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(函数+三角)2012年上海市复兴高级中学高三年级第一学期数学试卷1

时间:2014-11-20


2012 年上海市复兴高级中学高三年级第一学期数学试卷 (函数部分练习
3) 本试卷共有 23 道试题,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 一、 填空题(本大题满分 56 分) 1、函数 y ? log 2 ( x ? 1) 的定义域是 2、若集合 A ? x | x |? 1 ,集合 B ? x 0 ? x ? 2 ,则 A ? B ? 3、化简: cos ?

?

?

?

?
.

.

?? ? ?? ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? ?3 ? ?6 ?
.

4、方程 log3 (2 x ? 1) ? 1 的解 x ?

5、已知函数 f ( x) 是定义在 ( ? ?, ? ? ) 上的偶函数. 当 x ? ( ? ?, 0 ) 时, f ( x) ? x ? x 4 , 则 当 x ? ( 0, ? ? ) 时, f ( x) ? 6、在△ ABC 中,已知 BC ? 8, . .

AC ? 5 ,三角形面积为 12,则 cos 2C ?

7、已知对于任意实数 x ,函数 f ( x) 满足 f (? x) ? f ( x) . 若方程 f ( x) ? 0 有 2013 个实数解, 则这 2013 个实数解之和为
x

.

8、 若曲线 y ? 2 ? 1与直线 y ? b 没有公共点,则 b 的取值范围是_____.

9、已知函数 f ( x) ? x | x | ? px ? q,( x ? R) ,给出下列四个命题: ① f ( x) 为奇函数的充要条件是 q ? 0 ;② f ( x) 的图象关于点 (0, q ) 对称; ③当 p ? 0 时,方程 f ( x) ? 0 的解集一定非空; ④方程 f ( x) ? 0 的解的个数一定不超过两个。其中所有正确命题的序号是 10、若存在 实数 x ? [1, 2] 满足 2 x ? a ? .. 11、若函数 f ( x) ? x ?
2

2 ,则实数 a 的取值范围是 x

256 ? a ? b 的零点都在 ? ??, ?2? x2

?2, ??? 内,

则 a 2 ? b2 的最小值为

12、设集合 A ? R ,如果 x0 ? R 满足:对任意 a ? 0 ,都存在 x ? A ,使得 0 ?| x ? x0 |? a ,

第1页

那么称 x0 为集合 A 的一个聚点,则在下列集合中: (① Z
?

Z ? ② R?

R?

③ ?x | x ?

? ?

1 ? , n ? N* ? n ?

④ ?x | x ?

? ?

n ? , n ? N* ? n ?1 ?

以 0 为聚点的集合有

(写出所有你认为正确结论的序号)

13、已知等差数列 {an } (公差不为零)和等差数列 {bn } ,如果关于 x 的方程

9x2 ? (a1 ? a2 ?

a9 ) x ? b1 ? b2 ?

b9 ? 0 有解,那么以下九个方程 x2 ? a1x ? b1 ? 0 , , x2 ? a9 x ? b9 ? 0 中,无解的方程最多有


x2 ? a2 x ? b2 ? 0, x2 ? a3 x ? b3 ? 0

14、 动点 P( x, y) 在直角坐标平面上能完成下列动作: 先从原点 O 沿正东偏北 ? (0 ? ? ? 方向行走一段时间后,再向正北方向行走,但何时改变方向不定。假定 P( x, y) 速度 为 10 米/分钟,则 P( x, y) 行走 2 分钟时的可能落点区域的面积是 二、选择题(本大题满分 20 分) 15、已知函数 f ( x) ? ?

?
2

)

? 3 x ?1 , x ? 0, ?log2 x, x ? 0.

若 f ? x0 ? ? 3 ,则 x0 的取值范围是

(

)

(A) x0 ? 8 . (B) x0 ? 0 或 x0 ? 8 . (C) 0 ? x 0 ? 8 . 16、函数 y ? 1 ? 1 ? x 2 ( ? 1 ? x ? 0 ) 的反函数图像是 ( )

(D) x0 ? 0 或 0 ? x 0 ? 8 .

y
1

y
1

y

y
?1

1 ?1

O
(A)

x

O

1
(B)

x

O
?1

x
(C) (D)

O x
?1

17、已知函数 f ( x ) ? (A) (2, ) ;

1 2

1 的图像关于点 P 对称,则点 P 的坐标是 4 ? 2x 1 1 (B) (2, ) ; (C) (2, ) ; 4 8





(D) (0,0)

第2页

18、若直角坐标平面内的两点 P、Q 满足条件: ①P、 Q 都在函数 y ? f ( x) 的图像上; ②P、 Q 关于原点对称, 则称点对 (P, Q) 是函数 y ? f ( x) 的一个“友好点对”(点对(P,Q)与(Q,P)看作同一个“友好点对”).

