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两类曲线积分与格林公式-习题课63637_图文

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两类曲线积分习题课

曲线积分 格林公式

对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分

曲线积分与路径无关

一、基本内容

1.定义:第一类曲线积分(又称对弧长的曲线积分)

n

? ? L

f ( x, y)ds ? lim ? ?0 i?1

f (?i ,?i ) ? ?si

2.存在条件:

当 f ( x, y)在光滑曲线弧L上连续时,

对弧长的曲线积分?L f ( x, y)ds 存在.
3.推广

函数 f ( x, y, z)在空间曲线弧?上对弧长的

曲线积分为

n

? ? ?

f ( x, y, z)ds

?

lim
? ?0

i ?1

f (?i ,?i ,? i ) ? ?si .

第一类曲线积分的计算

设 f ( x, y)在 曲 线 弧L上 有 定 义 且 连 续,

L的









为?? ?

x y

? ?

? ?

(t), (t),

(? ? t ? ? )其 中

?(t),? (t)在[? , ? ]上 具 有 一 阶 连 续 导 数, 则

? ? f ( x, y)ds ?

?
f [?(t),? (t)]

? ?2 (t ) ?? ?2 (t )dt

L

?

(? ? ? )

1. 定积分的下限? 一定要小于上限 ?;
2. f ( x, y)中x, y不彼此独立, 而是相互有关的.

特殊情形

(1) L : y ? ? ( x) a ? x ? b.

? ? f ( x, y)ds ?

b
f [ x,? ( x)]

1 ?? ?2( x)dx.

(a ? b)

L

a

(2) L : x ? ?( y) c ? y ? d.

? ? f ( x, y)ds ?

d
f [? ( y), y]

1 ? ??2( y)dy. (c ? d )

L

c

推广 ? : x ? ? (t), y ? ? (t), z ? ? (t). (? ? t ? ? )

?? f ( x, y, z)ds ?? ? f [? (t),? (t),? (t)] ? ?2(t) ?? ?2(t) ? ??2(t)dt
?
(? ? ? )

几何与物理意义

(1) 当?( x, y)表示 L的线密度时,

M ? ?L ? ( x, y)ds ;

(2)

当 f ( x, y) ? 1时,

? L弧长 ?

ds;
L

(3) 当 f ( x, y)表示立于L上的 柱面在点( x, y)处的高时,

z ? f (x, y)
s

? S柱面面积 ?

f ( x, y)ds.
L

L

(4) 曲线弧对x轴及 y轴的转动惯量 ,

? ? Ix ?

y 2 ?ds,
L

Iy ?

x 2 ?ds.
L

(5) 曲线弧的重心坐标

x ? ?L x?ds , ?L ?ds

y ? ?L y?ds . ?L ?ds

第二类曲线积分(又称对坐标的曲线积分)

?L P( x, y)dx ? ?LQ( x, y)dy ?

? ?L P( x, y)dx ? Q( x, y)dy ? ?LF ? ds.

? ??

??

其中 F ? Pi ? Qj , ds ? dxi ? dyj .

存在条件: 当P( x, y), Q( x, y)在光滑曲线弧L 上连续时, 第二类曲线积分存在.

推广

空间有向曲线弧 ? ?? Pdx ? Qdy ? Rdz.

n

? ? ?

P( x,

y, z)dx

?

lim
? ?0

i ?1

P(?i ,?i

,?

i

)?xi

.

n

? ? Q( x, ?

y,

z)dy

?

lim
??0

i ?1

Q(?i

, ?i

,?i

)?yi

.

n

? ? ?

R(

x,

y,

z)dz

?

lim
??0

i ?1

R(?i

, ?i

,?i

)?zi

.

性质
(1) 如果把 L分成 L1和 L2 , 则
?L Pdx ? Qdy ? ?L1 Pdx ? Qdy ? ?L2 Pdx ? Qdy.
(2) 设 L是有向曲线弧,?L是与L方向相反的 有向曲线弧, 则
??L P( x, y)dx ? Q( x, y)dy ? ??L P( x, y)dx ? Q( x, y)dy
对坐标的曲线积分与 曲线的方向有关.

第二类曲线积分的计算

定理 设P( x, y),Q( x, y)在曲线弧L上有定义且连

续,

L的参数方程为?? ?

x y

?? ??

