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北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》空间向量复习

时间:2012-11-06


北师大版高中数学选修2-1第 二章《空间向量与立体几何》

空间向量复习
1 法门高中姚连省制作

3.1.1空间向量的运算
B

b
O

b a
A

a

结论:空间任意两个向量都是共面向量,所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题,平面向量中有 2 关结论仍适用于它们。

类比思想

数形结合思想

平面向量
概念 定义 表示法 相等向量

空间向量
具有大小和方向的量

加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零 数乘:ka,k为正数,负数,零
运 算 律
加法交换律 a ? b ? b ? a 加法结合律 加法交换律 a ? b ? b ? a 加法结合律

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律 k (a ? b) ? k a+k b

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律 k (a ? b) ? k a+k b
3

推广:

(1)首尾相接的若干向量之和,等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量;

A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An?1 An ? A1 An

(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形,则它们的和为零向量。

A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An A1 ? 0

4

D1 A1 G D A B C B1

C1

M

始点相同的三个 不共面向量之和,等 于以这三个向量为棱 的平行六面体的以公 共始点为始点的对角 线所示向量

5

3.1.2共线向量定理与共面向量定理

一、共线向量: 1.共线向量:空间两向量互相平行
或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行 向量),记作 a // b 零向量与任意向量共线.

2.共线向量定理:对空间任意两个 向量 a, b(b ? o), a // b 的充要条件是存在实 数λ使 a ? ?b
6

可 已知非零向量 的直线,那么对任一点O, 用 于 点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t, 满足等式OP=OA+t 其中向量a叫做直线的 证 明 方向向量. 点 共 假如OP=OA+tAB,则点P、A、B三点共线。 线

推论:如果 l 为经过已知点A且平行

a

a

若P为A,B中点, 则 ??? 1 ??? ??? ? ? ? OP ? OA ? OB 2

P

a
B A

?

?
O

7

二.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,
叫做共面向量.
O

a
A

?

a

注意:空间任意两个向量是共面的,但空间 任意三个向量就不一定共面的了。
8

2.共面向量定理:如果两个向量

?? ? ? 不共线,则向量 p 与向量 a , b共面的充要
注:可用于证明三个向量共面
?B b? M a A
?? p
A?

? ? a ,b

?? ? ? 条件是存在实数对x, y 使P ? xa ? yb
P

O

9

推论:空间一点P位于平面MAB内的充
要条件是存在有序实数对x,y使 ???? ? ???? ? ???? ? MP ? xMA ? yMB ??? ???? ? ? ???? ? ???? ? 或对空间任一点O,有OP ? OM ? xMA ? yMB

注意:

证明空间四点P、M、A、B共面的两个依据 ???? ? ???? ? ???? ? ? 存在唯一实数对 x , y , 使得MP ? xMA ? yMB ( ) ??? ? ???? ? ??? ? ??? ? ? OP ? xOM ? yOA ? zOB(其中,x ? y ? z ? 1) 10

1、已知a=(2,4,5),b=(3,x,y),若a∥b, 求x,y的值。 2、证明:三向量a=e1+e2,b=3e1-2e2,c=2e1+3e2 共面;若a=mb+nc,试求实数m、n之值。

11

3.1.3空间向量的数量积
1) 两个向量的夹角

向量a与b的夹角记作:<a,b>
a
O A

a
B

b

b

范围:? ? a, b? ? ? 在这个规定下,两个向 0 量的夹角就 被唯一确定了,并且 a, b?=?b, a? ?
如果? a, b? ?

?
2

, 则称 a与b互相垂直,并记作: ? b a
12

2)两个向量的数量积

? ? ? ? ? ? a ? b ? a b cos? a, b?
注意: ①两个向量的数量积是数量,而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零。

13

3)射影
已知向量AB a和轴l, l上与l同方向的单位向量。作 A在 = e是 点 l上的射影A1 , 作点B在l上的射影B1,则A1 B1叫做向量AB在轴l上的 或在e方向上的正射影,简称 射影。 A1 B1 ? AB cos? a, e? ? a ? e
A B

e
A1
B1

l

???? 注意: 是轴l上的正射影,A1B1是一个可正可负的实数, AB ???? 它的符号代表向量 与l的方向的相对关系,大小代 AB 表在l上射影的长度。
14

4)空间向量的数量积性质 ? ? 对于非零向量a , b ,有:
1) a ? e ? a cos? a, e? 2) a ? b ? a ? b ? 0 3) a ? a ? a
2

注意: ①性质2)是证明两向量垂直的依据;

②性质3)是求向量的长度(模)的依据;
15

5)空间向量的数量积满足的运算律

1) (? a) ? b ? ? (a ? b) 2) a ? b ? b ? a (交换律) 3) ? (b ? c) ? a ? b ? a ? c (分配律) a
注意: 数量积不满足结合律

