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第七章 第一节 空间几何体结构特征以及三视图和直观图

时间:2010-12-29


一、空间几何体的结构特征 (1)棱柱的侧棱都 平行且相等 ,上下底面是 棱柱的侧棱都 全等 的多边形. 的多边形 多面体 (2)棱锥的底面是任意多边形,侧面是有一个 棱锥的底面是任意多边形, 棱锥的底面是任意多边形 公共点 的三角形 的三角形. (3)棱台可由 平行于棱锥底面 的平面截棱锥得到, 棱台可由 的平面截棱锥得到, 其上下底面是 相似 多边形. 多边形

(1)圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得到 圆柱可以由 绕其任一边旋转得到. (2)圆锥可以由直角三角形绕其 直角边旋转得到 圆锥可以由直角三角形绕其 旋转得到. (3)圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕 圆台可以由直角梯形绕 旋转体 上下底中点连线 旋转得到,也可由 旋转得到, 平行于棱椎底面 的平面截圆锥得到 的平面截圆锥得到. 旋转得到. (4)球可以由半圆或圆绕 直径 旋转得到 球可以由半圆或圆绕

二、三视图与直观图 得到的, 空间几何体的三视图是用正投影 得到的,这种投影下 三 与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状 视 图 括 正视图 、 侧视图 、 俯视图 . 和大小是 完全相同 的,三视图包

画法来画,基本步骤是: 空间几何体的直观图常用 斜二测 画法来画,基本步骤是: (1)画几何体的底面 画几何体的底面 直 观 在已知图形中取互相垂直的x轴 轴 在已知图形中取互相垂直的 轴、y轴,两轴相 交于点O,画直观图时,把它们画成对应的 ′ 交于点 ,画直观图时,把它们画成对应的x′

轴、y′轴,两轴相交于点O′,且使x′O′y′ ′ 两轴相交于点 ′ 且使 ′ ′ ′ 图 45°(或135°) 已知图形中平行于 轴的线段, 在直观 或 ,已知图形中平行于x轴的线段 轴的线段, = 保持不变 平行于y轴的线段 轴的线段, 图中长度 ,平行于 轴的线段,长度变 为 原来的一半.

(2)画几何体的高 画几何体的高 在已知图形中过O点作 轴垂直 平面, 在已知图形中过 点作z轴垂直于xOy平面,在 点作 轴垂直于 平面 直观图中对应的z′轴 也垂直于 ′ ′ ′平面, 直观图中对应的 轴,也垂直于x′O′y′平面, 直观图 已 知图形中平行于z轴的线段, 知图形中平行于 轴的线段,在直观图中仍平行 轴的线段 不变 . 于z′轴且长度 轴且长度

空间几何体的三视图和直观图在观察角度上有 什么区别? 什么区别? 提示:观察直角:三视图是从三个不同位置观 提示:观察直角: 察几何体而画出的图形; 察几何体而画出的图形;直观图是从某一点观 察几何体而画出的图形. 察几何体而画出的图形

1.三视图如图的几何体是 三视图如图的几何体是

(

)

A.三棱锥 三棱锥 B.四棱锥 四棱锥 C.四棱台 四棱台 D.三棱台 三棱台

解析:由三视图知,该几何体是四棱锥, 解析:由三视图知,该几何体是四棱锥,且其中一条棱 与底面垂直. 与底面垂直 答案: 答案:B

2.如图,几何体的正视图和侧视图都正确的是 如图, 如图

(

)

解析:侧视时,看到一个矩形且不能有实对角线, 解析:侧视时,看到一个矩形且不能有实对角线,故A、D 、 排除,而正视时,应该有一条实对角线, 排除,而正视时,应该有一条实对角线,且其对角线位置 应为B中所示 应为 中所示. 中所示 答案: 答案:B

3.下列结论正确的是 下列结论正确的是 A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 各个面都是三角形的几何体是三棱锥

(

)

B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形 以三角形的一条边所在直线为旋转轴, 以三角形的一条边所在直线为旋转轴 成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则该棱锥可能 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等, 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等 是正六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线

解析: 错误 如图(1)所示 错误.如图 所示, 解析:A错误 如图 所示,由两个结构相同的三棱锥叠放在 一起构成的几何体,各面都是三角形,但它不是棱锥 一起构成的几何体,各面都是三角形,但它不是棱锥. B错误 如图 、(3)所示,若△ABC不是直角三角形,或是直 错误.如图 所示, 不是直角三角形, 错误 如图(2)、 所示 不是直角三角形 角三角形但旋转轴不是直角边,所得的几何体都不是圆锥. 角三角形但旋转轴不是直角边,所得的几何体都不是圆锥. C错误 若六棱锥的所有棱都相等,则底面多边形是正六边形 错误.若六棱锥的所有棱都相等 则底面多边形是正六边形. 错误 若六棱锥的所有棱都相等, 由几何图形知,若以正六边形为底面, 由几何图形知,若以正六边形为底面,侧棱长必然要大于底 正确. 面边长.D正确 面边长 正确

答案: 答案:D

4.如图所示为长方体木块堆成的几何体的三视图,此几何体 如图所示为长方体木块堆成的几何体的三视图, 如图所示为长方体木块堆成的几何体的三视图 共由 块木块堆成. 块木块堆成

解析:由三视图知, 解析:由三视图知,由4块木 块木 块组成. 块组成 答案: 答案:4

5.如图,矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直 如图,矩形 ′ ′ ′ ′ 如图 观图,其中 ′ ′ 观图,其中O′A′=6 cm,O′C′=2 cm,则原图形的形状 , ′ ′ , 是 .

