4

C.

6 5 5

D.

3 5 5
_ _.
4

☆☆20. 过点 M (0, 4) , 被圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4 截得弦长为 2 3 的直线方程为
用心 爱心 专心

☆☆☆21.已知圆 C: ?x ?1?2 ? ? y ? 2?2 ? 25及直线 l : ?2m ? 1?x ? ?m ? 1?y ? 7m ? 4 .

?m ? R?
(1)证明:不论 m 取什么实数,直线 l 与圆 C 恒相交; (2)求直线 l 与圆 C 所截得的弦长的最短长度及此时直线 l 的方程.

☆☆☆22.已知圆 x +y +x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 交于 P、Q 两点,且以 PQ 为直径的 圆恰过坐标原点,求实数 m 的值.

2

2

用心

爱心

专心

5

4.圆与圆的位置关系 ☆23.圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 的位置关系为 ☆24.已知两圆 C1 : x 2 ? y 2 ? 10, C2 :x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ?14 ? 0 .求经过两圆交点的公共弦所在 的直线方程_______
2 2 2

____.
2

☆25.两圆 x +y -4x+6y=0 和 x +y -6x=0 的连心线方程为( A.x+y+3=0 C.3x-y-9=0 B.2x-y-5=0 D.4x-3y+7=0



☆26.两圆 C1 : x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 2 ? 0 , C2 : x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 1 ? 0 的公切线有且 仅有( ) B.2 条 C.3 条 D.4 条 A.1 条

☆☆☆27.已知圆 C1 的方程为 f ( x, y) ? 0 ,且 P( x0 , y0 ) 在圆 C1 外,圆 C 2 的方程为

f ( x, y) = f ( x0 , y0 ) ,则 C1 与圆 C 2 一定(
A.相离 B.相切

) C.同心圆
2 2

D.相交

☆☆28.求圆心在直线 x ? y ? 0 上,且过两圆 x ? y ? 2x ? 10 y ? 24 ? 0 ,

x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 8 ? 0 交点的圆的方程.

用心

爱心

专心

6

5.综合问题 ☆☆29.点 A 在圆 x 2 ? y 2 ? 2 y 上,点 B 在直线 y ? x ? 1 上,则 AB 的最小 ( A 2 ?1 B 1? )

2 2

C

2

D

2 2

☆☆30.若点 P 在直线 2 x ? 3 y ? 10 ? 0 上,直线 PA, PB 分别切圆 x2 ? y 2 ? 4 于 A, B 两点, 则四边形 PAOB 面积的最小值为( A 24 B 16 C 8 ) D
2

4 )

☆☆31. 直线 y ? x ? b 与曲线 x ? 1 ? y 有且只有一个交点, 则 b 的取值范围是 ( A. b ?

2

B. ? 1 ? b ? 1 且 b ? ? 2 D.以上答案都不对
2 2

C. ? 1 ? b ? 1

☆☆32.如果实数 x, y 满足 x ? y ? 4 x ? 1 ? 0 求:

y 的最大值; x (2) y ? x 的最小值;
(1) (3)

x 2 ? y 2 的最值.

用心

爱心

专心

7

☆☆33.一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:台风中心位于轮船 正西 70 km 处,受影响的范围是半径长 30 km 的圆形区域.已知港口位于台风正北 40 km 处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响?

用心

爱心

专心

8

圆的方程题型总结 参考答案
1. (-

3 1 14 , ); ;2.D;3.C;4.D;5.A;6.D;7.C;8.A; 2 2 2

9.解:解法一:设所求圆的方程是 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 . ① 因为 A(4,1) ,B(6,-3) ,C(-3,0)都在圆上, 所以它们的坐标都满足方程①,于是

? (4 ? a) 2 ? (1 ? b) 2 ? r 2 , ? 2 2 2 ?(6 ? a) ? (?3 ? b) ? r , ? (?3 ? a) 2 ? (0 ? b) 2 ? r 2 . ?

? a ? 1, ? 可解得 ? b ? ?3, ?r 2 ? 25. ?

