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高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1第1课时排列与排列数公式课件新人教A版选修2_3_图文

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第一章 计数原理
1.2 排列与组合 1.2.1 排列
第1课时 排列与排列数公式

学习目标:1.理解排列的概念,能正确写出一些简单问题的所有排 列.(重点)2.理解排列数公式,能利用排列数公式进行计算和证明.(难点)

[自 主 预 习·探 新 知]
1.排列的概念 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照_一__定__的__顺__序_排成一列,叫 做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 2.相同排列的两个条件 (1)_元__素___相同. (2)_顺__序___相同. 思考:如何理解排列的定义?

[提示] 可从两个方面理解:(1)排列的定义包括两个方面:①取出元 素,②按一定的顺序排列;(2)两个排列相同的条件:①元素相同,②元素 的排列顺序也相同.

3.排列数与排列数公式

排列数定 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有_不__同__排__列__的__个__数_

义及表示 叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号Amn 表示

全排列的概念

n个不同元素__全__部__取__出___的一个排列

阶乘的概念

把_n_·(_n_-__1_)_·…__·_2_·_1记作n!,读作:n的阶乘

Anm=___n_(_n_-__1_)…__(_n_-__m__+__1_) ____

排列数公式

n! 阶乘式Anm=__?n_-__m__?!___ (n,m∈N*,m≤n)

特殊情况

Ann=__n_!_,1!=__1,0!=_1_

思考:排列与排列数有何区别?

[提示] “一个排列”是指:从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素,

按照一定的顺序排成一列,不是数;“排列数”是指从n个不同元素中取出

m(m≤n)个元素的所有排列的个数,是一个数.所以符号A

m n

只表示排列数,

而不表示具体的排列.

[基础自测]

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)两个排列的元素相同,则这两个排列是相同的排列.

()

(2)从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛,共有多少种

选法属于排列问题.

()

(3)有十二名学生参加植树活动,要求三人一组,共有多少种分组方案

属于排列问题.

()

(4)从3,5,7,9中任取两个数进行指数运算,可以得到多少个幂属于排列问

题.

()

(5)从1,2,3,4中任取两个数作为点的坐标,可以得到多少个点属于排列问

题.

()

[解析] (1)× 因为相同的两个排列不仅元素相同,而且元素的排列顺 序也相同.
(2)√ 因为三名学生参赛的科目不同为不同的选法,每种选法与“顺 序”有关,属于排列问题.
(3)× 因为分组之后,各组与顺序无关,故不属于排列问题. (4)√ 因为任取的两个数进行指数运算,底数不同、指数不同结果不 同.结果与顺序有关,故属于排列问题. (5)√ 因为纵、横坐标不同,表示不同的点,故属于排列问题.
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√

2.甲、乙、丙三名同学排成一排,不同的排列方法有( )

A.3种

B.4种

C.6种

D.12种

C [由排列定义得,共有A33=6种排列方法.]

3.90×91×92×…×100可以表示为( )

A.A11000 C.A11200

B.A11100 D.A11300

B [由排列数公式得原式为A11100,故选B.]

4.A24=________,A33=________. 12 6 [A24=4×3=12;A33=3×2×1=6.]

【导学号:95032026】

[合 作 探 究·攻 重 难]
排列的概念
判断下列问题是否为排列问题. (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设 来回的票价相同); (2)选2个小组分别去植树和种菜; (3)选2个小组去种菜; (4)选10人组成一个学习小组; (5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员;

[思路探究] 判断是否为排列问题关键是选出的元素在被安排时,是否 与顺序有关.若与顺序有关,就是排列问题,否则就不是排列问题.
[解] (1)中票价只有三种,虽然机票是不同的,但票价是一样的,不存 在顺序问题,所以不是排列问题.
(2)植树和种菜是不同的,存在顺序问题,属于排列问题. (3)(4)不存在顺序问题,不属于排列问题. (5)中每个人的职务不同,例如甲当班长或当学习委员是不同的,存在 顺序问题,属于排列问题. 所以在上述各题中(2)(5)属于排列问题.

[规律方法] 1.解决本题的关键有两点:一是“取出元素不重复”,二是“与顺序 有关”. 2.判断一个具体问题是否为排列问题,就看取出元素后排列是有序的 还是无序的,而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位 置”应视具体问题的性质和条件来决定),看其结果是否有变化,有变化就是 排列问题,无变化就不是排列问题.

[跟踪训练] 1.判断下列问题是否是排列问题 (1)同宿舍4人,每两人互通一封信,问他们一共写了多少封信? (2)同宿舍4人,每两人通一次电话,问他们一共通了几次电话?
[解] (1)是一个排列问题,相当于从4个人中任取两个人,并且按顺序 排好.有多少个排列就有多少封信,共有A24=12封信.
(2)不是排列问题,“通电话”不讲顺序,甲与乙通了电话,也就是乙 与甲通了电话.

排列的简单应用
写出下列问题的所有排列. (1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数,共有多少个不同的两 位数? (2)写出A,B,C,D四名同学站成一排照相,A不站在两端的所有可能 站法.
【导学号:95032027】

[解] (1)所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43,共有12个不 同的两位数.
(2)如图所示的树形图:
故所有可能的站法是BACD,BADC,BCAD,BDAC,CABD,CADB, CBAD,CDAB,DABC,DACB,DBAC,DCAB,共12种.

