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天津市2013届高三数学总复习之综合专题:导函数(理)(学生版)

时间:2013-07-29

导函数(理) 1、 (单调区间、极值、最值问题)已知函数 f ( x) ? ( x 2 ? ax ? 2a 2 ? 3a)e x ( x ? R), 其中 a ? R 。
, (1)当 a ? 0 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1 f (1)) 处的切线的斜率;

(2)当 a ?

2 时,求函数 f ( x) 的单调区间与极值。 3

? 1 , x ?1 , ? 2、 (单调区间、极值、最值问题)设 k ? R ,函数 f ? x ? ? ?1 ? x ,F ? x ? ? f ? x ? ? kx , ? ? x ? 1 ,x ? 1 , ?

x ? R ,试讨论函数 F ? x ? 的单调性。

3、 (单调区间、极值、最值问题)已知函数 f ( x) ? (1)求函数 f ( x) 的单调区间;

ln x 。 x

(2)设 a ? 0 ,求函数 f ( x) 在 ? 2a, 4a ? 上的最小值。

4、 (单调性问题)已知 a ? R ,函数 f ? x ? ? ? ? x2 ? ax ? e x (1)当 a ? 2 时,求函数 f ? x ? 的单调递增区间;



其中 x ? R , e 为自然对数的底数。

(2)若函数 f ? x ? 在 ? ?1,1? 上单调递增,求实数 a 的取值范围; (3)函数 f ? x ? 是否为 R 上的单调函数?若是,求出实数 a 的取值范围;若不是,请说明理由。

5、 (不等式成立问题)已知函数 f ( x) ? a ln(1 ? 2 x) ? x 2 , a ? 0 , x ? (0, 1] 。 (1)求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (2)若不等式 1 ? n 2 ? ? n 2 ln(1 ?
2 ) 对一切正整数 n 恒成立,求实数 ? 的取值范围。 n

-1-

6、 (不等式成立问题)已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? k ( x ? 1) ? 1 。 (1)求函数 f (x) 的单调区间; (2)若不等式 f ( x) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (3)证明:① ln( x ? 1) ? x ? 2在(2,??) 上恒成立; ②?
ln i n(n ? 1) ? , n ? N *, n ? 2 i ?1 4 i ?2 。
n

7、 (不等式成立问题)已知函数 f ?x ? ? x ?

a ? b?x ? 0? ,其中 a, b ? R 。 x

(1)若曲线 y ? f ?x ? 在点 P?2, f ?2?? 处的切线方程为 y ? 3x ? 1 ,求函数 f ? x ? 的解析式; (2)讨论函数 f ? x ? 的单调性;
?1 ? ?1 ? (3)若对于任意的 a ? ? ,2? ,不等式 f ? x ? ? 10 在 ? ,1? 上恒成立,求 b 的取值范围。 ?2 ? ?4 ?

8、 (不等式成立问题)设函数 f ( x) ? x 4 ? ax3 ? 2 x 2 ? b( x ? R) ,其中 a , b ? R 。 (1)当 a ? ?
10 时,讨论函数 f ( x ) 的单调性; 3

(2)若函数 f ( x ) 仅在 x ? 0 处有极值,求 a 的取值范围; (3)若对于任意的 a???2,? ,不等式 f ( x) ? 1 在 ? ?11? 上恒成立,求 b 的取值范围。 , 2 9、 (不等式证明问题)设 a ? 0 ,函数 f ( x) ? x ? 1 ? ln 2 x ? 2a ln x, ( x ? 0) 。
?0 (1)令 F ( x) ? xf ?( x) ,讨论 F ( x ) 在 (0,??) 内的单调性并求极值;

(2)求证:当 x ? 1 时,恒有 x ? ln 2 x ? 2a ln x ? 1 。

10、 (不等式证明问题)已知函数 f ( x) ? x ln x, g ( x) ? ? x 2 ? ax ? 3 。 (1)求 f ( x) 在 [t , t ? 2](t ? 0) 上的最小值;
?1 ? (2)若存在 x ? ? , e ? ( e 是常数, e =2.71828 ??? ) ,使不等式 2 f ( x) ? g ( x) 成 ?e ?
-2-

立,求实数 a 的取值范围; (3)证明对一切 x ? (0, ??), 都有 ln x ?
1 2 ? 成立。 x e ex

11、 (不等式证明问题)已知函数 f ( x) ? xe? x ( x ? R) 。 (1)求函数 f ( x) 的单调区间和极值; (2) 已知函数 y ? g ( x) 的图象与函数 y ? f ( x ) 的图象关于直线 x ? 1 对称, 证明: x ? 1 时, 当
f ( x) ? g ( x) ;

(3)如果 x1 ? x2 ,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,证明 x1 ? x2 ? 2 。

1 12、 (函数零点问题)设函数 f ? x ? ? ? x3 ? x 2 ? ? m2 ? 1? x ? x ? R ? ,其中 m ? 0 。 3

(1)当 m ? 1 时,求曲线 y ? f ? x ? 在点 ?1, f ?1? ? 处的切线的斜率;1 (2)求函数 f ? x ? 的单调区间与极值; (3)已知函数 f ? x ? 有三个互不相同的零点 0, x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,若对任意的
x ? ? x1 , x2 ? , f ? x ? ? f ?1? 恒成立,求 m 的取值范围。

13、 (函数零点问题)已知函数 f ( x) ? 4 x 3 ? 3tx2 ? 6t 2 x ? t ? 1, x ? R ,其中 t ? R 。 (1)当 t ? 1 时,求曲线 y ? f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (2)当 t ? 0 时,求 f ( x) 的单调区间; (3)证明:对任意 t ? (0,??) , f ( x) 在区间 (0,1) 内均存在零点。

14、 (函数零点问题)已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ln x ? ax 2 , x ? 0.。 f ( x) 的图象连续不断) ( (1)求 f ( x) 的单调区间;
1 3 (2)当 a ? 时,证明:存在 x0 ? (2, ??) ,使 f ( x0 ) ? f ( ) ; 8 2
-3-

(3)若存在均属于区间 ?1, 3? 的 ? , ? ,且 ? ? ? ? 1 ,使 f (? ) ? f ( ? ) , 证明:
ln 3 ? ln 2 ln 2 ?a? 。 5 3

-4-


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