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华中师大一附中2015-2016学年度上学期高一期中检测

时间:2015-12-06


华中师大一附中 2015-2016 学年度上学期高一期中检测 数学试题
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 A ? {?2, ?1,0,1, 2} , B ? {x (x ?1)(x ? 2) ? 0} ,则 A ? B ? A. {-1,0} B.{0,1} C. {-1,0,1} D.{0,1,2}

2.已知函数 y ? f ? x ? 在 R 上的图像是连续不断的一条曲线, 在用二分法研究函数 根据零点的存在性定 y ? f ? x ? 的零点时, 第一次计算得到数据: f ? ?0.5? ? 0, f ?0 ? ? 0 , 理知存在零点 x0 ? A. ? ?1, 0? , f ? ?0.25? C. ? ?1, ?0.5? , f ? ?0.75? , 第二次计算, 以上横线处应填的内容为 B. ? ?0.5, 0? , f ? ?0.75? D. ? ?0.5, 0? , f ? ?0.25?

3.设集合 A ? R ,集合 B ? { y y ? 0} ,下列对应关系中是从集合 A 到集合 B 的映射的是 A. x ? y ? x B. x ? y ?

1 x 1 x 1 C. x ? y ? ( ) D. x ? y ? ( ) ? 1 2 2 (x ? 1) 2

4.函数 f ( x) ? A. ( ? 1, 1]

1? x 的定义域为 ln( x ? 1)
B. (?1, 0) ? (0, 1] C. (?1, 1) D. (?1, 0) ? (0,1,)

5.方程 x ? 2 ? log 3 x ? 0 的根所在的区间为 A. (0, 1) 6. 函数 y ? B. (1, 2) C. (2, 3) D. (3, 4)

x 的图像是 1? x

x 2 7.在 y ? 2 , y ? log 2 x , y ? x 这三个函数中,当 0 ? x1 ? x2 ? 1 时,使

f(

x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) )? 恒成立的函数的个数是 2 2

A. 3 个 B. 2 个 C. 1 个 D. 0 个 8.已知 y ? log a (2 ? ax) 在 [0,1] 上是关于 x 的减函数,则实数 a 的取值范围是 A. (0, 1) B. (1, 2) C. (1, 2] D. [2, ??)

9.如图所示的 4 个图象中,与所给 3 件事吻合最好的顺序 (其中 s 表示离开家的距离, t 表示 离开家的时间) 为 ① 我离开家不久,发现自己把作业本忘在家里了,于是立刻返回家里取了作业本再上学; ② 我骑着车一路以常速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一些时间; ③ 我出发后,心情轻松,缓缓行进,后来为了赶时间开始加速.

A.(1) (2) (4)

B.(4) (1) (3)

C.(1) (2) (3)

D.(4) (1) (2)

10.若关于 x 的方程 a2 x ? (1 ? lg m)a x ? 1 ? 0 (a ? 0 且 a ? 1) 有实数解,则实数 m 的取值范 围是 A. 0 ? m ? 10 或 m ? 10 C. m ? 10 D. 0 ? m ?
?3

B. 0 ? m ? 10

?3

1 10

11. 已知函数 f (x) 是定义在 ( ? ?, 0) ? (0, ??) 上的奇函数, 在区间 ( ? ?,0) 单调递增且

f ( ? 1) ? 0 .若实数 a 满足 f ( log 2 a) ? f ( log 1 a) ? 2 f (1) ,则实数 a 的取值范围是
2

A. [1, 2]

B. ( ? ?, ] ? (1, 2]

1 2

C. (0, 2]

D. (0, ] ? (1, 2]

1 2

12. 已知函数 f (x) ? x ? 2 ? 2x ? 2015 ? x ? 2 ? 2x ? 2015 (x ? R ) ,则使方程

f (m2 ? 3m ? 2) ? f (m ?1) 成立的整数 ..m 的个数是
A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 无穷多个

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。请将答案填写在答题卡对应题号的 位置上。答错位置,书写不清,模棱两可均不得分。

?3 x 2 ? 4, x ? 0 ? 13. 已知函数 f ( x) ? ?? , x ? 0 ,则 f ( f (0)) = ▲. ?0, x ? 0 ?
14.若幂函数 y ? (m2 ? m ?1) xm
2

?2m?3

在 (0, ??) 上是减函数,则实数 m 的值为

▲ 15.实数 a ? 0.3
2

, b ? log

2

0.3 , c ? 2

0.3

,则实数 a, b, c 的大小关系为▲

16.设函数 f (x) ? ?

