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高中数学人教版选修2-1教学课件:立体几何中的向量方法(三)_图文

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立体几何中的向量方法(三) 立体几何中的向量方法 ( 三 ) 课本第114页例1的思考(3) 晶体中相对的两个平面之间的距离是多少?(设棱长为1) 分析:面面距离转化为点面距离来求 D1 A1 B1 H C C1 尝试:过 A1点作 A1 H ? 平面 AC 于点 H . 则 A1 H 为所求相对两个面之间 的距离 . D 由 ?A1 AB ? ?A1 AD ? ?BAD 且 AB ? AD ? AA1 A B ???? 2 ??? ? ??? ? 2 可证得 H 在 AC上. ? AC ? ( AB ? BC ) ? 1 ? 1 ? 2cos 60? ? 3 ? AC ? 3 ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? ??? ? ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? AA1 ? AC ? AA1 ? ( AB ? ) ? AA1 ? AB ? AA1 ? BC ? cos60? ? cos60? ? 1. ???? ? BC ???? AA1 ? AC 1 6 几何分析 ? ???? ? ? cos ?A1 AC ? ???? ? sin ?A1 AC ? 3 加向量运算 | AA1 | ? | AC | 3 6 6 ∴所求的距离是 . 妙!妙!妙! ? A1 H ? AA1 sin ?A1 AC ? 3 3 能否用法向量运算求解呢? 几何法较难,如何用向量知识求点到平面的距离? 如何用向量法求点到平面的距离: 如图 A? ? , 空间一点 P 到平面 ? 的距离为 d,已知平面 ? 的 ? ??? ? ? ??? ? ? 一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ? ??? ? ??? ? 则 d=| PO |= | PA | ? cos ?APO. ??? ? ??? ? ? ? ∵ PO ⊥ ? , n ? ? , ∴ PO ∥ n . ??? ? ? ∴cos∠APO=|cos ? PA, n? |. 分析:过 P 作 PO⊥ ? 于 O,连结 OA. ?P ? n ? A? ?O ???? ? ??? ? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ? | PA |? | n | ? | cos? PA, n? | | PA ? n | ??? ? ∴d=| PA ||cos ? PA, n? |= = ?? . | n| |n| 这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面 上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的 绝对值. 思考题分析 思考题: 如图,已知正方形 ABCD 的边长为 4,E、F 分别是 AB、 AD 的中点, GC⊥平面 ABCD, 且 GC=2, 求点 B 到平面 EFG 的距离. z G 分析:用几何法做 相当 困难 , 注 意到坐标 系建立后各点坐标容易 D C 得出 , 又因为 求点到平 x 面的距离可以用法向量 F 来计 算 , 而法 向量总是 可以快速算出. A B E y 果断地用坐标法处理. 详细答案 思考题: 如图,已知正方形 ABCD 的边长为 4,E、F 分别是 AB、 AD 的中点, GC⊥平面 ABCD, 且 GC=2, z 求点 B 到平面 EFG 的距离. G 解:如图,建立空间直角坐标系 C-xyz. 由题设 C(0,0,0),A(4,4,0),B(0,4,0), D(4,0,0) ,E(2,4,0) ??? ? ??? ? ,F(4,2,0),G(0,0,2). EF ? (2, ?2,0), EG ? (?2, ?4, 2), D C ? x 设平面 EFG 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ? ???? ? ??? ? ?2 x ? 2 y ? 0 n ? EF, n ? EG ? ? ? ?2 x ? 4 y ? 2 ? 0 ? ??? ? ? 1 1 ? n ? ( , ,1) ,BE ? (2,0,0) A 3 3 ? ???? F E | n ? BE| 2 11 ?d ? ? . ? 11 n y B 2 11 答:点 B 到平面 EFG 的距离为 . 11 练习(用向量法求距离): 1.如图, ABCD 是矩形, PD ? 平面 ABCD , PD ? DC ? a , AD ? 2a , M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离. P N D M C B A 2.(课本第116页练习2)如图,60°的二面角的棱上有A、B两点, 直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直AB,已 知AB=4,AC=6,BD=8,求CD的长. ? C A B D ? 1答案 2答案 解:如图,以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz a ,0),C(0, a ,0),P(0,0, a) 则D(0,0,0),A(2a ,0,0),B( 2a , 2 2 1 1 ∵ M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,∴ M ( a , 0, 0) N ( a , a, a ) 2 2 2 2 ???? ? ???? ???? ? 1 1 2 2 z ∴ MC ? ( ? a , a , 0) , MN ? (0, a , a ) , MA ? ( a , 0, 0) P 2 2 2 2 ? ???? ? ? ???? ? ? 设 n ? ( x, y, z ) 为平面 MNC 的一个法向量, ∴ n ? MN , n ? MC ? ???? ? 2 N ∴ n ? MC ? ? ax ? ay ? 0 且 C D y 2 ? ???? ? a a M n ? MN ? y ? z ? 0 2 2 2 A 解得 x ? y ? ?z , B 2 ?? x ∴可取 m ? ( 2,1, ?1) ???? ? MA ? n a

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