??2 x 2 ? 4 x ? 1 x ? 0 ? 已知函数 f ( x) ? ? 2 x , 则此函数的“友好点对”有( ? x ? 0 ? ? 3

) 对.

A、1 B、2 C、3 D、4 三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 6 题,解答下列各题必须写出必要的步骤. 19、(本题满分 12 分)已知 cos ? ? ?

2 cos ? 2 ?? ? ? 的值. , ? ? ? , ? ? ,求 sin 2? sin ? 3 ? 2 ?

20、(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.
x 已知函数 f ( x) ? log 2 2 ? 1 .(1)求证:函数 f ( x ) 在 ( ? ?, ? ? ) 内单调递增;

?

?

( 2)记 f

?1

( x) 为函数 f ( x) 的反函数 . 若关于 x 的方程 f ?1 ( x) ? m ? f ( x) 在 [1, 2] 上有

解, 求 m 的取值范围.

21、 (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 若函数 y ? f ?x ?,如果存在给定的实数对 ?a , b ? ,使得 f ?a ? x ?? f ?a ? x ? ? b 恒成立,则称 y ? f ?x ? 为“ ? 函数” . 1. 判断下列函数,是否为“ ? 函数” ,并说明理由;① f ?x? ? x 3 ② f ?x ? ? 2 x

2. 已知函数 f ?x ? ? tan x 是一个“ ? 函数” ,求出所有的有序实数对 ?a , b ? .

[来源:学|

22、 (本题满分 16 分,第(1)小题 5 分,第(2)小题 5 分,第(3)小题 6 分)

? f ( x) ? 设 m 为实数,函数 f ( x) ? 2x 2 ? ( x ? m) x ? m , h( x) ? ? x ?0 ?
(1)若 f (1) ≥4,求 m 的取值范围;

x?0 . x?0

第3页

(2)当 m>0 时,求证 h( x) 在 ?m,?? ? 上是单调递增函数;

(3)若 h( x) 对于一切 x ? ?1,2?,不等式 h( x) ? 1 恒成立,求实数 m 的取值范围.

23、(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 4 分,第 3 小 题满分 10 分. 设函数 f n ( ? ) ? sin n ? ? ( ? 1) n cos n ? , 0 ? ? ?

?
4

,其中 n 为正整数.

(1)判断函数 f1 ( ? )、 f 3 ( ? ) 的单调性,并就 f1 ( ? ) 的情形证明你的结论; (2)证明: 2 f 6 ( ? ) ? f 4 ( ? ) ? cos 4 ? ? sin 4 ?

?

?? cos

2

? ? sin 2 ? ;

?

(3)对于任意给定的正整数 n ,求函数 f n ( ? ) 的最大值和最小值.

2012 年上海市复兴高级中学高三年级第一学期数学试卷(函数部分练习 3)答案
1、 ( 1, ? ? ) 2、 x 1 ? x ? 2

?

?

3、 cos ? . 4、2 5、 ? x ? x 4 6、

7 7、0 8、-1<b<1 25


9、①,②,③ 10、a<3 11、 16 2 12、 ②,③ 15、A 16、C 17、C 18 、 B19 、 解

13、 4 个 14、100 ? -200 原 式

?

2 2

s? i n ?

?

c? o s c o ?s

s i n

第4页

?

1 ? cos 2 ? sin ? ? . sin ? cos ? cos ?



cos ? ? ?
2 c o? s ? ?? s i n? 2 s? in

2 ?? ? , ? ?? , ? ? 3 ? 2 ?
14 2



? sin ? ? 1 ?

2 7 ? 9 3



?

20、 证明: (1) 任取 x1 ? x2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? log 2 2 1 ? 1 ? log 2 2 2 ? 1 ? log 2
x x

?

?

?

?