( t ), ( t ),

当参数t单调地由?变

到?时,点M ( x, y)从L的起点A沿L运动到终点B,

? (t),? (t)在以?及?为端点的闭区间上具有一阶连

续导数,且? ?2 (t) ?? ?2 (t) ? 0,则曲线积分

?L P( x, y)dx ? Q( x, y)dy存在,

且?L P( x, y)dx ? Q( x, y)dy
?
? ?? {P[? (t),? (t)]? ?(t) ? Q[? (t),? (t)]? ?(t)}dt

特殊情形

(1) L : y ? y( x) x起点为a,终点为b.

? ? 则

b
Pdx ? Qdy ? {P[ x, y( x)] ? Q[ x, y( x)]y?( x)}dx.

L

a

(2) L : x ? x( y) y起点为c,终点为d .

? ? 则

d
Pdx ? Qdy ? {P[x( y), y]x?( y) ? Q[x( y), y]}dy.

L

c

?x ? ?(t)

(3) 推广

?

:

? ?

y

?

?

(t

),

t起点? ,终点? .

??z ? ? (t)

?? Pdx ? Qdy ? Rdz

?

?
?? {

P[?

(t

),?

(t

),?

(t

)]?

?(t

)

? Q[? (t),? (t),? (t)]? ?(t)

? R[? (t),? (t),? (t)]? ?(t)}dt

格林公式 设闭区域D由分段光滑的曲线L 围

成,函数P( x, y)及Q( x, y)在D上具有一阶连

续偏导数, 则有

??
D

(

?Q ?x

?

?P ?y

)dxdy

?

?L

Pdx

?

Qdy

其中 L是 D的取正向的边界曲线,

1.Green公式的实质:沟通了沿闭曲线的第二类曲线 积分与该闭曲线所围的闭区域上的二重积分的之间 的联系。
2.它是Newton-Leibniz公式在二重积分情形下的推广.

定理 设D 是单连通域 ,函数

在D 内

具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价:

(1)沿D 中任意光滑闭曲线L,有 ?L Pd x ? Qd y ? 0.

? (2)对D 中任一分段光滑曲线 L,曲线积分 Pd x ? Qd y L

与路径无关, 只与起止点有关.

(3)

在 D 内是某一函数

的全微分,

即 d u( x, y) ? P dx ? Q d y
(4)在D 内每一点都有 ?P ? ?Q .
?y ?x

二、例题



? 计算 e x2? y2 ds, L :由圆周x2 ? y2 ? a2 , L

直线y ? x及x轴 在第一象限中所围图形的边界.

? ? ? ? 提示

e
L

x2 ? y2 ds ? OA

?
A⌒B

?
BO

y

解 OA :y ? 0, 0 ? x ? a, ds ? 1 ? 02dx

? ? e OA

x2 ? y2 ds ?

a 0

e xdx

?

ea

?

1

O

? ? A⌒B ⌒AB

:x
e

?
x2

a cos? , ? y2 ds ?

y ? asin?
?
4 eaad?
0

,
?

0

?
?
4

??
aea

?
4

B
A
x

BO : y ? x, 0 ? x ? 2 a.

y

2

ds ? 1 ? 12dx

? ? e x2? y2ds ?

2a
2e

2x

2dx ? ea ? 1

O

BO

0

?故 e x2? y2ds ? 2(ea ? 1) ? ? aea

L

4

B
Ax

? 例 计算 ( x ? y3 )ds. 其中L是圆周 x2 ? y2 ? R2. L

解 对称性,得

y x2 ? y2 ? R2

? ? ? ( x ? y3 )ds? xds ? y3ds ? 0

L

L

L

O

x

?对 xds, 因积分曲线L关于y轴对称, L

? 被积函数x是L上 关于x的奇函数? xds ? 0 L

?对 y3ds, 因积分曲线L关于x轴对称, L

? 被积函数 y3是L上关于y的奇函数 ?

y3ds ? 0
L

例 计算

其中?为球面

x2 ? y2 ? z2 ? 9 与平面x ? z ? 1的交线.

2



?

:

?? 1 ?2

(x

?

1 )2 2

?

1 4

y2

?

1, 化为参数方程

??

x

?z
x

?1
?

2

cos?

?

1

? : y ? 2sin? 2 ? 0 ? ? ? 2? ?

z ? 1 ? 2 cos?

