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高中数学第三章直线与方程章末整合提升课件新人教a版必修2_图文

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新课标导学

数 学
必修② ·人教A版

第三章

直线与方程
章末整合提升

专题突破

专题一

?直线的倾斜角与斜率

直线的倾斜角和斜率是直线方程中最基本的两个概念,它们从“形”与 “数”两个方面刻画了直线的倾斜程度.

(1)倾斜角的范围是[0°,180°).
(2)倾斜角与斜率的对应关系 ①α≠90°时,k=tanα; ②α=90°时,斜率不存在.

(3)倾斜角与斜率的单调性问题 当直线 l 的倾斜角 α 从 0° 增大到 90° 时,直线 l 的斜率从 0 增大到+∞;当 直线 l 的倾斜角 α 从 90° 增大到 180° 时,直线 l 的斜率从-∞增大到 0. y2-y1 (4)斜率公式: 经过 A(x1, y1), B(x2, y2)(x1≠x2)两点的直线的斜率公式 k= x2-x1 (x1≠x2),应用时注意其适用的条件 x1≠x2,当 x1=x2 时,直线的斜率不存在.

已知直线 l 过点 P(1,1)且与以 A(-1,0)、B(3,-4)为端点的线段相 交,求直线 l 的斜率的取值范围. 导学号 09024856

[ 解析]

如图所示,直线 PA 的斜率

1-0 1 kPA= =2, 1-?-1? 直线 PB 的斜率 1-?-4? 5 kPB= =-2. 1-3

当直线 l 绕着点 P 由 PA 旋转到与 y 轴平行的位置 PC 时, 它的斜率变化范围 1 是[2,+∞), 当直线 l 绕着点 P 由 PC 旋转到 PB 的位置时, 它的斜率的变化范围是(-∞, 5 -2]. 5 1 ∴直线 l 的斜率的取值范围是(-∞,-2]∪[2,+∞).

『规律方法』 类讨论的思想方法.

借助数形结合方法既可以定性地分析倾斜角与斜率的关

系,也可以定量地求解倾斜角与斜率的取值范围,此外在特殊位置处应利用分

专题二

?直线方程

求直线方程的主要方法是待定系数法,要掌握直线方程五种形式的适用条 件及相互转化,能根据条件灵活选用方程,要注意各种直线方程的适用条件.
过点 P(-1,0)、Q(0,2)分别作两条互相平行的直线,使它们在 x 轴 上截距之差的绝对值为 1,求这两条直线的方程. 导学号 09024857

[ 解析]

(1)当两条直线的斜率不存在时,两条直线的方程分别为 x=-1,x

=0,它们在 x 轴上截距之差的绝对值为 1,满足题意.

(2)当直线的斜率存在时,设其斜率为 k,则两条直线的方程分别为 y=k(x+ 1),y=kx+2. 2 令 y=0,分别得 x=-1,x=-k . 2 由题意得|-1+k |=1,即 k=1. 则直线的方程为 y=x+1,y=x+2, 即 x-y+1=0,x-y+2=0. 综上可知,所求的直线方程为 x=-1,x=0,或 x-y+1=0,x-y+2=0.

专题三 ?两条直线的位置关系
(1)已知直线的斜截式方程:l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则l1∥l2?k1= k2,且b1≠b2;

l1⊥l2?k1k2=-1;
l1与l2相交?k1≠k2.

(2)已知直线的一般式方程:
l1:A1x+B1y+C1=0, l2:A2x+B2y+C2=0, 则:l1∥l2?A1B2=A2B1且A1C2≠A2C1; l1⊥l2?A1A2+B1B2=0;

l1与l2相交?A1B2≠A2B1.
(3)注意满足各种条件的直线方程的设法.

已知两条直线 l1:ax-by+4=0 和 l2:(a-1)x+y+b=0,分别求 满足下列条件的 a、b 的值. 导学号 09024858 (1)直线 l1 过点(-3,-1),并且直线 l1 与直线 l2 垂直; (2)直线 l1 与直线 l2 平行,并且坐标原点到 l1、l2 的距离相等.
[ 解析] (1)∵l1⊥l2,∴a(a-1)+(-b)=0,即 a2-a-b=0. ① ②

又点(-3,-1)在 l1 上,∴-3a+b+4=0. 由①②解得 a=2,b=2.

(2)∵l1∥l2 且 l2 的斜率为 1-a, a a ∴l1 的斜率也存在,b=1-a,b= , 1- a 故 l1 与 l2 的方程分别为 4?a-1? a l1:(a-1)x+y+ a =0,l2:(a-1)x+y+ =0. 1 -a ∵坐标原点到 l1,l2 的距离相等, a-1 2 a ∴4| a |=| |,a=2 或 a=3. 1-a
? ?a=2 因此? ? ?b=-2

2 ? ?a= ,或? 3 . ? ?b=2

专题四

?点、直线间的距离

(1)两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式|P1P2|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2. |Ax0+By0+C| (2)点 P(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离为 d= . 2 2 A +B (3)两平行直线 l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0(C1≠C2)之间的距离 |C1-C2| 为 d= 2 2. A +B (4)当直线垂直于坐标轴时画图求解即可,不必用公式. 求点到直线的距离时,要注意把直线方程化成一般式的形式;求两条平行线 间的距离时,先把平行线方程中 x、y 的对应项系数转化为相等的形式,再利用 距离公式求解,也可转化成点到直线的距离求解.

已知三条直线 l1:2x-y+a=0(a>0),直线 l2:-4x+2y+1=0 和 7 5 直线 l3:x+y-1=0,且 l1 与 l2 的距离是 10 . 导学号 09024859 (1)求 a 的值; (2)能否找到一点 P,使得 P 点同时满足下列三个条件: ①P 是第一象限的点; 1 ②P 点到 l1 的距离是 P 点到 l2 的距离的2; ③P 点到 l1 的距离与 P 点到 l3 的距离之比是 2︰ 5.若能,求出 P 点坐标; 若不能,说明理由.