2 x1 ? 1 , 2 x2 ? 1

2 x1 ? 1 2 x1 ? 1 ? 1, log 2 x2 ?0, x1 ? x2 , ? 0 ? 2 ? 1 ? 2 ? 1 ,? 0 ? x2 2 ?1 2 ?1
x1 x2

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,即函数 f ( x) 在 ( ? ?, ? ? ) 内单调递增.
(2)

f ?1 ( x) ? log 2 ? 2 x ? 1? ( x ? 0)



(3)









?m

??1 f(

) x ? (f

)x

? log 2 ? 2 x ? 1? ? log 2 ? 2 x ? 1? ? log 2

2x ?1 2 ? ? ? log 2 ?1 ? x ? , x 2 ?1 ? 2 ?1 ?

当 1? x ? 2 时 ,

2 2 2 1 2 3 ? ?1? ? 3? ? ? x ? , ? ? 1? x ? ,? m 的取值范围是 ? log 2 ? ? , log 2 ? ? ? . 5 2 ?1 3 3 2 ?1 5 ? 3? ?5? ? ?
x x 解法二: 解方程 log 2 2 ? 1 ? m ? log 2 2 ? 1 ,

?

?

?

?

得 x ? log 2 ?

? 2m ? 1 ? ? 2m ? 1 ? , 1 ? x ? 2, ? 1 ? log ? 2, 2? m ? m ? ? 1? 2 ? ? 1? 2 ?

解得 log 2 ? ? ? m ? log 2 ? ? . ? m 的取值范围是 ? log 2 ? ? , log 2 ? ? ? .

?1? ? 3?

? 3? ?5?

? ?

?1? ? 3?

? 3? ? ?5? ?

21、 (1) 解: ①若 f ?x? ? x 3 是 “ ? 函数” , 则存在实数对 ?a , b ? , 使得 f ?a ? x ?? f ?a ? x ? ? b , 即 a2 ? x2

?

?

3

3 ? b 时,对 x ? R 恒成立 而 x 2 ? a 2 ? 3 b 最多有两个解,矛盾,因此 f ?x? ? x

不是“ ? 函数”

②对一切 x 都成立,存在实数对 ?a , b ? ,使得 2 a? x ? 2 a? x ? 2 2 a ? b 即

存在常数对 a , 22 a 满足 f ?a ? x ?? f ?a ? x ? ? b ,故 f ?x? ? 2 x 是“ ? 函数” .

?

?

第5页

x 是 一 个 “ ? 函 数 ” 设 有 序 实 数 对 ?a , b? 满 足 , 则 ( 2 ) 解 : 函 数 f ?x ? ? t a n
t a? n a ? x ?? t a ? n a ? x? ? b

2






ZXXK]

a ? k? ?

?
2

, k ?Z





t

?aa? x??n t ?aa ? x? ? n ?c
?
2 , m ? Z 时,

x o, 不 t 是常数;

因 此 a ? k? ?

?
2

, k ?Z , 当

x ? m? ?
则有

tana ? tan x tana ? tan x tan2 a ? tan2 x ? ? ?b, 1 ? tana tan x 1 ? tana tan x 1 ? tan2 a tan2 x

即 b tan2 a ?1 tan2 x ? (tan2 a ? b) ? 0 恒成立,

?

?

? ? 2 2 ? ?b ? tan a ? 1 ? 0 ?tan a ? 1 ?a ? k? ? ?? ?? 所以 ? 4 2 b ? 1 ? tan a ? b ? 0 ? ? ? ?b ? 1
当 x ? m? ?

k ?Z

?
2

, m ? Z , a ? k? ?

?
4

时, tan?a ? x?? tan?a ? x? ? ? cot?a ? ? 1

满足 f ?x ? ? tan x 是一个“ ? 函数”的实数对 ?a , b ? ? ? k? ?

? ?

?

? , 1? , k ? Z 4 ?

22、解: (1) f (1) ? 2 ? (1 ? m)1 ? m ? 4 当 m ? 1 时, (1 ? m)(m ? 1) ? 2 ,无解; 当 m ? 1 时, (1 ? m)(1 ? m) ? 2 ,解得 m ? 1 ? 2 . (2)由于 m ? 0, x ? m .所以 h( x) ? 3x ? 所以 m ? 1 ? 2 .

m2 ? 2m . x

3x1 x2 ? m 2 ) 任取 m ? x1 ? x2 , h( x2 ) ? h( x1 ) ? ( x2 ? x1 )( x1 x2
x2 ? x1 ? 0,3x1 x2 ? m2 ? 3m2 ? m2 ? 0, x1 x2 ? 0
即: h( x) 在 ?m,?? ?为单调递增函数. 所以 h( x2 ) ? h( x1 ) ? 0

第6页

, 2] 是单调递增函数, 解二: 由 (2) 结论得:h( x),x ?[1 所以只要 1 ? hmin ( x) ? h(1) ? f (1) ,
得 (1 ? m) 1 ? m ? ?1 ,当 m ? 1 时不等式显然成立; 当 m ? 1 时, 解得:1 ? m ? 2 ,综上得:

m? 2.
? ? ? 23 、 解 : ( 1 ) f1 ( ? )、f 3 (? ) 在 ? 0, 上均为单调递增的函数. 4? ? ?
对于函数

f1 ( ? ) ? sin? ? cos ?





