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集合和简易逻辑

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课题

第一部分 代数 第一章 集合与简易逻辑

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教学 目标

1.了解集合的意义及其表示方法。 2.了解空集、全集、子集、交集、并集、补集的概念及其表示方法,了解各自 符号的含义,并能运用这些符号表示集合与集合、元素与集合的关系。

3.理解充分条件、必要条件、充分必要条件的概念。 重点 集合的表示法、集合与集合的关系、空集、充分条件、必要条件、充 要条件等概念和运用。 集合的表示法、集合与集合的关系、空集、充分条件、必要条件、充 要条件等概念和运用。 一 课前导入:
这一节课我们来复习集合和简易逻辑。本课的复习过程中,同学们要特别 注意掌握集合的定义及其表示方法,掌握空集、全集、子集、交集、并集、补集 的概念及其表示方法,记牢各种集合符号及其意义,并能用这些符号表示集合 与集合、元素与集合的关系;能够运用简易逻辑学的知识分析和判断简易逻辑 问题。

难点

二 讲授新课:
第一章 集合和简易逻辑 1.1 集合 1.集合 具有某种属性的事物的全体称为集合。集合常用大写字母 A、B、



C 等表示,如 A ? 5,6,7,8? 。 2.元素 集合中的每一个对象叫做这个集合的元素,也叫“元” 。元素常用 小写字母 a、b、c 等表示。集合的元素可以是任何东西:数字,人,字母,别 的集合,等等。元素具有无序性、互异性、确定性。 3.元素与集合的关系 个体与整体的关系。如果 a 是集合 A 的元素,记作

?



a ? A ,读作 a 属于 A;如果 a 不是集合 A 的元素,记作 a ? A (或 a ? A ) ,
读作 a 不属于 A。 4. 有限集、无限集、单元素集、空集



(1)有限集 含有有限个元素的集合,如 A ? 1,2,3? 。 (2)无限集 含有无限个限个元素的集合,如 A ? x ?? ? x ? ?? (3)单元素集 只有一个元素的集合,如 A ? 1? 。 (4)空集

?

不含任何元素的集合,空集用 ? (不是希腊字母的 ? )表示。

?

?

?。

空集不是无; 它是内部没有元素的集合。 若将集合想象成一个袋子和它里面的



事物,则空集就是里面没装事物的空袋子。空集 ? 是任何集合的子集. 5.数集 元素为数的集合叫做数集,常用的数集有: (1)实数集 全体实数组成的集合,常用符号 R 表示。 (2)有理数集 全体有理数组成的集合,常用符号 Q 表示。 (3)整数集 全体整数组成的集合,常用符号 Z 表示。

1? 非负整数集—自然数集,用 N 表示。根据国家标准,现在自然数集包

括元素 0(以前不包括元素 0) ;

2? 正整数集,用 N ? 或 N ? 表示。正整数集不包括元素 0。
1.2 集合的表示法 1.列举法 列举法是把集合的元素一一写在大括号里的表示法,如

D ? ?红色,白色,蓝色,绿色?

A ? ?1,2,3? 。 红 色 、 白 色 、 蓝 色 和 绿 色 的 集 合 可 写 成

2.描述法 把集合中的元素的公共特性写在大括号里的表示法,如 “所有等腰直角三角形”组成的集合可写成 A ? 等腰直角三角形? ; 方程 x ? x ? 6 ? 0 的根组成的集合 A 可写成 B ? x x ? x ? 6 ? 0 ;
2

?

大于零的前三个自然数的集合可写成 C ? ?大于零的三个自然数? 。 3. 图解法 在不严格 的意义下, 为直观起见, 有 时也用图来表示集合, 如右 图:

?

2

?

A

a
b

a b

C

1.3 集合与集合的关系和运算 1.包含 子集: 对于两个集合 A 与 B, 如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元 素,则集合 A 叫做集合 B 的子集,记作 A ? B B,或 B 包含 A。 在国家标准中, “ ? ”可用“ ? ”代替, “ ? ”可用“ ? ”代替。 子集的性质: (1)任何一个集合 A 是它本身的子集; (2)空集是任何一个集合 A 的子集; (3)对于集合 A、B、C,若 A ? B , B ? C ,则 A ? C 。 真子集:如果 A ? B ,且 A ? B ,则集合 A 叫做集合 B 的真子集, 或

B ? A ,读作 A 包含于

如把我们学校看作是一个集合 A, 则我们班就是 A 的真子集。 又如所有男 性是所有人的真子集 2.相等:对于两个集合 A 与 B,如果 A ? B ,同时 B ? A ,那么称这两 个集合相等。也就是说,两个包含的元素完全相同的集合相等。记作 A ? B 。 3.相交:由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做 A 与 B 的交集,记作 A ? B ,读作“A 交 B” 。 A ? B ? x x ? A且x ? B

?