?2 x , x ? 0 ?log 2 x, x ? 0

,那么函数 y ? f (f (x)) ? 1 的零点的个数为

▲. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分) 已知实数集 R ,集合 A ? { x (x ? 2)(x ? 3) ? 0} ,集合 B ? { x x ? a ? 0} (Ⅰ)当 a ? 1 时,求 (?R A) ? B ; (Ⅱ)设 A ? B ,求实数 a 的取值范围.

18. (本小题满分 10 分) 某自来水厂的蓄水池有 400 吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水 60 吨,同时蓄水池又 向居民小区不间断供水, t 小时内供水总量为 120 6t 吨,其中 0 ? t ? 24 . (Ⅰ) 从供水开始到第几小时,蓄水池中的存水量最少? 最少水量是多少吨? (Ⅱ) 若蓄水池中水量少于 80 吨时,就会出现供水紧张现象,请问:在一天的 24 小时内, 大约有几小时出现供水紧张现象?

19.(本小题满分 12 分) 记 min ? p, q? ? ?

? p, p ? q , 若函数 f ( x) ? min{3 ? log 1 x,log 2 x} . ?q, p ? q 4

(Ⅰ)用分段函数形式写出函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)求不等式 f ( x) ? 2 的解集. 20. (本小题满分 12 分)
x 已知函数 y ? f (x) 的定义域为 R , 且对任意实数 x 恒有 2 f (x) ? f ( ? x) ? a ? 0

(a ? 0 且 a ? 1 ) 成立.
(Ⅰ) 求函数 f (x) 的解析式; (Ⅱ) 讨论 f (x) 在 R 上的单调性, 并用定义加以证明.

21.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? log 1 ( x2 ? 2ax ? 3) .
2

(Ⅰ) 若函数 f ( x ) 的定义域为 (??,1) ? (3, ??) ,求实数 a 的值; (Ⅱ) 若函数 f ( x ) 的定义域为 R ,值域为 (??, ?1] ,求实数 a 的值; (Ⅲ) 若函数 f ( x ) 在 (??, ?1] 上为增函数, 求实数 a 的取值范围.

22.(本小题满分 13 分) 设函数 f ( x) ?

? 2x ? a ( a , b 为实常数). 2 x ?1 ? b

(Ⅰ)当 a ? b ? 1 时,证明:函数 f ( x ) 不是奇函数; (Ⅱ)设函数 f ( x ) 是实数集 ...R 上的奇函数,求 a 与 b 的值; (Ⅲ) 当 f ( x ) 为奇函数时,设其定义域为 A ,是否存在同时满足下列两个条件的区间 D : (1) D ? A , (2) 对任何 x ? D, c ? D , 都有 f ( x) ? c 2 ? 3c ? 3 成立? 若存在,求出这 样的区间 D ;若不存在,请说明理由.

华中师大一附中 2015-2016 学年度上学期期中检测 高一年级数学参考答案与评分标准
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 1. A2.D3. C4. B5. A6. A 7. C 8. B 9. D 10.B11.D12. B 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13. 3? ? 4 14. m ? 2
2

15. b ? a ? c (或填 c ? a ? b ) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。

16. 2

17.解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, B ? { x x ? 1} . ∵ A ? { x ? 2 ? x ? 3} ∴ ?R A ? { x x ? ?2 或 x ? 3} 故 (?R A) ? B ? { x x ? ?2 或 x ? 1} ………5 分

(Ⅱ)∵ A ? { x ? 2 ? x ? 3}, B ? { x x ? a} , A ? B ,∴ a ? ?2 故实数 a 的取值范围为 ( ? ?, ?2] ………10 分 18. 解:(Ⅰ)设供水 t 小时,水池中存水 y 吨.则

y ? 400 ? 60t ?120 6t ? 60( t ? 6)2 ? 40 (1 ? t ? 24)
当 t ? 6 时, ymin ? 40 ,………5 分 故从供水开始到第 6 小时,蓄水池中的存水量最少,最少水量为 40 吨.