?1 ? ? 2 , ?1、? 2 ? ? 0,

? ?

? ?
4? ?





? ? ? c n?2 o ? ,? s sin?1 ? sin? 2 , cos ? 2 ? cos ?1 , f1 (?1 ) ? f1 (? 2 ) ? ? s ?1 ? i s ?n ? c ?s 2 i 1 o
? f1 ??1 ? ? f1 ?? 2 ?, ?

? ? ? 函数 f1 (? ) 在 ? 0, 上单调递增.(2)? 原式左边 4? ? ?

? 2 sin6 ? ? cos 6 ? ? sin4 ? ? cos 4 ? ? 2 sin 2 ? ? cos 2

?

?

? ? ? ?? sin

? ? ? ?

4

? ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? cos 4 ? ? sin 4 ? ? cos 4 ?

? 1 ? sin 2 2? ? cos 2 2?
又原式右边 ? cos 2 ? ? sin2 ?

?

?

2

? cos 2 2? .

第7页

? 2 f 6 ( ? ) ? f 4 ( ? ) ? cos 4 ? ? sin 4 ?

?

?? cos

2

? ? sin 2 ? .

?

? ? ? ?? ? (3)当 n ? 1 时,函数 f 1 (? ) 在 ? 0, 上单调递增, ? f 1 (? ) 的最大值为 f 1 ? ? ? 0 , ? 4? ?4? ?
最小值为 f1 ?0? ? ?1 . 当 n ? 2 时, f 2 ?? ? ? 1 ,? 函数 f 2 (? ) 的最大、最小值均为 1.

? ? ? ?? ? 当 n ? 3 时,函数 f 3 (? ) 在 ? 0, 上为单调递增.? f 3 (? ) 的最大值为 f 3 ? ? ? 0 , ? 4? ? ?4?
最小值为 f 3 ?0? ? ?1 .当 n ? 4 时,函数 f 4 (? ) ? 1 ?

1 2 ? ? ? sin 2? 在 ? 0, ? 上单调递减, 4? 2 ?

?? ? 1 ? f 4 (? ) 的最大值为 f 4 ?0? ? 1 ,最小值为 f 4 ? ? ? . 下面讨论正整数 n ? 5 的情形: ?4? 2 ? ? ? 当 n 为奇数时,对任意 ?1、? 2 ? ? 0, 4? ? ?
且 ?1 ? ? 2 , 以 及

f n (?1 ) ? f n (? 2 ) ? sin n ?1 ? sin n ? 2 ? cos n ? 2 ? cos n ?1 ,
0 ? sin?1 ? sin? 2 ? 1, 0 ? cos ? 2 ? cos ?1 ? 1


?

? ?

?

?

? ? ? sin n ?1 ? sin n ? 2 , cos n ? 2 ? cos n ?1 ,从而 f n (?1 ) ? f n (? 2 ) .? f n (? ) 在 ? 0, ? 上为单调 4? ?

?? ? 递增,则 f n (? ) 的最大值为 f n ? ? ? 0 , ?4?
最小值为 f 4 ?0? ? ?1 . 当 n 为偶数时,

一方面有 f n (? ) ? sin n ? ? cos n ? ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 ? f n (0) .另一方面, 由于对任意正整数
l?2

2 f 2l (? ) ? f 2l ?2 (? ) ? cos 2l ?2 ? ? sin 2l ?2 ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 0
1 1 1 ?? ? f n ? 2 (? ) ? ? ? n f 2 (? ) ? n ? f n ? ? . ? 2 ?1 ?1 ?4? 22 22
函 数 f n (? ) 的 最 大 值 为

?

??

?

?

f n (? ) ?

f n (0) ? 1 ,
最小值为 f n ?

?? ? ?1? ? ? 2 ? ? . 综上所述,当 n 为奇数时,函数 f n (? ) 的最大值为 0 ,最小值 ?4? ?2?
n

n

?1? 为 ? 1 . 当 n 为偶数时,函数 f n ( ? ) 的最大值为 1 ,最小值为 2 ? ? ?2?

