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山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试数学(文)试题

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青岛市高三统一质量检测数学(文科) 一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集 U ? R , 集合 M ? { x | x ? 1 或 x ? ?1 },N ? ? x | 0 ? x ? 2? , N ? (?U M ) ? 则 A. ? x | ?2 ? x ? 1? B. ? x | 0 ? x ? 1? C. ? x | ?1 ? x ? 1? D. ? x | x ? 1?

2. i 是虚数单位,复数 A. 2 B. ? 2

2i 的实部为 1? i C. 1 D. ? 1

3. 下列函数中周期为 ? 且为偶函数的是

A. y ? sin( 2 x ?

?
2

)

B. y ? cos(2 x ?

?
2

)

C. y ? sin( x ?

?
2

)

D. y ? cos( x ?

?
2

)

4.函数 f ( x) ? 1 ? x log 2 x 的零点所在区间是
1 1 A. ( , ) 4 2 1 B. ( ,1) 2

C. (1, 2)

D. (2,3)

5. 已知 m , n 为两条不同的直线, ? 、 ? 为两个不同的平面,则下列命题中正确 的是 A.若 l ? m , l ? n ,且 m, n ? ? ,则 l ? ? B.若平面 ? 内有不共线的三点到平面 ? 的距离相等,则 ? // ? C.若 m ? ? , m ? n ,则 n // ? D.若,则 m ? ? 6. 函数 y ? 21? x 的大致图象为

y
1
O

y
1 1

y

y
1

x
B

O

x
C

O

x

O

x

A

D

7.一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左视 图均为半径是 2 的圆,则这个几何体的体积是
正视图 左视图

俯视图

A.

32? 3

B. 8?

C.

16? 3

D. 32?

8.已知抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,准线为 l ,点 P 为抛物线上一点,且在第一象 限, PA ? l ,垂足为 A , PF ? 4 ,则直线 AF 的倾斜角等于
3? 5? D. 4 6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 9. 若两个非零向量 a , b 满足 | a ? b |?| a ? b |? 2 | a | ,则向量 a ? b 与 a 的夹角为

A.

7? 12

B.

2? 3

C.

A.

?
6

3 ? x, x ? 0 10. 已知函数 f ( x) ? ? 2 ,若函数有三个不同的零点,则实数 m 的取值范 ? x ? x, x ? 0

B.

?

C.

2? 3

D.

5? 6

围为
1 A. [? ,1] 2 1 D. (? , 0] 4 1 B. [? ,1) 2 1 C. (? , 0) 4

11.已知函数 f ( x) 对定义域 R 内的任意 x 都有 f ( x) = f (4 ? x) ,且当 x ? 2 时其导函 数 f ?( x) 满足 xf ?( x) ? 2 f ?( x), 若 2 ? a ? 4 则 A. f (2a ) ? f (3) ? f (log 2 a) C. f (log 2 a ) ? f (3) ? f (2a ) B. f (3) ? f (log 2 a ) ? f (2a ) D. f (log 2 a ) ? f (2a ) ? f (3)

b a 12. 定义区间 (a, b) ,[a, b) , (a, b] ,[a, b] 的长度均为 d? ? . 用 [ x ] 表示不超
过 x 的最大整数,记 {} x [ ] x ? ?x,其中 x ? R .设 f() []{ , gx ? ? ,若用 x? ? x x } () x 1

d 表示不等式 f( )? ( )解集区间的长度,则当 0 ≤ x ≤ 3 时,有 x gx
A. d ? 1 B. d ? 2 C. d ? 3 D. d ? 4
开始

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13. 某程序框图如右图所示,若 a ? 3 ,则该程序 运行后,输出的 x 值为 ; 14. 设 S n 是 等 差 数 列 ?a n ? 的 前 n 项 和 ,
a1 ? 2, a5 ? 3a3 ,则 S9 ?

n ? 1, x ? a

n ? n ?1 n?3
否 输出 x 是



x ? 2x ? 1

结束

? x2 ? y 2 ? 4 ? 15. 已知 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值 ? y?0 ?