?

交集的性质:

(1) A ? A ? A ; ? ?

(2) A ? ? ? ? ;

(3) A ? B ? B ? A

例 · {1, 2} ∩ {红色, 白色} = ·{1, 2, 绿色} ∩ {红色, 白色, 绿色} = {绿色} ·{1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2} 4.相并:由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做 A 与 B 的并集,记作 A ? B ,读作“A 并 B” 。 A ? B ? x x ? A或x ? B

?

?

A? B

A

B

并集的性质: (1)A ? A ? A ;

(2)A ? ? ? ? ; (交换律)

(3)A ? B ? B ? A

例·{1, 2} ∪ {红色, 白色} = {1, 2, 红色, 白色} ? ? ·{1, 2, 绿色} ∪ {红色, 白色, 绿色} = {1, 2, 红色, 白色, 绿色} ·{1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}

5.补集 全集 : 如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素, 这个集合 就可以看作是一个全集,全集常用 U 表示。 补集(差集、余集) :把 U 分成 A 和 B 两个集合,则 A 是 B 的补集, B

U 中 A 的补集记作 ? 是 A 的补集。 (当 U 明确时 U 中 A 的补集简记作 ?A ) , UA
U 中 B 的补集记作(当 U 明确时 U 中 B 的补集简记作 ?B ) 。 ?A 有时用 A′表
示。

?A ? x x ?U 且x ? A? ,

?

?B ? x x ?U 且x ? B?

?

补集的基本性质: ·A ∪ A′ = U ·A ∩ A′ = ? ·(A′)′ = A ·A ? B = A ∩ B′

例 U ? 1,2,3,4,5,6,7,8? ,A ? 1,2,3? , 则B ?U ? A ? ? U A ? 4,5,6,7,8? 1.4 简易逻辑

?

?

?

(1) 、充分条件、必要条件、充要条件的概念和运用 1.充分条件:如果 A 成立,那么 B 成立,表为“ A ? B ” (由 A 推出 B) ,就 说条件 A 是 B 成立的充分条件。 如 “有单车, 我可以去花都” , “有单车” 是 “我 可以去花都”的充分条件。 (有它则成,无它也行) 2.必要条件:如果 B 成立,那么 A 成立,表为“ B ? A ” (由 B 推出 A) ,就 说条件 A 是 B 成立的必要条件。如“没有钢铁,就不能实现机械化” , “钢铁” 是“实现机械化”的必要条件。 (有它不够,无它不行) 3.充要条件:如果既有 A ? B ,又有 B ? A ,表为 A ? B ,就说条件 A 是 B 成立的充要条件。如 “种瓜得瓜, 种豆得豆” , “种瓜、 种豆是充要条件” 。 (有它则成,无它不行) 4.充分而非必要条件:由 A 可以得出 B,但是 B 一定不能得出 A,则 A 是 B 的充分非必要条件。 5.必要而非充分条件:由 B 可以得出 A,但是 A 一定不能得出 B,则 A 是 B 的必要非充分条件。 6.既不充分也不必要条件:由 A 不能得出 B,由 B 也不能得出 A,A 是 B 的 既不充分也不必要条件。 例 1. 指出下列各组命题中 A 是 B 的什么条件 (1) A : ( x ? 3)( x ? 2) ? 0; (2)A:同位角相等; (3) A : x ? 3; (5) A : x ? 0; (6) A : x ? 0
2

B : x ? 2 ? 0.

B:两直线平行.

B : x2 ? 9 . B : x2 ? 0 B : x ? 0;
B 的 必 要 而 非 充 分 条 件 ( B? A , 而

(4)A:四边形的对角线相等; B:四边形是平行四边形.

解 :

(1)

A



x ? 3 ? 0时, x ? 2可以不是0 ,即 A ? B ) ; (2)A 是 B 的充要条件( A ? B ) (3) A 是 B 的充分而非必要条件( A ? B , B ? A ,因为 x 可以是-3) (4) A 是 B 的不充分也不必要条件( A ? B )
(5) A 是 B 的充分条件

(6) A 是 B 的必要条件 例 2 (教材 P.8.9) (1)设 x , y 是实数,则 x 2 ? y 2 的充分必要条件是



( A) x ? y ( B) x ? ? y (C ) x3 ? y 3 (D) x ? y 2 2 (2)实数 m, n 满足 m ? n ? 0 的充要条件是 (A) m ? 0且n ? 0 (B) m ? 0或n ? 0 (C) m ? 0 (D) n ? 0 三 总结复习:
总结知识点,布置作业。







书本 P4-5 页 布 置 作 业 课 堂 纪 律

教 学 后 记


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