2012 年上海市复兴高级中学高三年级第一学期数学试卷(函数部分练
习)

第8页

本试卷共有 23 道试题,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 一、 填空题(本大题满分 56 分) 1、函数 y ? log 2 ( x ? 1) 的定义域是

( 1, ? ? )

2、若集合 A ? x | x |? 1 ,集合 B ? x 0 ? x ? 2 ,则 A ? B ? 3、化简: cos ?

?

?

?

?

.

?x 1 ? x ? 2 ?

?? ? ?? ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? ?3 ? ?6 ?
2 .

. cos ? .

4、方程 log3 (2 x ? 1) ? 1 的解 x ?

5、已知函数 f ( x) 是定义在 ( ? ?, ? ? ) 上的偶函数. 当 x ? ( ? ?, 0 ) 时, f ( x) ? x ? x 4 , 则 当 x ? ( 0, ? ? ) 时, f ( x) ? 6、在△ ABC 中,已知 BC ? 8, . ? x ? x4

AC ? 5 ,三角形面积为 12,则 cos 2C ?

.

7、已知对于任意实数 x ,函数 f ( x) 满足 f (? x) ? f ( x) . 若方程 f ( x) ? 0 有 2013 个实数解, 则这 2013 个实数解之和为
x

7 25

.0

8、 若曲线 y ? 2 ? 1与直线 y ? b 没有公共点,则 b 的取值范围是_____.-1<b<1 9、已知函数 f ( x) ? x | x | ? px ? q,( x ? R) ,给出下列四个命题:① f ( x) 为奇函数的充要条 件是 q ? 0 ;② f ( x) 的图象关于点 (0, q ) 对称;③当 p ? 0 时,方程 f ( x) ? 0 的解集一定非 空 ; ④ 方 程 f ( x ) ? 0的 解 的 个 数 一 定 不 超 过 两 个 。 其 中 所 有 正 确 命 题 的 序 号 是 ①,②,③ 10、若存在 实数 x ? [1, 2] 满足 2 x ? a ? .. 11、若函数 f ( x) ? x ?
2

2 ,则实数 a 的取值范围是 x

a<3

256 ? a ? b 的零点都在 ? ??, ?2? x2

?2, ??? 内,

则 a 2 ? b2 的最小值为

16 2

12、设集合 A ? R ,如果 x0 ? R 满足:对任意 a ? 0 ,都存在 x ? A ,使得 0 ?| x ? x0 |? a , 那么称 x0 为集合 A 的一个聚点,则在下列集合中: (① Z
?

Z ? ② R?

1 n ? ? ? ? R? ③ ? x | x ? , n ? N * ? ④ ? x | x ? , n ? N* ? n n ?1 ? ? ? ?
(写出所有你认为正确结论的序号)

以 0 为聚点的集合有 ②,③

第9页

13、已知等差数列 {an } (公差不为零)和等差数列 {bn } ,如果关于 x 的方程

9x2 ? (a1 ? a2 ?

a9 ) x ? b1 ? b2 ?

b9 ? 0 有解,那么以下九个方程 x2 ? a1x ? b1 ? 0 , , x2 ? a9 x ? b9 ? 0 中,无解的方程最多有
4

x2 ? a2 x ? b2 ? 0, x2 ? a3 x ? b3 ? 0
个。

14、 动点 P( x, y) 在直角坐标平面上能完成下列动作: 先从原点 O 沿正东偏北 ? (0 ? ? ? 方向行走一段时间后,再向正北方向行走,但何时改变方向不定。假定 P( x, y) 速度 为 10 米/分钟,则 P( x, y) 行走 2 分钟时的可能落点区域的面积是 二、选择题(本大题满分 20 分) 15、已知函数 f ( x) ? ? 100 ? -200

?
2

)



? 3 x ?1 , x ? 0, ?log2 x, x ? 0.

若 f ? x0 ? ? 3 ,则 x0 的取值范围是

(

A

)

(A) x0 ? 8 . (B) x0 ? 0 或 x0 ? 8 . (C) 0 ? x 0 ? 8 . 16、函数 y ? 1 ? 1 ? x 2 ( ? 1 ? x ? 0 ) 的反函数图像是

(D) x0 ? 0 或 0 ? x 0 ? 8 .