16.给出以下命题:
y2 ① 双曲线 ? x 2 ? 1 的渐近线方程为 y ? ? 2 x ; 2

② 命题 p : “ ?x ? R + , sin x ?

1 ? 2 ”是真命题; sin x

? ③ 已知线性回归方程为 y ? 3 ? 2 x , 当变量 x 增加 2 个单位, 其预报值平均增加 4 个

单位; ④ 已知
2 6 5 3 7 1 10 ?2 ? ? 2, ? ? 2, ? ? 2, ? ? 2, 2?4 6?4 5? 4 3? 4 7 ? 4 1? 4 10 ? 4 ?2 ? 4

依照以上各式的规律,得到一般性的等式为 则正确命题的序号为

n 8?n ( ? ? 2 , n ? 4) n ? 4 (8 ? n) ? 4

(写出所有正确命题的序号) .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过 程或演 算步骤. 17. (本小题满分 12 分)已知 a,b,c 为 △ ABC 的内角 A,B,C 的对边,满足
sin B ? sin C 2 ? cos B ? cos C ? ,函数 f ( x) ? sin ? x (? ? 0) 在区间 [0, ] 上单调递 ? sin A cos A 3

增,在区间上单调递减. (Ⅰ)证明: b ? c ? 2a ; ? (Ⅱ)若 f ( ) ? cos A ,证明 △ ABC 为等边三角形. 9 18. (本小题满分 12 分) 从某学校的 800 名男生中随机抽取 50 名测量身高,被测 学生身高全部介于 155 cm 和 195 cm 之间, 将测量结果按如下方式分成八组:第一 组[ 155 , 160 ),第二组[ 160 , 165 ),?, 第八组[ 190 , 195 ],右图是按上述分组 方法得到的频率分布直方图的一部分, 已知第一组与第八组人数相同,第六组
O
155 160 165 170 175 180 185 190 195 身高 (cm) 身高(cm)

频率/组距 频率/组距

0.06

0.04

0.016 0.008

的人数为 4 人. (Ⅰ)求第七组的频率; (Ⅱ)估计该校的 800 名男生的身高的中位数以及身高在 180 cm 以上(含 180 cm) 的人数; (Ⅲ)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生,记他们的身 高分别为 x, y ,事件 E ? { x ? y ? 5 },事件 F ? { x ? y ? 15 },求 P( E ? F ) . 19. (本小题满分 12 分)如图,几何体 ABCD ? B1C1 D1 中,四边形 ABCD 为菱形,
?BAD ? 60? , AB ? a ,面 B1C1 D1 ∥面 ABCD , BB1 、CC1 、 DD1 都垂直于面 ABCD ,

且 BB1 ? 2a , E 为 CC1 的中点. (Ⅰ)求证: ?DB1 E 为等腰直角三角形; (Ⅱ)求证: AC ∥面 DB1 E .

D1
B1

C1

E

D

C

20. (本小题满分 12 分) 已知 n ? N? ,数列 ?d n ?满足 d n ?
n

A

B

3 ? (?1) ,数列 ?a n ? 满足 an ? d1 ? d 2 ? d3 ? ??? ? d 2 n ; 2

数列 ?bn ?为公比大于 1 的等比数列,且 b2 ,b4 为方程 x 2 ? 20 x ? 64 ? 0 的两个不相等 的实根. (Ⅰ)求数列 ?a n ? 和数列 ?bn ?的通项公式; (Ⅱ)将数列 ?bn ? 中的第 a1 项,第 a2 项,第 a3 项,??,第 an 项,??删去后剩 . . . . 余的项按从小到大的顺序排成新数列 ?c n ?,求数列 ?c n ?的前 2013 项和. 21.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? a ( x 2 ? 1) ? ln x . (Ⅰ)讨论函数 f (x) 的单调性; (Ⅱ)若对任意 a ? (?4,?2) 及 x ? [1,3] 时,恒有 ma ? f ? x ? ? a 2 成立,求实数 m 的取值 范围.
x2 y 2 22. (本小题满分 13 分)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2 3 ,离心率 a b
2 ,其右焦点为 F ,过点 B(0, b) 作直线交椭圆于另一点 A . 2 ??? ??? ? ? (Ⅰ)若 AB ? BF ? ?6 ,求 ?ABF 外接圆的方程;



(Ⅱ) 若直线 y ? k ( x ? 2) 与椭圆 N : 求 k 的取值范围.