(Ⅱ)依条件知 ? 解得:

? ?60( t ? 6) 2 ? 40 ? 80 ? ?0 ? t ? 24

8 32 32 8 ?t? ? ?8 ∴ 3 3 3 3 答:一天 24 小时内大约有 8 小时出现供水紧张.………10 分

?3 ? log 1 x, 3 ? log 1 x ? log2 x ? 4 4 19.解: (Ⅰ) f ( x) ? min{3 ? log 1 x,log 2 x} ? ? 3 ? log 1 x ? log2 x 4 ?log2 x , 4 ?

由 3 ? log 1 x ? log 2 x 得: 3 ?
4

1 log 2 x ? log 2 x, 化简得 log2 x ? 2 ,解得: x ? 4 ; 2

同理由 3 ? log1 x ? log2 x 解得: 0 ? x ? 4 .
4

?log2 x, 0 ? x ? 4 ? 所以 f ( x) ? ?3 ? log x, x ? 4 . 1 ? 4 ?

………6 分

(Ⅱ)不等式 f ( x) ? 2 等价于 ?

? x ? 4, ?0 ? x ? 4, ? 或 ?3 ? log x ? 2 1 ?log2 x ? 2 ? 4 ?

解得: 0 ? x ? 4 或 x ? 4 , 所以不等式 f ( x) ? 2 的解集为 (0,4) ? (4,??) . ……… 12 分

20.解: (Ⅰ) ∵ y ? f (x) 对任意实数 x 恒有:

2 f (x) ? f ( ? x) ? a x ? 0 ……①

用 ?x 替换 ①式中的 x 有: 2 f ( ? x) ? f (x) ? a ? x ? 0 ……② ①×②-②得: f (x) ?

a ? x ? 2a x (x ? R) ……… 6 分 3

(Ⅱ) 当 a ? 1 时,函数 g (x) ? a ? x 为单调减函数, 函数 h(x) ? ?2a x 也为单调减函数 ∴ f (x) ?

a ? x ? 2a x 在 R 上为单调减函数. 3

当 0 ? a ? 1 时, 函数 g (x) ? a ? x 为单调增函数, 函数 h(x) ? ?2a x 也为单调增函数 ∴ f (x) ?

a ? x ? 2a x 在 R 上为单调增函数. 3 (a ? x1 ? a ? x2 ) ? 2(a x2 ? a x1 ) 3

证明: 设任意 x1、x2 ? R 且 x1 ? x2 , 则 f (x1 ) ? f (x2 ) ?

?

(a x2 ? a x1 )(1+2a x1 ? x2 ) , ∵ x1、x2 ? R , x1 ? x2 3a x1 ? x2

x x x ?x x ?x (1) 当 a ? 1 时, 则 a 2 ? a 1 ? 0 , a 1 2 >0 , 1 ? 2a 1 2 ? 1 ? 0 , ? f (x1 ) ? f (x2 )

∴ f (x) ?

a ? x ? 2a x 在 R 上是减函数. 3
x x x1 ? x2

(2) 当 0 ? a ? 1 时, 则 a 2 ? a 1 ? 0 , a ∴ f (x) ?

>0 , 1 ? 2a x1 ? x2 ? 1 ? 0 , ? f (x1 ) ? f (x2 )

a ? x ? 2a x 在 R 上是增函数. 3

a ? x ? 2a x 综上: 当 a ? 1 时, f (x) ? 在 R 上是单调减函数; 3
当 0 ? a ? 1 时, f (x) ?

a ? x ? 2a x 在 R 上是单调增函数. 3

………12 分

21.解: (Ⅰ) 依题意知 x ? 2ax ? 3 ? 0 的解集为 (??,1) ? (3, ??) ,所以方程
2

x 2 ? 2ax ? 3 ? 0 的解为: x1 ? 1, x2 ? 3 , 根据韦达定理得: 2a ? 1 ? 3 ,解得: a ? 2 ,
即实数 a 的值为 2 . ………4 分
2