所以△ABC 的外接圆的方程是 ( x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 25 . 解法二: 因为△ABC 外接圆的圆心既在 AB 的垂直平分线上,也在 BC 的垂直平分线上, 所以先求 AB、 BC 的垂直平分线方程, 求得的交点坐标就是圆心 y 坐标. A ?3 ? 1 C O ∵ k AB ? ? ?2 , k BC ? 0 ? (?3) ? ? 1 , 6?4 ?3 ? 6 3 x 线段 AB 的中点为(5,-1),线段 BC 的中点为 B E 3 3 , ( ,? ) 2 2

1 ( x ? 5) , 2 3 3 BC 的垂直平分线方程 y ? ? 3( x ? ) . ② 2 2
∴AB 的垂直平分线方程为 y ? 1 ? 解由①②联立的方程组可得 ? 半径 r ?| AE |?



? x ? 1, ∴△ABC 外接圆的圆心为E(1,-3) , ? y ? ?3.

(4 ? 1) 2 ? (1 ? 3) 2 ? 5 .
2 2

故△ABC 外接圆的方程是 ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 25 . 10.解:因为圆心在直线 y ? ?2 x 上,所以可设圆心坐标为(a,-2a),据题意得:
用心 爱心 专心 9

(a ? 2) 2 ? (?2a ? 1) 2 ?

| a ? 2a ? 1 | 2

, ∴ (a ? 2) 2 ? (1 ? 2a ) 2 ?

1 (1 ? a) 2 , 2

∴ a =1 ,



圆 心 为 (1 , - 2) , 半 径 为

2 , ∴所求的圆的方程为

( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 2 .
2 11.(x ? 4) +(y ?1)2 =4 ;12.D;

13.解: (1)设动点 M(x,y)为轨迹上任意一点,则点 M 的轨迹就是集合

P ? {M || MA |?

1 | MB |} . 2
( x ? 2) 2 ? y 2 ? 1 ( x ? 8) 2 ? y 2 , 2

由两点距离公式,点 M 适合的条件可表示为

平方后再整理,得 x2 ? y 2 ? 16 . 可以验证,这就是动点 M 的轨迹方程. (2)设动点 N 的坐标为(x,y) ,M 的坐标是(x1,y1) . 由于 A(2,0) ,且N为线段 AM 的中点,所以

x?

2 ? x1 0 ? y1 , y? .所以有 x1 ? 2 x ? 2 , y1 ? 2 y 2 2



由(1)题知,M 是圆 x2 ? y 2 ? 16 上的点, 所以 M 坐标(x1,y1)满足: x12 ? y12 ? 16 ② 将①代入②整理,得 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 . 所以 N 的轨迹是以(1,0)为圆心,以 2 为半径的圆(如图中的虚圆为所求) . 14.A;15.A; 16.B; 17.D; 18.D; 19.C; 20.x=0 或 15x+8y-32=0; 21.解:(1)直线方程 l : ?2m ? 1?x ? ?m ? 1?y ? 7m ? 4 ,可以改写为 m?2 x ? y ? 7 ? ? x ? y ? 4 ? 0 ,所 以直线必经过直线 2 x ? y ? 7 ? 0和x ? y ? 4 ? 0 的交点.由方程组 ?
?2 x ? y ? 7 ? 0, 解得 ?x ? y ? 4 ? 0

? x ? 3, 即两直线的交点为 A (3,1) 又因为点 A?3,1? 与圆心 C ?1,2 ? 的距离 d ? 5 ? 5 ,所以 ? ?y ? 1

该点在 C 内,故不论 m 取什么实数,直线 l 与圆 C 恒相交. (2)连接 AC ,过 A 作 AC 的垂线,此时的直线与圆 C 相交于 B 、 D . BD 为直线被圆所截得 的最短弦长.此时, AC ? 5, BC ? 5, 所以 BD ? 2 25 ? 5 ? 4 5 .即最短弦长为 4 5 . 又 直 线 AC 的 斜 率 k AC ? ? 1 , 所 以 直 线 BD 的 斜 率 为 2. 此 时 直 线 方 程
2
用心 爱心 专心 10

为: y ? 1 ? 2?x ? 3?, 即2 x ? y ? 5 ? 0.
2 ? 2 22.解:由 ? x ? y ? x ? 6 y ? m ? 0 ? 5 y 2 ? 20y ? 12 ? m ? 0 ?x ? 2 y ? 3 ? 0