???? 2 5 x2 y 2 1 且 , ? 2 ? 相交于两点 G 、H , HG ? a2 b 3 3

青岛市高三统一质量检测 数学 (文科) 参考答案及评分标准 一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分. B C A C D A BB B C C A 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13. 31 14. ?54 15. 2 5 16.①③④

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过 程或演 算步骤. 17. (本小题满分 12 分) sin B ? sin C 2 - cos B - cos C 解: (Ⅰ)? ? sin A cos A
? sin B cos A ? sin C cos A ? 2sin A- cos B sin A- cos C sin A ? sin B cos A ? cos B sin A ? sin C cos A ? cos C sin A ? 2sin A

sin (A ? B) ? sin (A ? C ) ? 2sin A

?????????????????????

3分

sin C ? sin B ? 2sin A ??????????????????????????
?5 分 所以

b ? c ? 2a ??????????????????????????????6
分 (Ⅱ)由题意知:由题意知: 8分 因为 f ( 分
2? 4? 3 ,解得:? ? , 3 2

?

?

??????????

?
9

) ? sin

?
6

?

1 ? ? cos A , A ? (0,? ) ,所以 A ? 2 3

??????????9

由余弦定理知: cos A ? 10 分

b 2 ? c 2 -a 2 1 ? 2bc 2

???????????????

所以 b 2 ? c 2 -a 2 ? bc 因为 b ? c ? 2a ,所以 b 2 ? c 2 -( 即: b 2 ? c 2 -2bc ? 0 所以 b ? c 11 分 又A?

b?c 2 ) ? bc , 2

?????????????????????

?
3

,所以 △ ABC 为等边三角

形. ???????????????????12 分 18. (本小题满分 12 分) 4 (Ⅰ)第六组的频率为 ? 0.08 ,所以第七组的频率为 50
1 ? 0.08 ? 5 ? (0.008 ? 2 ? 0.016 ? 0.04 ? 2 ? 0.06) ? 0.06 ; ???????????4

分 (Ⅱ)身高在第一组[155,160)的频率为 0.008 ? 5 ? 0.04 , 身高在第二组[160,165)的频率为 0.016 ? 5 ? 0.08 , 身高在第三组[165,170)的频率为 0.04 ? 5 ? 0.2 , 身高在第四组[170,175)的频率为 0.04 ? 5 ? 0.2 , 由于 0.04 ? 0.08 ? 0.2 ? 0.32 ? 0.5 , 0.04 ? 0.08 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.52 ? 0.5 估计这所学校的 800 名男生的身高的中位数为 m ,则 170 ? m ? 175 由 0.04 ? 0.08 ? 0.2 ? (m ? 170) ? 0.04 ? 0.5 得 m ? 174.5 所 以 可 估 计 这 所 学 校 的 800 名 男 生 的 身 高 的 中 位 数 为 174.5 ??????????6 分 由直方图得后三组频率为 0.06 ? 0.08 ? 0.008 ? 5 ? 0.18 , 所以身高在 180cm 以上(含 180cm)的人数为 0.18 ? 800 ? 144 人. ??????8 分 (Ⅲ) 第六组 [180,185) 的人数为 4 人,设为 a, b, c, d ,第八组[190,195]的人数为 2 人, 设为 A, B ,则有 ab, ac, ad , bc, bd , cd , aA, bA, cA, dA, aB, bB, cB, dB, AB 共 15 种情况, 因事件 E ? { x ? y ? 5 }发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组,所以事件 E 包 含 的 基 本 事 件 为 ab, ac, ad , bc, bd , cd , AB 共
P( E ) ? 7 . ????????10 分 15