[ 解析]

1 (1)l2 即 2x-y-2=0,

1 |a-?-2?| 7 5 ∴l1 与 l2 的距离 d= 2 2= 10 , 2 +?-1? 1 |a+2| 7 5 1 7 ∴ = 10 ,∴|a+2|=2, 5 ∵a>0,∴a=3.

(2)设点 P(x0,y0),若 P 点满足条件②, 则 P 点在与 l1,l2 平行的直线 l′:2x-y+C=0 上, 1 |C-3| 1 |C+2| 13 11 且 =2· ,即 C= 2 或 C= 6 , 5 5 13 11 ∴2x0-y0+ 2 =0,或 2x0-y0+ 6 =0; 若 P 点满足条件③,由点到直线的距离公式, |2x0-y0+3| 2 |x0+y0-1| 有 = · , 5 5 2 即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|, ∴x0-2y0+4=0 或 3x0+2=0;

由于 P 在第一象限,∴3x0+2=0 不可能. 13 联立方程 2x0-y0+ 2 =0 和 x0-2y0+4=0, ? ?x0=-3 解得? ,应舍去. 1 y= ? ? 0 2 1 ? 11 ? ?x0=9 ?2x0-y0+ =0 6 由? ,解得? 37 ? ? ?x0-2y0+4=0 y= ? 0 18

.

1 37 ∴P(9,18)即为同时满足三个条件的点.

专题五

?对称问题

(1)在对称问题中,点关于直线的对称是最基本的也是最重要的对称,解决
此类问题要抓住两点:一是以已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴 上;二是已知点与对称点的连线与对称轴垂直. (2)与对称有关的最值问题. 在直线l上找一点P到直线两侧两定点A、B的距离之和最小,则点P必在线段 AB上,所以要将l同侧的点利用对称转化为异侧的点. 在直线l上找一点P到直线同侧两点A,B的距离之差最大,则点P必定在线段 AB(或BA)的延长线上,所以要将l异侧的点利用对称转化为同侧的点.

可以简单记为“异侧和最小,同侧差最大”.

已知点 A(3,1),在直线 x-y=0 和 y=0 上分别有 M 和 N 使△AMN 的周长最短,求点 M,N 的坐标. 导学号 09024860
[ 解析] 如图所示, 点 A 关于直线 x-y=0 的对称点为 A1(1,3), 点 A 关于直

线 y=0 的对称点为 A2(3,-1), ∵|AM|=|A1M|,|AN|=|A2N|, ∴|AM|+|MN|+|AN|=|A1M|+|MN|+|A2N|≥|A1A2|, ∴连接 A1A2,与直线 x-y=0 和 y=0 的交点则分别 为 M,N 点.

∵直线 A1A2 的方程为 2x+y-5=0, 5 5 5 ∴分别与直线 x-y=0 和 y=0 联立得,交点 M(3,3),N(2,0). 5 5 5 故△AMN 的周长最短时,点 M(3,3),N(2,0).

专题六

?分类讨论思想

分类讨论思想其实质就是将整体问题化为部分问题来解决.在解题过程 中,需选定一个标准,根据这个标准划分成几个能用不同形式解决的小问题, 从而使问题得到解决. 在本章中涉及到分类讨论的问题主要是由直线的斜率是否存在及直线的点 斜式、斜截式、两点式、截距式的局限性引起的分类讨论问题.

设直线 l 的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R)在两坐标轴上的截距 相等,求直线 l 的方程. 导学号 09024861
[ 解析] ①当 2-a=0,即 a=2 时,直线经过原点,满足条件,此时直线的 方程为:3x+y=0. ②当 a=-1 时,直线在 x 轴上无截距,不符合题意,故当 a≠-1 且 a≠2 时,由题意得: a-2 =a-2,解得:a=0. a+1 此时直线的方程为:x+y+2=0. 综上,所求直线方程为 3x+y=0 或 x+y+2=0.

专题七

?数形结合的思想方法

数学结合的思想是一种重要的思想方法,数形结合的应用大致分为两类: 第一类“以数解形”——就是有些图形太过于复杂或过于简单,直接观察不易求

解,这时需要给图形赋值;第二类“以形助数”——借助图形的直观性阐明数之
间的关系.

已知:x,y 满足 2x+3y-12=0(0≤x≤9),求 x2+y2-2x+4y 的最 小值. 导学号 09024862
[ 解析] 令 R=x2+y2-2x+4y=(x-1)2+(y+2)2-5,

又点(x,y)是线段 AB 上的动点,与定点(1,-2) 的距离 d= ?x-1?2+?y+2?2, ∴R=d2-5. 显然,当 PQ⊥AB 时,R 取最小值,由点到直线 191 距离公式知 Rmin= 13 .

专题八

?转化与化归思想

数学问题的解答离不开转化与化归.利用它把代数问题几何化,几何问题

代数化,将不熟悉的数学问题转化为熟悉的数学问题,可使复杂的数学问题直
观化、简单化、具体化,从而使问题快速得到解决.

在直线 2x+3y=6 上求一点 P(x,y),使 S=xy 的值最大.

[ 解析]

6-2x ∵点 P(x,y)在 2x+3y-6=0 上,∴y= 3 .

导学号 09024863

x?6-2x? 2 2 2 32 3 ∵S=xy= =-3(x -3x)=-3(x-2) +2. 3 3 ∴当 x=2时,S 取得最大值,此时 y=1, 3 即点 P 的坐标为(2,1).


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