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c)
16

向量数量积的应用

? ? ? ? 1、应用 a ? b ? a ? b ? 0 可证明两直线垂直,
? 2 ?2 2、利用 a ? a 可求线段的长度。

17

3.1.4空间向量正交分解及其坐标表示

空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c 不共面,那么对空间任一向量p,存在有序 实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc.
空间所有向量的集合{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R} {a,b,c}叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量。

18

二、空间直角坐标系 单位正交基底:如果空间的一个基底的 三个基向量互相垂直,且长都为1,则这个 基底叫做单位正交基底,常用 i , j , k 表 示。 则空间中任意一个向量p可表示为

p=xi+yj+zk

(x,y,z)就是向量p的坐标。

19

3.1.5

向量的直角坐标运算

设a ? (a1, a2 , a3 ),b ? (b1 , b2 , b3 )则
a ? b ? (a 1 ?b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ;

a ? b ? (a 1 ?b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ;

?a ?

(?a1 , ?a2 , ?a3 ),(? ? R) ;

a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3

;

a // b ? a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 (? ? R) ; ? a1 / b1 ? a2 / b2 ? a2 / b2 .

a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0 ;

20

二、距离与夹角
1.距离公式
(1)向量的长度(模)公式

?2 ? ? | a | ? a ? a ? a12 ? a22 ? a32 ?2 ? ? 2 2 2 | b | ? b ? b ? b1 ? b2 ? b3
注意:此公式的几何意义是表示长方体的对 角线的长度。
21

终点坐标减 在空间直角坐标系中,已知 A( x1 , y1 , z1 ) 、 起点坐标
B( x2 , y2 , z2 ) ,则

(2)空间两点间的距离公式

???? AB ?

( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 )

???? ???? ???? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 )2 ?| AB |? AB?AB ?

d A, B ? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( z2 ? z1 )
2 2

2

22

2.两个向量夹角公式
? ? ? ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 a ?b cos ? a, b ?? ? ? ? ; 2 2 2 2 2 2 | a |?| b | a1 ? a2 ? a3 ? b1 ? b2 ? b3

注意:

? ? ? ? (1)当 cos ? a , b ?? 1 时, 与 b 同向; a

? ? ? a (2)当 cos ? a , b ?? ?1 时, 与

? ? ? ? ? 思考:当 0 ? cos ? a , b ?? 1 及 1 ? cos ? a , b ?? 0

? b 反向; ? ? ? ? (3)当cos ? a , b ?? 0 时,a ? b 。

时,的夹角在什么范围内?
23

立体几何中的向 量方法
24

1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。
(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间

向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几
何问题转化为向量问题; (化为向量问题)

(2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的
位置关系以及它们之间距离和夹角等问题; (进行向量运算) (3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
25 (回到图形问题)

? ? 如果 a ⊥?,那么向量 a 叫做平面?的法向量.

l a

?

二、怎样求平面法向量?
26

1、已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E、F 分别是BB1、DD1的中点,求证: (1)FC1//平面ADE (2)平面ADE//平面B1C1F
证明:如图1所示建立空间直角 坐标系D-xyz,则有D(0,0,0)、 A(2,0,0)、C(0,2,0)、 C1(0,2,2)、E(2,2,1)、 F(0,0,1),所以 FC1 ? (0,2,1) DA ? ( 2,0,0) AE ? (0,2,1)

设 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,n2 ? ( x2 , y2 , z 2 ) 分别是 平面ADE、平面B1C1F的法向量,则, ? DA n ? AE , n
27

?n 1 ? DA ? 2 x ? 0 ?x ? 0 ? ?? ?? ?n 1 ? AE ? 2 y ? z ? 0 ? z ? ?2 y ?

取y=1,则 n1 ? (0,1,?2)

同理可求
(1)
? n1 ? FC1

n2 ? (0,1,?2)

? n1 ? FC1 ? (0,1,?2) ? (0,2,1) ? 0

,又FC1

? 平面ADE,

? FC1 //

平面ADE

(2)

? n1 // n2
?
?

∴平面ADE//平面B1C1F
2、已知向量 a ? ?1,?2,2? 则 a 上的单位向量为:
2 2? 2? ?1 ? 1 2 , ?或? ? , ,? ? ,? ? 3 3? 3 3 3? ?3 ?
28

三、有关结论 设直线l,m的方向向量分别为a,b,平面α,β 的法向量分别为u,v,则

? a ∥b ? a=kb; 线面平行:l ∥α ? a⊥u u=0; ? a· 面面平行:α∥β ?∥v u ? u=kv. 线线垂直:l ⊥ m ? a ⊥ b ? a· b=0; 线面垂直:l ⊥ α ? ∥ u ? a=ku; a 面面垂直:α ⊥ β ? ⊥ v u v=0. ? u·
线线平行:l∥m
29

3.2.3利用空间向量求空间角
题型一:线线角

? ?? 异面直线所成角的范围: ? ? ? 0, ? ? 2? C D

?

A

?
B

D1

结论: cos ?

?