( C )

y
1

y
1

y

y
?1

1 ?1

O
(A)

x

O

1
(B)

x

O
?1

x
(C) (D)

O x
?1

17、已知函数 f ( x ) ? (A) (2, ) ;

1 2

1 的图像关于点 P 对称,则点 P 的坐标是 4 ? 2x 1 1 (B) (2, ) ; (C) (2, ) ; 4 8



C



(D) (0,0)

18、若直角坐标平面内的两点 P、Q 满足条件: ①P、 Q 都在函数 y ? f ( x) 的图像上; ②P、 Q 关于原点对称, 则称点对 (P, Q) 是函数 y ? f ( x) 的一个“友好点对”(点对(P,Q)与(Q,P)看作同一个“友好点对”).

第 10 页

??2 x 2 ? 4 x ? 1 x ? 0 ? 已知函数 f ( x) ? ? 2 x , 则此函数的“友好点对”有( x?0 ?? ? 3

) 对.

B

A、1 B、2 C、3 D、4 三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 6 题,解答下列各题必须写出必要的步骤. 19、(本题满分 12 分)已知 cos ? ? ?

2 cos ? 2 ?? ? ? 的值. , ? ? ? , ? ? ,求 sin 2? sin ? 3 ? 2 ?

19、 解 原式 ?

2 2sin ? cos ?

?

cos ? sin ?

?

1 ? c o2s ? ? sin ? c? os

s?i n . ? cos

又 cos ? ? ?

2 7 2 ?? ? , , ? ? ? , ? ? ,? sin ? ? 1 ? ? 9 3 3 ? 2 ?

?

2 cos ? 14 ? ?? sin 2? sin ? 2

20、(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.
x 已知函数 f ( x) ? log 2 2 ? 1 .(1)求证:函数 f ( x ) 在 ( ? ?, ? ? ) 内单调递增;

?

?

( 2)记 f

?1

( x) 为函数 f ( x) 的反函数 . 若关于 x 的方程 f ?1 ( x) ? m ? f ( x) 在 [1, 2] 上有

解, 求 m 的取值范围. 20、 证明: (1) 任取 x1 ? x2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? log 2 2 1 ? 1 ? log 2 2 2 ? 1 ? log 2
x x

?

?

?

?

2 x1 ? 1 , 2 x2 ? 1

x1 ? x2 , ? 0 ? 2x1 ? 1 ? 2x2 ? 1 ,? 0 ?

2 x1 ? 1 2 x1 ? 1 ? 1, log ?0, 2 x2 2 x2 ? 1 2 ?1

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,即函数 f ( x) 在 ( ? ?, ? ? ) 内单调递增.
(2) f
?1

( x) ? log 2 ? 2 x ? 1? ( x ? 0) ,
?1

(3) 解法一:?m ? f

( x) ? f ( x) ? log 2 ? 2 x ? 1? ? log 2 ? 2 x ? 1?
, 当

? log 2

2x ?1 2 ? ? ? log 2 ?1 ? x ? x 2 ?1 ? 2 ?1 ?

1? x ? 2





第 11 页

2 2 2 1 2 3 ? x ? , ? ? 1? x ? , 5 2 ?1 3 3 2 ?1 5
? m 的取值范围是 ? log 2 ? ? , log 2 ? ? ? .

? ?

?1? ? 3?

? 3? ? ?5? ?

x x 解法二: 解方程 log 2 2 ? 1 ? m ? log 2 2 ? 1 ,

?

?

?

?

得 x ? log 2 ?

? 2m ? 1 ? ? 2m ? 1 ? , 1 ? x ? 2, ? 1 ? log ? 2, 2? m ? m ? ? 1? 2 ? ? 1? 2 ?

解得 log 2 ? ? ? m ? log 2 ? ? . ? m 的取值范围是 ? log 2 ? ? , log 2 ? ? ? .

?1? ? 3?

? 3? ?5?

? ?

?1? ? 3?

? 3? ? ?5? ?

21、 (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 若函数 y ? f ?x ?,如果存在给定的实数对 ?a , b ? ,使得 f ?a ? x ?? f ?a ? x ? ? b 恒成立,则称 y ? f ?x ? 为“ ? 函数” . 1. 判断下列函数,是否为“ ? 函数” ,并说明理由;① f ?x? ? x 3 ② f ?x ? ? 2 x

2. 已知函数 f ?x ? ? tan x 是一个“ ? 函数” ,求出所有的有序实数对 ?a , b ? .