7

种 情 况 , 故

由于 x ? y max ? 195 ? 180 ? 15 ,所以事件 F ? { x ? y ? 15 }是不可能事件, P( F ) ? 0 由于事件 E 和事件 F 是互斥事件,所以 7 ???12 P( E ? F ) ? P( E ) ? P( F ) ? 15 分 19. (本小题满分 12 分) 解: (I)连接 BD ,交 AC 于 O ,因为四边 形 ABCD 为菱形,?BAD ? 60? ,所以 BD ? a 因为 BB1 、 CC1 都垂直于面
A D
D1

C1 B1

F

E

C

O
B

ABCD ,? BB1 // CC1 又面 B1C1 D1 ∥面 ABCD ,? BC // B1C1
所以四边形 BCC1 B1 为平行四边形 ,则 B1C1 ? BC ? a ???2 分 因为 BB1 、 CC1 、 DD1 都垂直于面 ABCD ,则

DB1 ? DB 2 ? BB12 ? a 2 ? 2a 2 ? 3a
DE ? DC 2 ? CE 2 ? a 2 ? a2 6a ? 2 2 a2 6a ? ??????????????????4 2 2

B1 E ? B1C12 ? C1 E 2 ? a 2 ?

分 所以 DE 2 ? B1 E 2 ? 分 (II)取 DB1 的中点 F ,连接 EF 、 OF 因为 O, F 分别为 DB, DB1 的中点,所以 OF ∥ BB1 ,且 OF ? 因为 EC ∥ BB1 ,且 EC ?
1 BB1 2

6a 2 ? 6a 2 ? 3a 2 ? DB12 所以 ?DB1 E 为等腰直角三角形 4

??6

1 BB1 ,所以 OF ∥ EC ,且 OF ? EC 2 所以四边形 EFOC 为平行四边 形??????????????????????10 分

所以 EF ∥ AC ,因为 AC ? 面 DB1 E , EF ? 面 DB1 E ,

所以 AC ∥面
DB1 E . ???????????????????????????12 分

20.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)? d n ?
3 ? (?1) n , 2
3 ? 2n ? 3n ?????????????????3 2

? an ? d1 ? d 2 ? d3 ? ??? ? d 2 n ?

分 因为 b2 ,b4 为方程 x 2 ? 20 x ? 64 ? 0 的两个不相等的实数根.

b 所以 b2 ? b4 ? 20 , 2 ? b4 ? 64 ???????????????????????
4分

b b 解得: 2 ? 4 , 4 ? 16 ,所以: n ? 2 n ???????????????????? b
6分 (Ⅱ) 由题知将数列 ?bn ?中的第 3 项、 6 项、 9 项??删去后构成的新数列 ?c n ? 第 第 中的奇数列与偶数列仍成等比数列,首项分别是 b1 ? 2 , b2 ? 4 公比均是
8,

????9 分

T2013 ? (c1 ? c3 ? c5 ? ??? ? c2013 ) ? (c2 ? c4 ? c6 ? ??? ? c2012 )
2 ? (1 ? 81007 ) 4 ? (1 ? 81006 ) 20 ? 81006 ? 6 ? ? ? 1? 8 1? 8 7

????????????12

分 21. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) f ?( x) ? 2ax ? 分 ①当 a ? 0 时,恒有 f ?( x) ? 0 ,则 f (x) 在 (0,??) 上是增函数;????????? 4分 ②当 a ? 0 时,当 0 ? x ? ?

1 2ax 2 ? 1 ? ( x ? 0) x x

???????????????2

1 1 时, f ?( x) ? 0 ,则 f (x) 在 (0, ? ) 上是增函数; 2a 2a

当x? ? 分

1 1 时, f ?( x) ? 0 ,则 f (x) 在 ( ? ,??) 上是减函数 ???????6 2a 2a

综上,当 a ? 0 时, f (x) 在 (0,??) 上是增函数;当 a ? 0 时, f (x) 在 (0, ?