2

?ds ? (? 2 sin? ) 2

? ( 2 sin? ) 2 d?

? 2d?

?

I

2?
? ?0

9 ? 2d? ? 18?
2

? 例

计算

I

?

L

(x

?

y)dx ? x2 ?

(x y2

?

y)dy ,

其中L为

圆周: x2 ? y2 ? a2 ,方向沿逆时针.



? x ? a cos t

L

:

? ?

y

?

a

sin

t

(t : 0 ? 2? ),

( x ? y)dx ? ( x ? y)dy

I??
L

a2

??

2? 0

(a

cos

t

?

a

s

in

t

)(

?a

sin

t

)? a2

(a

cos

t

?

a

sin

t

)(a

cos

t

)dt

? ? ? ? 2? (sin2 t ? cos2 t)dt ? ? 2? dt ? ?2?

0

0

? 例:计算 xdy ? ydx ,
L 4x2 ? y2 L:以(1,0)为圆心,R(R ? 1)为半径的圆周,逆时针方向。



当 (x,

y)

?

(0,0) 时,?P ?y

?

y2 ? 4x2 (4x2 ? y2 )2

?

?Q ?x

? (1) 当R ? 1时,

xdy ? ydx 4x2 ? y2 ? 0

(2)当 R ? 1时, 作曲线C:??? yx??2rrcsoisn?? ,
其中r ? 0,且足够小,使得C在L内,C取逆时针方向。

? ? ?原式 ?

L?C

xdy ? x2 ?

ydx y2

?

xdy ? ydx C x2 ? y2

? ? 0 ?

2? 0

r

cos?

2r

cos?

? 2r 4r 2

sin?

(?r

sin?

)d?

?? 2? 1 d? ? ?
02

y
例 问 (e y ? x)dx ? ( xe y ? 2 y)dy是否为全微分(x,式y) ?
?
如是, 求其一个原函数.



法一 在全平面成立

?P

?

ey

?

?Q ? O.

?y

?x

?
( x,0)

x

所以上式是全微分式. 全平面为单连通域,

因而一个原函数是:

? u( x, y) ?

( x, y)
(e

y

?

x)dx

?

( xe y

?

2 y)dy

(0,0)

? ? ? x (e0 ? x)dx? y ( xe y ? 2 y)dy

0

0

? x2 ? xe y ? y2

2

法二 这个原函数也可用下法“分组”凑出:
(e y ? x)dx ? ( xe y ? 2 y)dy

? (e ydx ? xe ydy)? ( xdx ? 2 ydy)

?

d( xe y )

?

d????

x2 2

?

y2

????

?

d????

xe

y

?

x2 2

?

y2

????

u( x, y)

u( x, y) ? x2 ? xe y ? y2 2

问 (e y ? x)dx ? ( xe y ? 2 y)dy 是否为全微分式?

如是, 求其一个原函数.

法三

因为函数u满足

?u ? e y ? x ? P ?x

? 故 u ? (e y ? x)dx ? e y x ? x2 ? ? ( y)
2

由此得

y的待定函数

?u ?y

?eyx

? ??(

y)

?

xe y

?

2y

??( y) ? ?2 y

? 从而 ?( y) ? ? 2 ydy ? ? y2 ?C
所以, u( x, y) ? e y x ? x2 ? y2 ? C 2

例 设函数Q( x, y)在xOy平面上有连续的一阶偏导数,

且曲线积分? 2xydx ? Q( x, y)dy,与积分路径无关,且对
L
任意t, 恒有

? ?   (t,1) 2xydx ? Q( x, y)dy ?

(1,t )
2xydx ? Q( x, y)dy

(0,0)

(0,0)

试求Q( x, y)。

解法一:设P( x, y) ? 2xy,由积分与路径无关条件得

?Q ? ?P ? 2x ?x ?y

?Q( x, y) ? x2 ? C( y)

(t ,1)
? 2xydx ? Q( x, y)dy (0,0)

? ? ? ? ?

1 t 2 ? C( y) dy ? t 2 ?

1
C( y)dy

0

0

(1,t )
? 2xydx ? Q( x, y)dy (0,0)

? ? ? ? ?

t 12 ? C( y) dy ? t ?

t
C( y)dy

0

0

? ? 由题设得:t 2 ?