(Ⅱ) 因为函数 f ( x ) 的值域为 (??, ?1] . ∴ f ( x)max ? ?1 , 又 f ( x) ? log 1 ( x2 ? 2ax ? 3) 而函数 f ( x ) 的定义域为 R ∴ u ? x ? 2ax ? 3 的最小值 umin ? 2 . ,
2
2 2 2 2 2 而 u ? x ? 2ax ? 3 ? ( x ? a) ? 3 ? a , ∴ 3 ? a ? 2 , 解得: a ? 1 ,即 a ? ?1 ,

所以实数 a 的值为 1 或 ?1 ;

………8 分

(Ⅲ) 因为 f ( x) ? log 1 ( x2 ? 2ax ? 3) 在 (??, ?1] 上为增函数, 函数 y ? log 1 u 在
2
2

u ? (0, ??) 上是减函数, 所以函数 u ? x 2 ? 2ax ? 3 在 (??, ?1] 上为减函数且 u ? 0 ,
∴?

?a ? ?1 ?a ? ?1 解得: ? , 即 a ? ?1 , 故实数 a 的取值范围为 [?1, ??) . ?1+2a ? 3 ? 0 ?a ? ?2
………13 分

? 2 ?1 1 ? 2x ?1 ?? , 22.解: (Ⅰ)举反例即可. f ( x) ? x ?1 ,∵ f (1) ? 2 5 2 ?1 2 ?1

f (?1) ?

?

1 ?1 1 2 ? , 所以 f (?1) ? ? f (1) , ∴ f ( x) 不是奇函数. 2 4

………3 分

(Ⅱ)∵ f ( x) 是奇函数,∴ f (? x) ? ? f ( x) ,即

? 2?x ? a ? 2x ? a ? ? 对定义域内任意 2 ? x ?1 ? b 2 x ?1 ? b

实数 x 成立. 化简整理得 (2a ? b) ? 2 2 x ? (2ab ? 4) ? 2 x ? (2a ? b) ? 0 , 这是关于 x 的恒等 式, 所以 ?

?2a ? b ? 0, ?2ab ? 4 ? 0

所以 ?

?a ? ?1 ?a ? 1 或? . 又因为函数 f ( x ) 的定义域为 R ,所以 ?b ? ?2 ?b ? 2

?a ? ?1 不合题意. ? ?b ? ?2

综上 a ? 1, b ? 2 ………7 分

?a ? 1 ? 2x ?1 1 1 ?? ? x (Ⅲ) (1)当 ? 时, f (x) 的定义域为 R , f ( x) ? x ?1 , 2 2 ?1 2 ?2 ?b ? 2
1 1 1 ? 1 ,从而 ? ? f ( x) ? ; 2 2 2 ?1 3 1 3 3 3 2 2 ? 而 c ? 3c ? 3 ? (c ? ) ? ? 对任何实数 c 成立; 4 2 2 4 4
x 因为 2 ? 0 ,所以 2 ? 1 ? 1 , 0 ?
x

x

∴ 只要 x 、 c 是实数都有 f ( x) ? c 2 ? 3c ? 3 成立. ∴ D 可以是实数集 R 的任何非空子集, 即 D ? R( D ? ? ) ,对任何 x 、 c 属于 D ,都有

f ( x) ? c 2 ? 3c ? 3 成立.
(2)当 ?

?a ? ?1 ?2 x ? 1 1 1 ?? ? 时,则 f ( x) ? x ?1 , A ? {x ? R x ? 0 或 x ? 0} 2 ?2 2 1 ? 2x ?b ? ?2
1 1 ;当 x ? 0 时, f ( x) ? ; 2 2
2

当 x ? 0 时, f ( x) ? ?

(1)取 D ? (0, ??( ,对任何 x 、 c 属于 D ,都有 f ( x) ? c ? 3c ? 3 成立. ) D ?? )
2 (2)当 c ? 0 , x ? 0 时, c ? 3c ? 3 ? 3 ,解不等式 ?

1 1 5 ? ? 3 得: x ? log 2 . x 2 1? 2 7

2 ] D ? ?) 所以取 D ? (??, log 2 ( , 对任何属于 D 的 x 、c , 都有 f ( x) ? c ? 3c ? 3 成立.

5 7

( 注 : 若学生给出的区间 D 是所求区间的一个具体的子区间,只要每一种情况都有也给满 分)………13


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