解析:将直观图还原得? 解析:将直观图还原得?OABC, , 则∵O′D′= ′ ′ OD=2O′D′=4 = ′ ′ O′C′=2 ′ ′ cm, , cm, ,

C′D′=O′C′=2 cm,∴CD=2 cm, ′ ′ ′ ′ , = , OC= = =2 cm,

OA=O′A′=6 cm=OC,故原图形为菱形 = ′ ′ = ,故原图形为菱形. 答案: 答案:菱形

1.几种特殊的四棱柱 几种特殊的四棱柱 平行六面体、长方体、正方体、 平行六面体、长方体、正方体、直四棱柱等都是一些特殊 的四棱柱,要特别注意. 的四棱柱,要特别注意. (1)直四棱柱不一定是直平行六面体 直四棱柱不一定是直平行六面体. 直四棱柱不一定是直平行六面体 (2)正四棱柱不一定是正方体 正四棱柱不一定是正方体. 正四棱柱不一定是正方体 (3)长方体不一定是正四棱柱 长方体不一定是正四棱柱. 长方体不一定是正四棱柱

2.几种常见的多面体的结构特征 几种常见的多面体的结构特征 (1)直棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱.特别地,当底面是正多 直棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱 特别地 特别地, 直棱柱 边形时,叫正棱柱 如正三棱柱 正四棱柱). 如正三棱柱, 边形时,叫正棱柱(如正三棱柱,正四棱柱 (2)正棱锥:指的是底面是正多边形,且顶点在底面的射影 正棱锥:指的是底面是正多边形, 正棱锥 是底面中心的棱锥.特别地, 是底面中心的棱锥 特别地,各条棱均相等的正三棱锥又叫 特别地 正四面体. 正四面体 (3)平行六面体:指的是底面为平行四边形的四棱柱. 平行六面体:指的是底面为平行四边形的四棱柱 平行六面体

平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有 多个,如两组对边分别平行,类似地, 多个,如两组对边分别平行,类似地,写出空间中的一个 四棱柱为平行六面体的两个充要条件: 四棱柱为平行六面体的两个充要条件: 充要条件① 充要条件① 充要条件② 充要条件② (写出你认为正确的两个充要条件 写出你认为正确的两个充要条件) 写出你认为正确的两个充要条件 ; .

【解】 ①两组相对侧面分别平行 ②一组相对侧面平行且全等 ③对角线交于一点且互相平分 ④底面是平行四边形. 底面是平行四边形 任选两个即可. 任选两个即可

1.设有四个命题: 设有四个命题: 设有四个命题 ①底面是矩形的平行六面体是长方体; 底面是矩形的平行六面体是长方体; ②棱长相等的直四棱柱是正方体; 棱长相等的直四棱柱是正方体; ③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行 六面体; 六面体; ④对角线相等的平行六面体是直平行六面体. 对角线相等的平行六面体是直平行六面体 以上四个命题中, 以上四个命题中,真命题的个数是 A.1 C.3 B.2 D.4 ( )

解析:命题①不是真命题,因为底面是矩形, 解析:命题①不是真命题,因为底面是矩形,若侧棱不垂 直于底面,这时四棱柱仍然是斜平行六面体 命题 命题② 直于底面,这时四棱柱仍然是斜平行六面体.命题②不是真 命题,若底面是菱形, 命题,若底面是菱形,底面边长与侧棱长相等的直四棱柱 不是正方体.命题③也不是真命题, 不是正方体 命题③也不是真命题,因为有两条侧棱垂直于 命题 底面一边,这时两个相对的侧面是矩形,但是不能推出侧 底面一边,这时两个相对的侧面是矩形, 棱与底面垂直.命题④是真命题,由对角线相等, 棱与底面垂直 命题④是真命题,由对角线相等,可得出平 命题 行六面体的对角面是矩形,从而推得侧棱与底面垂直, 行六面体的对角面是矩形,从而推得侧棱与底面垂直,这 个平行六面体是直平行六面体. 个平行六面体是直平行六面体 答案: 答案:A

1.三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前 三视图的正视图、侧视图、 三视图的正视图 方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.画三视图的 正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线 画三视图的 基本要求是:正俯一样长,俯侧一样宽,正侧一样高 基本要求是:正俯一样长,俯侧一样宽,正侧一样高. 2.由三视图想象几何体特征时要根据“长对正、宽相等、高 由三视图想象几何体特征时要根据“长对正、宽相等、 由三视图想象几何体特征时要根据 平齐”的基本原则. 平齐”的基本原则.