??? ??? ? ? | cos ? CD, AB ?|
30

题型二:线面角 题型二:线面角

直线与平面所成角的范围:? ? [0, ] 2 ? A n 直线AB与平面α所成 的角θ可看成是向量与 ? B O 平面α的法向量所成的 ? 锐角的余角,所以有

?

sin ? ? cos AB,n ?

AB ?n AB ? n
31

题型三:二面角

二面角的范围: ?? ? ? n2 ?? A n1 ? B ? O

? ?[0, ? ]
?
?? ? n2
?

?? n1
?

cos ?

?

?? ?? ? | cos ? n1, n2 ?|

cos ? ?

?? ?? ? ? | cos ? n1, n2 ?|

关键:观察二面角的范围
32

一、求异面直线的距离
方法指导:①作直线a、b的 方向向量a、b,求a、b的法 向量n,即此异面直线a、b 的公垂线的方向向量; ②在直线a、b上各取一点 A、B,作向量AB; ③求向量AB在n上的射影 d,则异面直线a、b间的距 离为

3.2.4

a M

A

n

?

N

B

b

d ? AB ? cos ? AB, n ? ?

AB ? n n
33

二、求点到平面的距离
如图点P为平面外一点,点A为平面内的任 一点,平面的法向量为n,过点P作平面?的垂 线PO,记PA和平面?所成的角为?,则点P 到平面的距离 d ?| PO | P n

?| PA | sin ?

?

O

?A

| n ? PA | ?| PA | | n || PA | | n ? PA | ? |n|
34

三、求直线与平面间距离
例4、已知正方形ABCD的边长为4,CG⊥平面ABCD, CG=2,E、F分别是AB、AD的中点,求直线BD到平面 z GEF的距离。

G
d? PA ? n n

x D
F A

C

E

y

B
35

四、求平行平面与平面间距离
例5、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N、 E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点,求 z 平面AMN与平面EFDB的距离。

d?

PA ? n n

N A1

D1

F E

C1

M B1 D

C B

y

A

x
36

立体几何中的向量方法——坐标法
问题1:已知:△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC, 且EC,DB在平面ABC同侧,CE=CA=2BD.求证: 平面ADE⊥平面ACE. ⑴怎样建立适当的空间直角坐标系? ⑵怎样证明平面ADE⊥平面ACE? ⑶一个平面的法向量有多少个? ⑷能否设平面ADE的法向量为 x
C

z E D

B y N A

n=(1,y,z)?

⑸这样做有什么好处?

⑹如何求平面ADE、平面ACE的法向量?
37

解:分别以CB,CE所在直线为y,z轴,C为原点建立空 间直角坐标系C-xyz,如右下图,设正三角形ABC边长为2 ,0) 则C(0,0,0)、E(0,0,2)、D(0,2,1)、B(0,2,0)、 A( 31,
设N为AC中点,则N
3 1 ( ,, 0) 2 2

连接

z E D
C

BN,∵△ABC为正三角形, ∴BN⊥AC,∵EC⊥平面ABC, ∴BN⊥EC,又AC∩EC=C, ∴BN ⊥ ??? ? 平面ACE.因此可取向量 BN 为平面

B y
x

??? ? 3 3 ACE的法向量.那么 BN ? ( , ? , 0). 2 2
设平面ADE的法向量为n=(1,y,z),则

N A

??? ? n ?EA ? 0 ???? n ?DA ? 0
38

???? ? ???? 而 EA ? ( 31, 2), ? ( 3, 1, 1) , ? DA ? ? ? (1,y,z)( 31, 2) ? 0, ? ,? (1,y,z) ? ( 3, 1, 1) ? 0 ? ?
3 2 3 3 2 3 ∴n=(1, , ) ? y= ,z ? 3 3 3 3
∵n
x C

z E D

B y N A

??? ? 3 2 3 3 3 3 3 ?BN ? (1, , ) ? ( ,- , ? 0) ? ?0 3 3 2 2 2 2

∴平面DEA⊥平面ACE. 为了方便计算,能否取平面ACE的法向量为

( 3, 3,、平面ADE的法向量为(3,3, 3)? ? 0) 2
39

通过上例,你能说出用坐标法解决立体几 何中问题的一般步骤吗?

步骤如下: 1.建立适当的空间直角坐标系; 2.写出相关点的坐标及向量的坐标; 3.进行相关的计算; 4写出几何意义下的结论.
40

小结:
1、怎样利用向量求距离? ①点到平面的距离:连结该点与平面上任意一点的向量 在平面定向法向量上的射影(如果不知道判断方向, 可取其射影的绝对值)。 ②点到直线的距离:求出垂线段的向量的模。 ③直线到平面的距离:可以转化为点到平面的距离。 ④平行平面间的距离:转化为直线到平面的距离、点到 平面的距离。 ⑤异面直线间的距离:转化为直线到平面的距离、点 到平面的距离。也可运用闭合曲线求公垂线向量的模 或共线向量定理和公垂线段定义求出公垂线段向量的 41 模。


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