1
C( y)dy ? t ?

t
C( y)dy

0

0

两边对t求导得: 2t ? 1 ? C(t)

?C(t) ? 2t ? 1    ?Q( x, y) ? x2 ? 2 y ? 1.

解法2 由积分与路径无关,存在函数u( x, y),使

?u ? P( x, y) ? 2xy,   ?u ? Q( x, y)

?x

?y

? u( x, y) ? ? 2xydx ? x2 y ? f ( y)

Q( x, y) ? x2 ? f '( y)

由已知积分等式得:

u(t,1) ? u(1, t) ?  t 2 ? f (1) ? t ? f (t)

两边对t求导得:2 t ? 1 ? f '(t) ? f '(t) ? 2t ? 1

? Q( x, y) ? x2 ? 2 y ? 1.

? ?? ? 例. 已知力场 F ? yzi ? zxj ? xyk,问将质点从

原点O沿直线移动到曲面

x2 a2

?

y2 b2

?

z2 c?2

?1

的第一卦限部分上的哪一点时,使 F 所做的

功最大?并求此最大功。

解: 设曲面上一点为A(u, v, w)

? W ? yzdx ? zxdy ? xydz OA OA : x ? 0 ? y ? 0 ? z ? 0 (? t) u?0 v?0 w?0

OA : x ? 0 ? y ? 0 ? z ? 0 (? t) u?0 v?0 w?0

? OA: x ? ut, y ? vt, z ? wt, t : 0 ? 1

? W ? yzdx ? zxdy ? xydz OA

1

? ?[(vt)(wt)d(ut) ? (wt)(ut)d(vt) ? (ut)(vt)d(wt)]

0

1

? 3uvw? t 2dt ? uvw

F

?

0
uvw

?

?

(

u2 a2

?

v2 b2

?

w2 c2

? 1)

F

?

uvw

?

?

(

u2 a2

?

v2 b2

?

w2 c2

? 1)

? ?

Fu?

?

?

vw ? 2?

u a2

?

0

? ??

Fv?

?

uw ? 2?

v b2

?0

?

? ?

Fw?

?

uv ? 2?

w c2

?

0

? ?

u

2

?? a2

?

v2 b2

?

w2 c2

?1

?

u2 a2

?

v2 b2

?

w2 c2

?1 3

abc ( , , ),
333

W ? abc . 33

选择题:

1.已 知L

:

? ? ?

x y

? ?(t) (?
?? (t)

?

t

?

?

)是 一 连 接 两

点A(?

),

B(?

)

的 有 向 光 滑 曲 线 段 , 其中 始 点 为B(? ), 终 点 为A(? ),

则?L f ( x, y)dx ?( D ).

?
A. ?? f [?(t),? (t)]dt
?
C. ?? f [?(t),? (t)]??(t)dt

?
B. ?? f [?(t),? (t)]dt
?
D.?? f [?(t),? (t)]??(t)dt

? 2.曲线积分 (x2 ? y2 )ds , 其中C是圆心在原点、 C
半径为a的圆周,则积分是( C ).

A. 2?a2

B.?a 3

C .2?a 3

D.4?a 3

3.设函数P( x, y),Q( x, y)在单连通区域D上具有一阶
连续偏导数,则曲线积分?L Pdx ? Qdy在D域内与路
径无关的充要条件是(D ).

A. ?Q ? ? ?P B. ?Q ? ?P C. ?Q ? ? ?P D. ?Q ? ?P

?x ?y

?y ?x ?y ?x

?x ?y

4.

P( x,

y)

?

x? x2 ?

y y2

, Q( x,

y) ?

x? x2 ?

y y2

, C1 , C 2是 两 条 包 围 原 点

? 的同向光滑闭曲线,记Ii ?

Pdx ? Qdy,i ? 1,2,则(
Ci

B

).

A. I1 ? I2 ? 0 B. I1 ? I2 ? 0 C.I1 ? I2

D.I1与I


2









视C1

,

C2而

定.

? 5.曲线积分I ? ? (2x cos y ? y sin x)dx ? ( x2 sin y ? cos x)dy,

?

AB

其中弧AB为位于第一象限中的圆弧x2 ? y2 ? 1 : A (1,0) ,

B(0,1), 则 I ? ( C ).

A. 0

B. ? 1

C.? 2

D. 2


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