【注意】 严格按排列规则放置三视图 并用虚线标出长 注意】 严格按排列规则放置三视图.并用虚线标出长 宽高的关系.有利于准确把握几何体的结构特征 宽高的关系 有利于准确把握几何体的结构特征. 有利于准确把握几何体的结构特征 3.对于简单几何体的组合体,在画其三视图时,首先应分 对于简单几何体的组合体,在画其三视图时, 对于简单几何体的组合体 清它是由哪些简单几何体组成的,然后再画出其三视图 清它是由哪些简单几何体组成的,然后再画出其三视图.

(2009·福建高考 如下图,某几何体的正视图与侧 福建高考)如下图 福建高考 如下图, 视图都是边长为1的正方形, 视图都是边长为 的正方形,且体积为 的正方形 俯视图可以是 ,则该几何体的 ( )

【解析】 法一:∵体积为 解析】 法一: 选C.

,而高为1,故底面积为 而高为 ,



法二:选项A得到的几何体为正方体,其体积为 ,故排除 ; 得到的几何体为正方体, 法二:选项 得到的几何体为正方体 其体积为1,故排除A; 而选项B、 所得几何体的体积都与 有关,排除B、 ; 所得几何体的体积都与π有关 而选项 、D所得几何体的体积都与 有关,排除 、D;易知选 符合. 项C符合 符合 【答案】 C 答案】

2.(2009·广州模拟 如图所示的图形是由若干个小正方体所叠 广州模拟)如图所示的图形是由若干个小正方体所叠 广州模拟 成的几何体的侧视图与俯视图, 成的几何体的侧视图与俯视图,其中俯视图的小正方形中 的数字表示该几何体在同一位置上叠放的小正方体的个数, 的数字表示该几何体在同一位置上叠放的小正方体的个数, 则这个几何体的正视图是 ( )

解析:从俯视图可看出,该几何体从右到左能分别看到 、 解析:从俯视图可看出,该几何体从右到左能分别看到3、 2、1块小正方体 、 块小正方体 块小正方体. 答案: 答案:A

1.用斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积 ′与原平 用斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积S′ 用斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积 面图形的面积S之间的关系是 ′ 面图形的面积 之间的关系是S′= 之间的关系是 2.对于图形中与 轴、y轴、z轴都不平行的线段,可通过确 对于图形中与x轴 轴 轴都不平行的线段 轴都不平行的线段, 对于图形中与 定端点的办法来解决,即过端点作坐标轴的平行线段, 定端点的办法来解决,即过端点作坐标轴的平行线段,再 借助所作的平行线段确定端点在直观图中的位置. 借助所作的平行线段确定端点在直观图中的位置

(2010·扬州模拟 用斜二测画法画一个水平放置的 扬州模拟)用斜二测画法画一个水平放置的 扬州模拟 平面图形的直观图为如图所示的一个正方形, 平面图形的直观图为如图所示的一个正方形,则原来的图 形是 ( )

【解析】 由直观图可知,在直观图中多边形为正方形, 解析】 由直观图可知,在直观图中多边形为正方形, 对角线长为 角线长为2 角线长为 【答案】 A 答案】 . ,所以原图形为平行四边形,位于y轴上的对 所以原图形为平行四边形,位于 轴上的对

3.本例中的条件不变,求原平面图形的面积. 本例中的条件不变,求原平面图形的面积 本例中的条件不变 解:由该例解法知,原平面图形是边长为1,高为 由该例解法知,原平面图形是边长为 ,高为2 平行四边形, 面积 = × 平行四边形,∴面积S=1×2 =2 . 的

三视图是新课标中新增加的内容,对考生要求较低, 三视图是新课标中新增加的内容,对考生要求较低, 一般不会直接考查作图, 一般不会直接考查作图,但经常会与立体几何中有关的计算 问题融合在一起,如面积、体积的计算, 问题融合在一起,如面积、体积的计算,从而考查考生的空 间想象能力,因此要对常见的几何体的三视图有所理解, 间想象能力,因此要对常见的几何体的三视图有所理解,并 能够进行识别和判断.2009年山东卷巧妙地利用组合考查了 年山东卷巧妙地利用组合考查了 能够进行识别和判断 由三视图还原几何体及体段的计算. 由三视图还原几何体及体段的计算

(2009·山东高考 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何 山东高考)一空间几何体的三视图如图所示 山东高考 一空间几何体的三视图如图所示, 体的体积为 ( )

A.2π +

B.4π +
D.4π +

C.2π +

[解析 由几何体的三视图可知,该几何体是由一个底面直 解析] 由几何体的三视图可知, 解析 径和高都是2的圆柱和一个底面边长为 侧棱长为2的正 径和高都是 的圆柱和一个底面边长为 2 ,侧棱长为 的正 四棱锥叠放而成.故该几何体的体积为 四棱锥叠放而成 故该几何体的体积为

[答案 C 答案] 答案

求组合体的体积关键是认清它的基本结构,分别求解, 求组合体的体积关键是认清它的基本结构,分别求解,同 学们思考一下,若将本题中的俯视图改为如图形式,其体 学们思考一下,若将本题中的俯视图改为如图形式, 积又是多少? 积又是多少?


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