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高三数学一轮、二轮复习配套讲义:第8篇 第7讲 抛物线

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第7讲 [最新考纲] 抛物线 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 2.理解数形结合的思想. 3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用. 知 识 梳 理 1.抛物线的定义 (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(F ? l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物 线.点 F 叫做抛物线的焦点,直线 l 叫做抛物线的准线. (2)其数学表达式:|MF|=d(其中 d 为点 M 到准线的距离). 2.抛物线的标准方程与几何性质 程 y =2px (p>0) 2 y2=-2p x(p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0) p 的几何意义:焦点 F 到准线 l 的距离 续表 O(0,0) y=0 ?p ? F?2,0? ? ? ? p ? F?-2,0? ? ? e=1 p? ? F?0,2? ? ? x=0 p? ? F?0,-2? ? ? 顶点 对称 轴 焦点 离心 率 准线 方程 p x=-2 x≥0,y∈R 向右 p x=2 x≤0,y∈R 向左 辨 析 感 悟 p y=-2 y≥0,x∈R 向上 p y=2 范围 y≤0,x∈R 向下 开口 方向 1.对抛物线定义的认识 (1) 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物 线.(×) (2)抛物线 y2=4x 的焦点到准线的距离是 4.(×) 2.对抛物线的标准方程与几何性质的理解 1 (3)(· 北京卷改编)若抛物线 y=ax2 的焦点坐标为(0,1),则 a=4,准线方程为 y= -1. (√) (4)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.(×) (5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线 的通径,那么抛物线 x2=-2ay(a>0)的通径长为 2a.(√) [感悟· 提升] 1.一点提醒 抛物线方程中,字母 p 的几何意义是抛物线的焦点 F 到准线的距 p 离,2等于焦点到抛物线顶点的距离.牢记它对解题非常有益.如(2). 2.两个防范 一是求抛物线方程时,首先弄清抛物线的对称轴和开口方向,正 确地选择抛物线的标准方程; 二是求抛物线的焦点坐标时,首先要把抛物线方程化为标准方程,如(3). 考点一 抛物线的定义及其应用 【例 1】 (· 深圳一模)已知点 A(2,0),抛物线 C:x2=4y 的焦点为 F,射线 FA 与 抛物线 C 相交于点 M,与其准线相交于点 N,则|FM|∶|MN|=( A.2∶ 5 C.1∶ 5 B.1∶2 D.1∶3 ). 解析 如图所示,由抛物线定义知|MF|=|MH|, 所以|MF|∶|MN|=|MH|∶|MN|. 由△MHN∽△FOA, |MH| |OF| 1 则 |HN| =|OA|=2, 则|MH|∶|MN|=1∶ 5, 即|MF|∶|MN|=1∶ 5. 答案 C 规律方法 抛物线的定义是解决抛物线问题的基础, 它能将两种距离(抛物线上的 点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化.如果问题中涉及 抛物线的焦点和准线,又能与距离联系起来,那么用抛物线定义就能解决问题. 【训练 1】 (· 山东省实验中学诊断)已知点 P 是抛物线 y2=4x 上的动点,点 P 在 y 轴上的射影是 M,点 A 的坐标是(4,a),则当|a|>4 时,|PA|+|PM|的最小值是 ________. 解析 将 x=4 代入抛物线方程 y2=4x,得 y=± 4,|a|>4,所以 A 在抛物

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