[来源:学|

21、 (1) 解: ①若 f ?x? ? x 3 是 “ ? 函数” , 则存在实数对 ?a , b ? , 使得 f ?a ? x ?? f ?a ? x ? ? b , 即 a2 ? x2

?

?

3

3 ? b 时,对 x ? R 恒成立 而 x 2 ? a 2 ? 3 b 最多有两个解,矛盾,因此 f ?x? ? x

不是“ ? 函数” ②对一切 x 都成立,存在实数对 ?a , b ? ,使得 2 a? x ? 2 a? x ? 2 2 a ? b 即存在常数对 a , 22 a 满足 f ?a ? x ?? f ?a ? x ? ? b ,故 f ?x? ? 2 x 是“ ? 函数” . (2)解:函数 f ?x ? ? tan x 是一个“ ? 函数”设有序实数对 ?a , b ? 满足, 则 tan?a ? x ?? tan?a ? x ? ? b 恒成立 当 a ? k? ?

?

?

?
2

, k ? Z 时, tan?a ? x?? tan?a ? x? ? ? cot2 x ,不是常数;

ZXXK]

因此 a ? k? ?

?
2

, k ? Z ,当 x ? m? ?

?
2

, m ? Z 时,

第 12 页

则有

tana ? tan x tana ? tan x tan2 a ? tan2 x ? ? ?b, 1 ? tana tan x 1 ? tana tan x 1 ? tan2 a tan2 x

即 b tan2 a ?1 tan2 x ? (tan2 a ? b) ? 0 恒成立,

?

?

? ? 2 2 ? ?b ? tan a ? 1 ? 0 ?tan a ? 1 ?a ? k? ? ?? ?? 所以 ? 4 2 ? ?b ? 1 ? ?tan a ? b ? 0 ?b ? 1
当 x ? m? ?

k ?Z

?
2

, m ? Z , a ? k? ?

?
4

时, tan?a ? x?? tan?a ? x? ? ? cot?a ? ? 1

满足 f ?x ? ? tan x 是一个“ ? 函数”的实数对 ?a , b ? ? ? k? ?

? ?

?

? , 1? , k ? Z 4 ?

22、 (本题满分 16 分,第(1)小题 5 分,第(2)小题 5 分,第(3)小题 6 分)

? f ( x) ? 设 m 为实数,函数 f ( x) ? 2x 2 ? ( x ? m) x ? m , h( x) ? ? x ?0 ?
(1)若 f (1) ≥4,求 m 的取值范围; (2)当 m>0 时,求证 h( x) 在 ?m,?? ? 上是单调递增函数;

x?0 . x?0

(3)若 h( x) 对于一切 x ? ?1,2?,不等式 h( x) ? 1 恒成立,求实数 m 的取值范围. 22、解: (1) f (1) ? 2 ? (1 ? m)1 ? m ? 4 当 m ? 1 时, (1 ? m)(m ? 1) ? 2 ,无解; 当 m ? 1 时, (1 ? m)(1 ? m) ? 2 ,解得 m ? 1 ? 2 . (2)由于 m ? 0, x ? m .所以 h( x) ? 3x ? 所以 m ? 1 ? 2 .

m2 ? 2m . x

3x1 x2 ? m 2 ) 任取 m ? x1 ? x2 , h( x2 ) ? h( x1 ) ? ( x2 ? x1 )( x1 x2
x2 ? x1 ? 0,3x1 x2 ? m2 ? 3m2 ? m2 ? 0, x1 x2 ? 0
所以 h( x2 ) ? h( x1 ) ? 0 即: h( x) 在 ?m,?? ? 为单调递增函数.

第 13 页

, 2] 是单调递增函数, 解二: 由 (2) 结论得:h( x),x ?[1 所以只要 1 ? hmin ( x) ? h(1) ? f (1) ,
得 (1 ? m) 1 ? m ? ?1 ,当 m ? 1 时不等式显然成立;当 m ? 1 时,解得: 1 ? m ? 2 , 综上得: m ? 2 .

23、(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 4 分,第 3 小 题满分 10 分. 设函数 f n ( ? ) ? sin n ? ? ( ? 1) n cos n ? , 0 ? ? ?

?
4

,其中 n 为正整数.

(1)判断函数 f1 ( ? )、 f 3 ( ? ) 的单调性,并就 f1 ( ? ) 的情形证明你的结论; (2)证明: 2 f 6 ( ? ) ? f 4 ( ? ) ? cos 4 ? ? sin 4 ?

?

