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湖北省巴东一中高二数学教案 选修1-2:1.2独立性检验的基本思想及其应用第2课时

时间:2015-07-02

§1.2 独立性检验的基本思想及其应用(二)
【学情分析】 :
在实际的问题中,经常会面临需要推断的问题,比如研制一种新药,需要推断此药是否 有效?有人怀疑吸烟的人更容易患肺癌,那么吸烟是否与患肺癌有关呢?等等。在对类似的 问题作出推断时,我们不能仅凭主观意愿作出结论,需要通过试验来收集数据,并依据独立 性检验的原理作出合理的分析推断.在本节的学习中,通过案例分析,使学生学会用假设检验 的思想方法解决对于两个分类变量是否有关系的判断问题,并理解统计思维与确定性思维的 差异。

【教学目标】 :
(1)知识与技能: 进一步加强阅读三维柱形图和二维条形图的能力;加强理解独立性检验思想,会利用独 立性检验方法解决实际问题。 (2)过程与方法: 提供多个案例,让学生能自觉运用独立性检验的思维解决问题。 (3)情感态度与价值观: 通过提供适当的情境资料,吸引学生的注意力,激发学生的学习兴趣;在合作讨论中学 会交流与合作,启迪思维,提高创新能力;通过实际问题的解决和从不同角度对问题的解决, 可提高学生应用数学能力。

【教学重点】 :
理解独立性检验的基本思想及实施步骤,初步应用。

【教学难点】 :
(1)了解独立性检验的基本思想; (2)了解随机变量 K 的含义, K 太大认为两个分类变量是有关系的。
2 2

【课前准备】 :
课件

【教学过程设计】 :
教学 环节 教学活动 要推断“X 与 Y 有关系”成立的可能性的方法: 1、通过三维柱形图和二维条形图粗略判断两个分类变量是否有关系, (1) ︱ad -bc︱ (2) a/a+b≈c/c+d 2、利用独立性检验精确判断两个分类变量是否有关系 (1)假设无关 (2)求 k 值 (3)下结论 例 1、在某医院,因为患心脏病而住院的 665 名男性病人中,有 214 人秃顶; 而另外 772 名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有 175 人秃顶。分别利用 图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关?你所得的结论在什么 范围内有效? 解:秃顶 与患心脏病列联表 设计意图

一、 复 习巩 固

二、 例 题讲 解

-1-

患心脏病 秃顶 不秃顶 总计 214 451 665

患其他病 175 597 772

总计 389 1048 1437

600 500 400 300 200 100 0 1 2 S1 S2 系列1 系列2

相应的三维柱形图入图所示,比较来说,底面副对角线上两个柱体高度的乘积 要大一些,因此可以在某种程度上认为“秃顶与患心脏病有关”。 2 在假设的前提下, 1437 ? 214 ? 597 ? 175 ? 451?

由所给数 据 得 到 2X2 列 联 表,由此 复习列联 表的制作 方法

k?

389 ?1048 ? 665 ? 772

? 16.373 ? 6.635

所以有 99%的把握认为“秃顶与患心脏病有关”.所得结论只适合住院的病人 群体 思考:因为 k≈16.373>10.828,所以有 99.9%以上的把握认为“秃顶与患心脏 病有关”,这和上述结论矛盾吗? 解答:这种说法的推理过程也是正确的,两种说法不矛盾。 二、 例 题讲 解 例 2、为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系,在某城市的某校 高中生中随机抽取 300 名学生,得到如下列联表: 喜欢数学课程 男 女 总计 37 35 72 不喜欢数学课程 85 143 228 总计 122 178 300 在熟悉解 列联表检 验的基本 原理后, 可以通过 直接计算 2 K 的值 (不 画图)来 解决独立 性问题 解题中突 2 出强调 K 的含义。 1、 为了研究患支气管炎与吸烟的关系, 共调查了 228 人的日吸烟量调查结果如 下: 三、 练 习巩 固 日吸烟 10~19 支 患者 非患者 合计 98 89 187 日吸烟 20~40 25 16 41 合计 123 105 228

第二问主 要复习样 本的代表 性。

(1)计算 K2 的观察值 k;(2)在多大程度上可以认为高中生的性别与是否喜 欢数学课程之间有关系?为什么? 解 (1)在假设“性别与是否喜欢数学课程之间没有关系”的前提下, k≈4.513 (2)在假设的前提下, K2 应该很小,k≈4.513>3.841, P(K2>3.841) ≈0.05, “性别与是否喜欢数学课程之间有关系”错误的可能性 为 0.05,即有 95%的把握认为“性别与是否喜欢数学课程之间没有关系”.

试问患支气管炎是否与吸烟有关?