1 ) 上是 2a
减 函









f (x)



( ?

1 ,??) 2a





数. ???????????????????7 分 (Ⅱ)由题意知对任意 a ? ?? 4,?2 ? 及 x ? ?1,3?时, 恒有 ma ? f ? x ? ? a 2 成立,等价于 ma ? a 2 ? f ? x ?max 因为 a ? ?? 4,?2 ? ,所以

2 1 1 ? ? ? ?1 4 2a 2

由(Ⅰ)知:当 a ? ?? 4,?2 ? 时, f (x) 在 ?1,3?上是减函数 所以 f ( x) max ? f (1) ? 2a ???????????????10 分 所以 ma ? a 2 ? 2a ,即 m ? a ? 2 因为 a ? ?? 4,?2 ? ,所以 ? 2 ? a ? 2 ? 0 ???????????12 分 所以实数 m 的取值范围为 m ? ?2 22. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由题意知: c ? 3 , e ? ?????????13 分

c 2 ,又 a 2 ? b 2 ? c 2 , ? a 2

解得: a ? 6, b ? 3 ? 椭圆 C 的方程为: 由此可得: B(0, 3) , F ( 3, 0)

x2 y 2 ? ?1 6 3

????????2 分

??? ? ??? ? 设 A( x0 , y0 ) ,则 AB ? (? x0 , 3 ? y0 ) , BF ? ( 3, ? 3) ,

??? ??? ? ? ? AB ? BF ? ?6 ,?? 3 x0 ? 3( 3 ? y0 ) ? ?6 ,即 y0 ? x0 ? 3
? 4 3 ? x0 2 y0 2 ? x0 ? ? ? 1 ? x0 ? 0 ? ? ? 3 由? 6 ,或 ? 3 ?? ? y0 ? ? 3 ?y ? x ? 3 ? ?y ? 3 0 ? 0 ? 0 3 ?

即 A(0, ? 3) ,或 A(

4 3 3 , ) ?????????????4 分①当 A 的坐标为 3 3

(0, ? 3) 时, OA ? OB ? OF ? 3 ,? ?ABF 外接圆是以 O 为圆心, 3 为半径的

圆,即 x 2 ? y 2 ? 3 ???????????????????????5 分 ②当 A 的坐标为 (
4 3 3 , ) 时, AF 和 BF 的斜率分别为 1 和 ?1 ,所以 ?ABF 为直角 3 3
1 15 , AB ? 2 3

三角形,其外接圆是以线段 AB 为直径的圆,圆心坐标为,半径为
2 3 2 2 3 2 5 ) ? (y ? ) ? 3 3 3

??ABF 外接圆的方程为 ( x ?

综上可知: ?ABF 外接圆方程是 x 2 ? y 2 ? 3 ,或 ( x ?

2 3 2 2 3 2 5 ) ? (y ? ) ? ??7 分 3 3 3

(Ⅱ)由题意可知直线 GH 的斜率存在.设 G ( x1 , y1 ) , H ( x2 , y2 ) ,
? y ? k ( x ? 2) ? 由 ? x2 得: (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 2 ? ? y ?1 ? 2

由 ? ? 64k 4 ? 4(2k 2 ? 1)(8k 2 ? 2) ? 0 得: k 2 ?
x1 ? x2 ? 8k 2 8k 2 ? 2 ? , x1 x2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

1 ??( ? )????????9 分 2

???? 2 5 2 5 ,即 1 ? k 2 x1 ? x2 ? ? HG ? 3 3
?k2 ? 1 1 1 ,结合( ? )得: ? k 2 ? 4 4 2

????????????10 分

???????????????12 分 ???????????????13 分

所以 ?

2 1 1 2 ?k?? 或 ?k? 2 2 2 2


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