? y1 ? y 2 ? 4 ? ?? 12 ? m y1 y 2 ? ? 5 ?
5

又 OP⊥OQ, ∴x1x2+y1y2=0,而 x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2= 4m ? 27

4m ? 27 12 ? m 解得 m=3. ? ?0 5 5 23.相交; 24. x ? y ? 2 ? 0 ; 25.C; 26.B; 27.C;
∴ 28.解法一:(利用圆心到两交点的距离相等求圆心) 将两圆的方程联立得方程组

? x 2 ? y 2 ? 2 x ? 10 y ? 24 ? 0 ? 2 2 ? x ? y ? 2x ? 2 y ? 8 ? 0 ,
解这个方程组求得两圆的交点坐标 A(-4,0) ,B(0,2) . 因所求圆心在直线 x ? y ? 0 上,故设所求圆心坐标为 ( x, ? x) ,则它到上面的两上交 点 (-4,0)和(0,2)的距离相等,故有 (?4 ? x) 2 ? (0 ? x) 2 ? x 2 ? (2 ? x) 2 , 即 4 x ? ?12 ,∴ x ? ?3 , y ? ? x ? 3 ,从而圆心坐标是(-3,3) . 又 r ? (?4 ? 3) 2 ? 32 ? 10 , 故所求圆的方程为 ( x ? 3) ? ( y ? 3) ? 10 .
2 2

解法二:(利用弦的垂直平分线过圆心求圆的方程) 同解法一求得两交点坐标 A(-4,0) ,B(0,2) ,弦 AB 的中垂线为 2 x ? y ? 3 ? 0 , 它与直线 x ? y ? 0 交点(-3,3)就是圆心,又半径 r ? 10 , 故所求圆的方程为 ( x ? 3) ? ( y ? 3) ? 10 .
2 2

解法三:(用待定系数法求圆的方程) 同解法一求得两交点坐标为 A(-4,0) ,B(0,2) . 设所求圆的方程为 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r , 因两点在此圆上, 且圆心在 x ? y ? 0 上,
2 2 2

? a ? ?3 ?(?4 ? a) 2 ? b 2 ? r 2 ? 所以得方程组 ? a 2 ? (3 ? b) 2 ? r 2 ,解之得 ? ? b?3 , ? ? a?b ?0 ? ?r ? 10
用心 爱心 专心 11

故所求圆的方程为 ( x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? 10 . 解法四:(用“圆系”方法求圆的方程.过后想想为什么?) 设所求圆的方程为

x2 ? y 2 ? 2x ? 10 y ? 24 ? ? ( x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 8) ? 0 (? ? ?1) ,


x2 ? y 2 ?

2(1 ? ? ) 2(5 ? ? ) 8(3 ? ? ) x? y? ?0. 1? ? 1? ? 1? ?

1? ? 5 ? ? ,? ). 1? ? 1? ? 1? ? 5 ? ? 因圆心在直线 x ? y ? 0 上,所以 ? ? 0 ,解得 ? ? ?2 . 1? ? 1? ?
可知圆心坐标为 ( 将 ? ? ?2 代入所设方程并化简,求圆的方程 x2 ? y 2 ? 6 x ? 6 y ? 8 ? 0 . 29.A; 30.C; 31.B; 32.(1) 3 ; (2) ? 6 ? 2 ; (3) x ? y
2

?

2

?

min

? 4 3 ; ? x2 ? y 2 ? ? 7 ? 4 3 . max

33.解:我们以台风中心为原点 O,东西方向为 x 轴,建立如图所示的直角坐标系. 这样,受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为

x2 ? y 2 ? 302 ① 轮船航线所在直线 l 的方程为
x y ? ? 1 ,即 4 x ? 7 y ? 280 ? 0 ② 70 40

如果圆 O 与直线 l 有公共点, 则轮船受影响,需要改变航 向;如果 O 与直线 l 无公共点,则轮船不受影响,无需改变航向. 由于圆心 O(0,0)到直线 l 的距离 | 4 ? 0 ? 7 ? 0 ? 280 | 280 d? ? ? 30 , 67 42 ? 7 2 所以直线 l 与圆 O 无公共点.这说明轮船将不受台风影响,不用改变航向.

用心

爱心

专心

12


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