-2-

228 ? (98 ?16 ? 89 ? 25)2 ? 0.994 解:由公式知 k ? 123 ?105 ?187 ? 41
由于 k ? 2.706 ,我们没有理由认为患支气管炎与吸烟有关。 2、 在 500 人身上实验某种血清预防感冒的作用, 把记录与 500 个未用血清的人 作比较,结果如下表所示: 未感冒 试验过 未用过 合计 252 224 476 感冒 248 276 524 合计 500 500 1000

作出二维条形图,通过图形判断这种血清是否能够起到预防感冒的作用,并进 行独立性检验。 解: (二维条形图略)由公式得 k ? 三、 练 习巩 固

1000(252 ? 276 ? 224 ? 248)2 ? 3.143 500 ? 500 ? 476 ? 542

从条形图看,这种血清对预防感冒有作用,由于 k ? 2.706 ,我们有 90%的把握 认为起作用。 3、甲乙两个班进行一门考试,按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后,得 出班级与成绩列联表: 优秀 甲班 乙班 总计 10 7 17 不优秀 35 38 73 总计 45 45 90

画出列联表的条形图,并通过图形判断成绩与班级是否有关,利用列联表的独 立性检验估计,认为“成绩是否优秀与班级有关系”犯错误的概率是多少? 解:(图略)由图及表直观判断好象“成绩与班级有关系”
2 因为 k ? 0.6527 ? 0.455 , P( K ? 0.455) ? 0.5

从而有 50%的把握认为“成绩是否优秀与班级有关系” ,即断言“成绩是否优秀 与班级有关系”犯错误的概率为 0.5。

五、 小 结

独立性检验是一种假设检验,在对总体的估计中,通过抽取样本构造合适的统 计量,对假设的正确性进行判断。 1、 收集班上所有学生的身高的数据, 构造一个关于每一个学生的性别与其身高 是否高于(或低于)中位数的列联表,推断性别与身高在多大程度上有关系? 2、在报纸、杂志、互联网找一个抽样调查报告,构造一个 2×2 列联表,并讨 论调查中的两个分类变量之间在多大程度上相关。

六、 作 业

同步练习: (基础题) 1、在研究某种新措施对猪白痢的防治效果问题时,得到了以下数据:

-3-

存活数 新措施 对照 合计 132 114 246
2

死亡数 18 36 54

合计 150 150 300

试问新措施对猪白痢的防治效果如何?

300 ? ?132 ? 36 ? 114 ?18? 解: 由公式得:k ? 由于 7.317 ? 6.635, 所以我们有 99% ? 7.317 , 150 ?150 ? 246 ? 54
的把握认为新措施对猪白痢的防治是有效的。 2、调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系,得到下面的数据表,试问能以多大 的把握认为婴儿的性别与出生时间有关系。 晚上 男婴 女婴 合计 24 8 32
2

白天 31 26 57

合计 55 34 89

89 ? ? 24 ? 26 ? 8 ? 31? 解:由公式得: k ? ? 3.689 ? 3.841,所以没有充分的证据显示婴儿 55 ? 34 ? 32 ? 57
的性别与出生时间有关。 3、 为了解决初二平面几何入门难的问题, 某校在初中一年级代数教学中加强概念和推理教学, 并设有对照班,下列是初中二年级平面几何期中测验成绩统计表的一部分,试分析研究实验 结果。 70 及 70 分以下 实验班 对照班 合计 32 12 44
2

70 分以上 18 38 56

合计 50 50 100

100 ? ? 32 ? 38 ? 18 ?12 ? 解:由公式得: k ? ? 16.234 ? 10.828 ,所以有 99.9 %的把握认为 50 ? 50 ? 44 ? 56
在初中一年级代数教学中加强概念和推理教学,与初中二年级平面几何期中测验成绩有关。 4、下列表格是两种教法实验的成绩对比统计,试分析两种教法的效果。 及格 掌握教学法 常规教学法 合计 36 40 76
2

不及格 8 16 24

合计 44 56 100

100 ? ? 36 ?16 ? 8 ? 40? 解:由公式得: k ? ? 1.458 ? 3.841 ,所以这两种教学方法对学生成 44 ? 56 ? 24 ? 76
绩的效果是相互独立的。 5、为了确定居民的头发颜色与居地的依赖关系,分别在两个地区 A、B 调查了两组人群,其
-4-

结果如下表: 棕黄色、黑色 A B 合计 24 32 56
2

浅色 6 38 44

合计 30 70 100

由调查得到的结果,能否证实居民的发色与他们的居地有关?

100 ? ? 24 ? 38 ? 6 ? 32 ? 解:由公式得: k ? ? 10.019 ? 6.635 ,所以有 99 %的把握认为居 44 ? 56 ? 70 ? 30
民的发色与他们的居地有关。 6、研究某特殊药物有无副作用(比如恶心) ,给 50 个患者服用此药,给另外 50 个患者服用 安慰剂,记录每类样本中出现恶心的数目如下表,试问此药有无恶心副作用? 有恶心 给此药 给安慰剂 合计 15 4 19
2

无恶心 35 46 81

合计 50 50 100

100 ? ?15 ? 46 ? 4 ? 35? 解:由公式得: k ? ? 7.86 ? 6.635 ,所以有 99 %的把握认为此药有 50 ? 50 ?19 ? 81
恶心副作用。 7、调查发现,在 300 名吸烟者和 1200 名不吸烟者中,都有 6 个人患了肺癌,则根据这项调 查,可以有多大的把握认为“吸烟与患肺癌有关”? ( ) A、99% B、95% C、90% D、没有充分证据显示吸烟与患肺癌有关 答案:选 A

-5-


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