[规律方法] 在排列个数不多的情况下,树形图是一种比较有效的表示 方式.在操作中先将元素按一定顺序排出,然后以先安排哪个元素为分类标 准进行分类,在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二 个元素,再按此元素分类,依次进行,直到完成一个排列,这样能不重不 漏,然后按树形图写出排列.

[跟踪训练]

2.(1)A,B,C三名同学照相留念,成“一”字形排队,所有排列的方

法种数为( )

A.3种

B.4种

C.6种

D.12种

(2)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航,应该有________种机

票.

(1)C (2)12 [(1)所有的排法有:A—B—C,A—C—B,B—A—C, B—C—A,C—A—B,C—B—A,共6种.
(2)列出每一个起点和终点情况,如图所示.
故符合题意的机票种类有: 北京→广州,北京→南京,北京→天津,广州→南京、广州→天津、广 州→北京,南京→天津,南京→北京,南京→广州,天津→北京,天津→广 州,天津→南京,共12种.]

排列数公式的推导与应用

[探究问题] 1.两个同学从写有数字1,2,3,4的卡片中选取卡片进行组数字游戏.从 这4个数字中选出2个或3个分别能构成多少个无重复数字的两位数或三位 数?

[提示]

从这4个数字中选出2个能构成A

2 4

=4×3=12个无重复数字的两

位数;若选出3个能构成A34=4×3×2=24个无重复数字的三位数.

2.由探究1知A

2 4

=4×3=12,A

3 4

=4×3×2=24,你能否得出A

2 n

的意义

和A2n的值?

[提示] An2的意义:假定有排好顺序的2个空位,从n个元素a1,a2,…, an中任取2个元素去填空,一个空位填一个元素,每一种填法就得到一个排 列;反过来,任一个排列总可以由这样的一种填法得到,因此,所有不同的

填法的种数就是排列数A

2 n

.由分步乘法计数原理知完成上述填空共有n(n-1)

种填法,所以A2n=n(n-1).

3.你能写出Anm的值吗?有什么特征?若m=n呢?
[提示] Amn =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)(m,n∈N*,m≤n). (1)公式特征:第一个因数是n,后面每一个因数比它前面一个少1,最 后一个因数是n-m+1,共有m个因数; (2)全排列:当m=n时,即n个不同元素全部取出的一个排列. 全排列数:Ann=n(n-1)(n-2)·…2·1=n!(叫做n的阶乘). 另外,我们规定0!=1. 所以Anm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=?n-n!m?!=AAnn- -nnmm.

(1)计算:2AA8588-+A7A59 48;(2)求证:Amn+1-Anm=mAmn -1. 【导学号:95032028】
[思路探究]:(1)合理选用排列数的两个公式进行展开. (2)提取公因式后合并化简.

[解] (1)2AA5888+-7AA59 48 =8×27× ×86× ×75× ×64× ×53× ×42+ ×71× -89× ×78× ×67× ×56×5 =88××77××66××55××??284+-79??=1.

(2)证明:∵Amn+1-Anm=?n+?n+1-1?m!?!-?n-n!m?! =?n-n!m?!????n+n+1-1 m-1???? =?n-n!m?!·n+1m-m=m·?n+1n-!m?!=mAmn -1. ∴Anm+1-Amn =mAmn -1.

[规律方法]

排列数的计算方法

1.排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行,应用时注意:连

续正整数的积可以写成某个排列数,其中最大的是排列元素的总个数,而正

整数(因式)的个数是选取元素的个数,这是排列数公式的逆用.

2.应用排列数公式的阶乘形式时,一般写出它们的式子后,再提取公

因式,然后计算,这样往往会减少运算量.

[跟踪训练] 3.求3A8x=4Ax9-1中的x. [解] 原方程3Ax8=4Ax9-1可化为?38×-8x?!!=?140×-9x!?!, 即?38×-8x?!!=?10-x4?×?99-×x?8?!8-x?!, 化简,得x2-19x+78=0,解得x1=6,x2=13. 由题意知?????x≤8, x-1≤9, 解得x≤8. 所以原方程的解为x=6.

[当 堂 达 标·固 双 基]

1.已知下列问题: ①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组;

②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动;

③从a,b,c,d四个字母中取出2个字母;

④从1,2,3,4四个数字中取出2个数字组成一个两位数.

其中是排列问题的有( )

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

B [①是排列问题,因为两名同学参加的活动与顺序有关;②不是排列 问题,因为两名同学参加的活动与顺序无关;③不是排列问题,因为取出的 两个字母与顺序无关;④是排列问题,因为取出的两个数字还需要按顺序排 成一列.]

2.4×5×6×…×(n-1)×n等于( )

A.A4n C.(n-4)!

B.Ann-4 D.Ann-3

【导学号:95032029】

D [4×5×6×…×(n-1)×n中共有n-4+1=n-3个因式,最大数为 n,最小数为4,
故4×5×6×…×(n-1)×n=Ann-3.]

3.5本不同的课外读物分给5位同学,每人一本,则不同的分配方法有 ________种.
120 [利用排列的概念可知不同的分配方法有A55=120种.] 4.A66-6A55+5A44=________. 120 [原式=A66-A66+A55=A55=5×4×3×2×1=120.]

5.计算:AA16590-+AA14950;
[解] 法一:AA61590+-AA49150=505AA4949-+1A049A49=550+ -110=230. 法二:AA16590-+AA14950=14940!! ! !+ -9515! ! 0!!=55××190! !+ -910!!=46××190!!=230.

谢谢观看


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