?? cos

2

? ? sin 2 ? ;

?

(3)对于任意给定的正整数 n ,求函数 f n ( ? ) 的最大值和最小值.

第 14 页

? ? ? 23、解:(1) f1 ( ? )、f 3 (? ) 在 ? 0, 上均为单调递增的函数. 4? ? ?

? ? ? 对于函数 f1 ( ? ) ? sin? ? cos ? ,设 ?1 ? ? 2 , ?1、? 2 ? ? 0, , 4? ? ?

?

f1 (?1 ) ? f1 (? 2 ) sin?1 ? sin? 2 , cos ? 2 ? cos ?1 , ? f1 ??1 ? ? f1 ?? 2 ?, ?

? ? sin?1 ? sin? 2 ? ? ? cos ? 2 ? cos ?1

?



? ? ? 函数 f1 (? ) 在 ? 0, 上单调递增.(2)? 原式左边 4? ? ?

? 2 sin6 ? ? cos 6 ? ? sin4 ? ? cos 4 ? ? 2 sin 2 ? ? cos 2
2

?

?

? ? ? ?? sin
2

? ? ? ?

4

? ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? cos 4 ? ? sin 4 ? ? cos 4 ?

? 1 ? sin 2? ? cos 2?
又原式右边 ? cos 2 ? ? sin2 ?

?

?

2

? cos 2 2? .

4 s? ? s i n ? ? 2 f 6 (? ) ? f 4 (? ) ? c o 4

?

?? c o s ? ? s i n? ?.
2 2

? ? ? (3)当 n ? 1 时,函数 f 1 (? ) 在 ? 0, 上单调递增, 4? ? ?
?? ? ? f 1 (? ) 的最大值为 f 1 ? ? ? 0 ,最小值为 f1 ?0? ? ?1 . ?4?
当 n ? 2 时, f 2 ?? ? ? 1 ,? 函数 f 2 (? ) 的最大、最小值均为 1.

? ? ? 当 n ? 3 时,函数 f 3 (? ) 在 ? 0, 上为单调递增. 4? ? ?
?? ? ? f 3 (? ) 的最大值为 f 3 ? ? ? 0 ,最小值为 f 3 ?0? ? ?1 . ?4?
当 n ? 4 时,函数 f 4 (? ) ? 1 ?

1 2 ? ? ? sin 2? 在 ? 0, ? 上单调递减, 4? 2 ?

?? ? 1 ? f 4 (? ) 的最大值为 f 4 ?0? ? 1 ,最小值为 f 4 ? ? ? . ?4? 2
下面讨论正整数 n ? 5 的情形:

? ? ? 当 n 为奇数时,对任意 ?1、? 2 ? ? 0, 且 ?1 ? ? 2 , 4? ? ?

? f n (?1 ) ? f n (? 2 ) ? sin n ?1 ? sin n ? 2 ? cos n ? 2 ? cos n ?1 ,
以及 0 ? sin?1 ? sin? 2 ? 1, 0 ? cos ? 2 ? cos ?1 ? 1 ,

?

? ?

?

第 15 页

? sin n ?1 ? sin n ? 2 , cos n ? 2 ? cos n ?1 ,从而 f n (?1 ) ? f n (? 2 ) .
? ? ? ? f n (? ) 在 ? 0, ? 上为单调递增,则 4? ? ?? ? f n (? ) 的最大值为 f n ? ? ? 0 ,最小值为 f 4 ?0? ? ?1 . ?4?
当 n 为偶数时,一方面有 f n (? ) ? sin n ? ? cos n ? ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 ? f n (0) . 另一方面,由于对任意正整数 l ? 2 ,有
2l ?2 2 2 f 2l (? ) ? f 2l ?2 (? ) ? c o 2 sl ?2 ? ? s i n ? co2 s? ? s i n ? ?0,

?

??

?

?

f n (? ) ?

1 1 1 ?? ? f n ? 2 (? ) ? ? ? n f 2 (? ) ? n ? f n ? ? . 2 ?1 ?1 ?4? 22 22
n

?? ? ?1? ? 函数 f n ( ? ) 的最大值为 f n (0) ? 1 ,最小值为 f n ? ? ? 2 ? ? . ?4? ?2?
综上所述,当 n 为奇数时,函数 f n (? ) 的最大值为 0 ,最小值为 ? 1 .

?1? 当 n 为偶数时,函数 f n ( ? ) 的最大值为 1 ,最小值为 2 ? ? ?2?

n

第 16 页


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